АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Самостоятельная работа 30 Вариант 1 1. Определение пропорциональных столбцов определителя. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12 11 2. Вычислить определитель 6 5 2 0 0 3 8 7 12 Вариант 2 1. Определение линейной комбинации столбцов определителя. 2. Вычислить определитель 1 2 3 4 5 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 Вариант 3 1. Определение минора элемента определителя. 2. Решить уравнение 0 ) xE A ( det для матрицы 1 2 2 2 1 2 2 2 1 A Вариант 4 1. Определение алгебраического дополнения элемента определителя. 2. Пусть 1 x 2 x ) x ( f 2 , 0 1 1 2 1 3 1 1 2 A . Вычислить ) A ( f det Тест 30 1. Вычислите определитель 1 3 4 13 2. Решите уравнение x 3 0 3 x 3. Найдите минор элемента определителя 5 4 1 1 1 2 7 6 5 , стоящего в третьей строке и первом столбце. 4. Найдите алгебраическое дополнение элемента определителя 5 4 1 1 1 2 7 6 5 , стоящего во второй строке и третьем столбце. 5. Многочлен от переменной х записан в виде определителя 3-го порядка: 2 4 3 x x x 1 6 5 4 . Не вычисляя сам определитель, найдите свободный член этого многочлена. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12 12 6. Вычислите определитель 2 5 4 1 x x 2 7 6 5 и запишите получившийся многочлен по убуванию степеней переменной х. 7. Не вычисляя определитель 3-го порядка 2 4 3 0 x x 1 6 5 4 найдите коэффициент при старшей степени переменной х. 8. Не вычисляя определитель 3-го порядка 2 4 3 x x x 1 6 5 4 найдите коэффициент при старшей степени переменной х. 9. Приведите определитель к треугольному виду и вычислите его: 8 1 2 4 4 1 4 9 8 10. Какой элемент определителя 1 2 3 4 имеет наибольшее алгебраическое до- полнение? 11. Какой элемент определителя 8 1 2 4 4 1 4 9 8 имеет наименьшее алгебраическое дополнение? Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10 1 Практическое занятие 31 Обратная матрица Теорминимум: обратная матрица, ее единственность, обратимые матрицы, невы- рожденные матрицы, необходимые и достаточные условия существования обратной матрицы, присоединенная и союзная матрицы, свойство ортогональности определи- теля, формула обратной матрицы. п.1 Теория п.1.1 Обратная матрица Определение. Матрица В называется обратной по отношению к мат- рице А, если их произведение равно единичной матрице: AB BA E . Из определения следует, что если матрица А имеет обратную, то обе они должны быть квадратными матрицами одного порядка. Из опре- деления следует также, что если матрица В является обратной по от- ношению к матрице А, то и матрица А является обратной по отноше- нию к матрице А. Определение. Матрица имеющая обратную матрицу называется об- ратимой. Теорема. Если квадратная матрица имеет обратную, то она единст- венная. Обозначение: если матрица А обратимая, то обратная к ней обознача- ется через 1 A . Мы можем это сделать в силу ее единственности. Множество всех обратимых матриц n-го порядка над полем обо- значается через n n GL ( ) GL Теорема. (Свойства обратимых матриц.) 1) Произведение обратимых матриц одного и того же порядка являет- ся обратимой матрицей: n n A,B GL : AB GL и 1 1 1 (AB) B A 2) Единичная матрица является обратимой, т.е. если Е – единичная матрица n-го порядка, то 1 E E . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10 2 3) Если А обратимая, то и 1 A также является обратимой, т.е. если n A GL , то 1 n A GL и 1 1 (A ) A . Следствие. Множество n GL ( ) является некоммутативной группой относительно умножения. Определение. Квадратную матрицу называют невырожденной (не- особой), если ее определитель не равен нулю, в противном случае её называют вырожденной (особой). Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица была обратимой (суще- ствовала обратная ей) необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был отличен от нуля. п.1.2 Союзная матрица Определение. Матрица 11 12 1n 21 22 2n ij n1 n 2 nn A A ... A A A ... A A (A ) A A ... A , где ij A – алгебраическое дополнение элемента ij a , называется присое- диненной по отношению к матрице А. Транспонируем присоединенную матрицу: 11 21 n1 12 22 n 2 t t ij 1n 2n nn A A ... A A A ... A (A) (A ) A A ... A Определение. Матрица присоединенная и транспонированная t A называется союзной или взаимной. Обозначение. Союзную матрицу часто обозначают А*: t A* (A) Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10 3 Теорема. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) оп- ределителя на алгебраические дополнения соответсвующих элементов другой строки (столбца) определителя равна нулю: i1 k1 i2 k 2 in kn a A a A ... a A 0 , i k ; 1j 1k 2 j 2k nj nk a A a A ... a A 0 , j k , где i, j,k 1,...,n В матричной форме это свойство определителя можно записать в виде произведения строки на столбец: k1 k 2 i1 i2 in kn A A (a , a ,...,a ) 0 A ; 1j 2 j 1k 2k nk nj a a (A , A ,...,A ) 0 a , где i, j,k 1,...,n, i k j . Эту теорему и теорему о разложении определителя по элементам строки или столбца можно объединить в одну теорему, которая назы- вается свойством ортогональности определителя. Теорема. (Свойство ортогональности определителя.) k1 k 2 i1 i2 in kn A A det A, если i k (a , a ,...,a ) 0, если i k A ; 1j 2 j 1k 2k nk nj a a det A, если k j (A , A ,...,A ) 0, если k j a п.1.3 Формула обратной матрицы Из последней теоремы сразу же следует матричное равенство: A A* A * A (det A) E . Или в развернутом виде: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10 4 11 12 1n 11 21 n1 21 22 2n 12 22 n 2 n1 n 2 nn 1n 2n nn a a ... a A A ... A a a ... a A A ... A a a ... a A A ... A 11 21 n1 11 12 1n 12 22 n 2 21 22 2n 1n 2n nn n1 n 2 nn A A ... A a a ... a A A ... A a a ... a A A ... A a a ... a 1 0 ... 0 0 1 ... 0 (det A) 0 0 ... 1 Из последнего матричного равенства сразу же вытекает, что если оп- ределитель матрицы не равен нулю, то обратная ей матрица сущест- вует и может быть найдена по формуле: 11 21 n1 12 22 n 2 1 1n 2n nn A A ... A A A ... A 1 1 A A* det A det A A A ... A В частности для матрицы 2-го порядка получаем формулу: 1 a b d b 1 c d c a ad bc п.2 Список задач Список №1 1. Для данной квадратной матрицы найти её присоединенную. 2. Для данной матрицы найти её созную матрицу. 3. Найти матрицу обратную данной. 4. Решить матричное уравнение. Список №2 1. Задачи на доказательство. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10 5 п.3 Примеры Пример 1. Для матрицы 1 2 1 A 0 5 7 3 3 0 найти её присоединенную и союзную. Решение. Вычисляем миноры и алгебраические дополнения всех эле- ментов данной матрицы: 11 11 5 7 A M 21 3 0 , 12 12 0 7 A M 21 3 0 , 13 13 0 5 A M 15 3 3 , 21 21 2 1 A M 3 3 0 , 22 22 1 1 A M 3 3 0 , 23 23 1 2 A M 3 3 3 , 31 31 2 1 A M 19 5 7 , 32 32 1 1 A M 7 0 7 , 33 33 1 2 A M 5 0 5 Ответ: 21 21 15 A 3 3 3 19 7 5 , t 21 3 19 A* (A) 21 3 7 15 3 5 Пример 2. Если матрица 1 2 1 A 0 5 7 3 3 0 обратимая, то найдите об- ратную ей. Решение. Используя предыдущий пример, вычисляем определитель матрицы А с помощью формулы разложения по элементам 1-го столб- ца: 11 11 21 21 31 31 det A a A a A a A 1 21 0 ( 3) 3 19 36 Так как определитель не равен нулю, то матрица А невырожденная, т.е. обратимая. Союзная матрица была вычислена в предыдущем при- мере. Осталось применить формулу обратной матрицы. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10 6 Ответ: 1 21 3 19 1 1 A A* 21 3 7 det A 36 15 3 5 Замечание. Найдя обратную матрицу можно сделать проверку пра- вильности вычислений. Должны выполняться равенства: 1 1 A A A A E или A A* A *A (det A) E . Чаще всего бывает удобнее проверять последнее равенство, причем на практике достаточно проверить только равенство A A* (det A) E . Проверка: 1 2 1 21 3 19 36 0 0 A A* 0 5 7 21 3 7 0 36 0 3 3 0 15 3 5 0 0 36 Действительно, 21 42 15 36, ( 1)( 3) 2( 3) 3 0, 19 14 5 0 , 5 21 7 15 0, ( 5) ( 3) 7 3 36, 5 7 7 5 0 3 21 3 21 0, 3 ( 3) 3 ( 3) 0, 3 19 3 7 36 Таким образом, A A* 36 E , в чем и требовалось убедиться. Проверка выполнена. Пример 3. Решить матричные уравнения: а) AX B ; б) XA B , где 19 6 1 2 A , B 3 1 2 4 Решение. Вычислим матрицу обратную к матрице А: 1 1 6 A 3 19 Теперь можно вычислить решение матричных уравнений: а) 1 1 6 1 2 13 26 X A B 3 19 2 4 41 82 ; Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10 7 б) 1 1 2 1 6 7 44 X BA 2 4 3 19 14 84 Ответ: а) 13 26 41 82 ; б) 7 44 14 84 п.4 Задачи Задачи для аудиторного решения 31 1. Вычислить матрицу, обратную данной: а) 2 1 3 4 ; б) 1 2 2 5 ; в) 2 1 5 3 ; г) 3 2 5 3 ; д) 2 2 1 1 ; е) 2 3 1 2 ; ё) 1 2 3 0 1 2 0 0 1 ; ж) 3 4 5 2 3 1 3 5 1 ; з) 2 2 3 1 1 0 1 2 1 ; и) 1 3 5 7 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1 ; й) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2. Решить матричное уравнение XA B , где 1 1 A 3 4 ; 2 1 B 3 4 3. Решить матричное уравнение AX E , где Е – единичная матрица: а) 1 3 A 1 2 ; б) 2 5 7 A 6 3 4 5 2 3 4. Решить матричное уравнение AX B , где 1 2 3 A 2 3 1 0 2 1 , 2 B 1 3 Задачи повышенного уровня сложности 31 1. Докажите, что если матрица имеет обратную, то она единственная. 2. Докажите, что множество вещественных квадратных матриц 2-го Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10 8 порядка вида a b b a , образует поле, изоморфное полю ком- плексных чисел. 3. Докажите, что множество обратимых матриц n-го порядка над по- лем образует группу относительно умножения. Эта группу обычно обозначают n GL ( ) и называют полной линейной группой над полем . Будет ли эта группа коммутитивной? 4. Выпишите все обратимые матрицы 2-го порядка над полем из двух элементов: 2 {0;1} , т.е. выпишите все элементы полной линей- ной группы 2 2 GL ( ) . 5. Составьте таблицу умножения (таблицу Кэли) для полной линейной группы 2 2 GL ( ) . Домашнее задание 31 1. Вычислить матрицу 1 А , обратную данной матрице А и выполнить проверку 1 1 А А А А Е , где Е – единичная матрица соответ- ствующего порядка: а) 3 2 А 5 4 ; б) 1 2 3 B 3 2 4 2 1 0 ; с) 5 3 1 C 1 3 2 5 2 1 2. Решить матричное уравнение АХ = В, где: 1 3 A 1 2 ; 1 1 B 1 1 п.5 Вопросы и задачи для самоконтроля 31 Обозначения 1. Обозначение единичной матрицы. 2. Обозначение обратной матрицы. 3. Обозначение присоединенной матрицы. 4. Обозначение союзной матрицы. 5. Обозначение группы обратимых матриц. Определения 1. Определение обратной матрицы. 2. Определение обратимой матрицы. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10 9 3. Определение невырожденной матрицы. 4. Определение присоединенной матрицы. 5. Определение союзной матрицы. Теоремы 1. Теорема об единственности обратной матрицы. 2. Своства обратимых матриц. 3. Необходимые и достаточные условия существования обратной мат- рицы. 4. Свойство ортогональности определителя. 5. Формула обратной матрицы. 6. Формула обратной матрицы для квадратной матрицы 2-го порядка. Самостоятельная работа 31 Вариант 1 1. Определение обратной матрицы. 2. Вычислите матрицу обратную матрице 17 13 A 30 23 и выполните проверку. Вариант 2 1. Определение невырожденной матрицы. 2. Вычислите матрицу обратную матрице 1 2 2 A 0 1 2 0 0 1 и выполните проверку. Вариант 3 1. Определение союзной матрицы. 2. Вычислите матрицу обратную матрице 1 2 2 2 1 2 2 2 1 A и выполните проверку. Вариант 4 1. Определение обратимой матрицы. 2. Решите матричное уравнение 1 2 2 1 1 1 X 2 1 2 0 1 1 2 2 1 0 0 1 и выполните проверку. |