АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Пример 4. Найти ГЦТ системы из трех материальных точек А(–12; 7; –9), В(11; 14; –15), С(10; 17; –4) с массами A B C m 0,5, m 1, m 1,5 Решение. Обозначим искомый ГЦТ буквой D. A A B B C C D A B C 1 3 ( 12) 11 10 x m x m x m 20 2 2 x m m m 3 3 , D D 1 3 1 3 7 14 17 ( 9) 15 4 43 17 2 2 2 2 y , z 3 3 3 2 Ответ: 20 43 17 ; ; 3 3 2 Пример 5. Найти ГЦТ треугольника с вершинами в точках А(0; 3; 9), В(–2; –3; 17), С(11; –12; 10). Решение. Вычисляем по известным формулам: A B C x x x 0 2 11 x 3 3 3 , A B C y y y 3 3 12 y 4 3 3 , A B C z z z z 12 3 Ответ: (3; –4; 12). Пример 6. Пусть А(–2; 2; –3), В(1; 4; –5), С(0; 7; –1), D(–4; 8; 5) – координаты вершин трапеции. Найти ее ГЦТ. Решение. Воспользуемся результатами пункта 3. Вычисляем коорди- наты ГЦТ треугольников АВС и ACD точек Е и F соответственно. A B C E x x x 1 x 3 3 , A B C E y y y 13 y 3 3 , A B C E z z z z 3 3 , A D C F x x x x 2 3 , A D C F y y y 17 y 3 3 , A D C F z z z 1 z 3 3 Для определения параллельных сторон трапеции ABCD находим ко- ординаты векторов AB , BC , CD , AD : AB (3; 2; 2) , BC ( 1; 3; 4) , CD ( 4; 1; 6) , AD ( 2; 6; 8) , Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11 7 откуда мы видим, что AB || CD , BC || AD , AD 2BC Определяем длины верхнего и нижнего оснований трапеции: b | BC | 1 9 16 26 , a 2b 2 26 Находим координаты ГЦТ трапеции: E F E F 1 2( 2) bx ax x 2x 13 3 x a b 3 3 9 , E F y 2y 47 y 3 9 , E F z 2z 7 z 3 9 Ответ: 13 47 7 ; ; 9 9 9 Пример 7. Из правильного шестиугольника ABCDEF со стороной а и центром О вырезали треугольник ОВС. Найти центр тяжести остав- шейся фигуры. Решение. Введем ПДСК Оху как на рисунке 4. Рис. 4 Легко заметить, что в силу симметрии OCDE и OBAF – равные ром- бы, ГЦТ которых находятся в точках G и H соответственно, а площадь каждого из них равна двум площадям треугольника ОАВ. ГЦТ фигу- ры из указанных двух ромбов, очевидно, находится в начале коорди- нат, а площадь этих двух ромбов равна 4S , где через S обозначена площадь треугольника ОАВ. Обозначим через I – ГЦТ треугольника OEF с массой S. Таким образом, имеем две материальные точки – D В у H G С А О х E F I J Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11 8 точку О с массой 4S и точку I с массой S. Найдем координаты 1 1 (x , y ) точки I. Ясно, что I x 0 , I 2 y h 3 , где h – высота равностороннего треугольника со стороной а, т.е. 3 h a 2 , I 2 a y h 3 3 . Имеем, О(0; 0), O m 4S ; a I (0; ) 3 , I m S . Обозначим через J – ГЦТ искомой фигуры. Тогда точка J есть ГЦТ системы из двух материальных точек О и I. O O I I I J I O I x m x m m x x m m M , I J I m y y M , где O I M m m 5S – масса всей плоской фигуры. Таким образом, J I 1 x x 0 5 , J I 1 a y y 5 5 3 Ответ: a 0; 5 3 п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 11 1. Найти ГЦТ системы из двух материальных точек: А(–6; 3; 9), A m 7 , В(0; –2; 1), B m 4 . 2. Даны концы А(3; –5; 2) и В(–1; 3; 0) однородного стержня. Опреде- лить координаты его центра тяжести. 3. Найти ГЦТ системы из трех материальных точек: А(0; 0; 1), В(0; 4; 0) и С(7; 0; 0), A B C m 2, m 3, m 4 . 4. Найти центр тяжести треугольника с вершинами А(0; 0; 1), В(0; 4; 0) и С(7; 0; 0). 5. На координатной плоскости Оху даны точки: А(1; 0), В(–1; 2), С(–2; –1), D(–1; –2). Постройте данные точки на чертеже, и найдите ко- ординаты центра тяжести четырехугольника АВСD. 6. Однородная пластина имеет форму квадрата со стороной 2р, от ко- торого отрезан треугольник; прямая разреза проходит через сере- дины смежных сторон квадрата. Определить центр тяжести пла- стины. 7. Правильный шестиугольник АВСDЕF со стороной 1 изготовлен из Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11 9 куска картона. Его разрезали пополам по прямой АD. Найдите центр тяжести полученной равнобочной трапеции АВСD. Систему координат введите так, как вам удобно. Задачи повышенного уровня сложности 11 8. Дан правильный шестиугольник АВСDЕF со стороной 1. Стороны ВС и DЕ продляются за вершины С и D до пересечения в точке К. Найдите ГЦТ пятиугольника АBКЕF. Систему координат введите так, как вам удобно. 9. Правильный шестиугольник АВСDЕF со стороной 1 изготовлен из куска картона. От него отрезали треугольник АВС. Найдите центр тяжести оставшейся фигуры. Систему координат введите так, как вам удобно. 10. Однородная проволока согнута в виде прямого угла со сторонами а и b. Найти центр тяжести этой проволоки. Домашнее задание 11. ГЦТ 1. Центр тяжести однородного стержня находится в точке С(1; –1; 5), а один из его концов в точке М(–2; –1; 7). Определить координаты другого конца стержня. 2. Найдите ГЦТ треугольника с вершинами А(1; 2; 3), В(2; 3; 1), С(3; 1; 2). 3. Где находится центр тяжести стержня, составленного из двух одно- родных стержней равной длины, но различной массы, если масса одного из них в полтора раза больше массы другого? Самостоятельная работа 11 Вариант 1. 1. Определение материальной точки. 2. Найдите в координатной плоскости Оху ГЦТ однородного стержня АВ, и выполните чертеж, если его концы имеют координаты: А(3; 2), В(–5; –2). 3. Найдите ГЦТ однородного треугольника с вершинами А(3; 0; 0), В(0; 3; 0), С(0; 0; 3). Вариант 2. 1. Определение ГЦТ треугольника. 2. Найдите в координатной плоскости Оху координаты конца А одно- родного стержня АВ, и выполните чертеж, если В(–2; –1), и его ГЦТ имеет координаты С(2; 1). Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11 10 3. Найдите ГЦТ системы из двух материальных точек, заданных на координатной плоскости: А(3; 2), A m 5 и В(–4; –1), B m 10 Вариант 3. 1. Определение ГЦТ системы из двух материальных точек. 2. Найдите ГЦТ системы из трех материальных точек А(1; 0; 0), В(0; 2; 0), С(0; 0; 3), A B C m 1, m 2, m 3 . 3. Стороны квадрата О(0; 0), А(0; 1), В(1; 1), С(1; 0) представляют со- бой однородные стержни с массами OA AB BC OC m 1, m 2, m 3, m 4 . Найдите их ГЦТ. Вариант 4. 1. Определение ГЦТ системы из трех материальных точек. 2. Найдите ГЦТ системы из двух материальных точек, заданных на координатной плоскости: А(–2; –3), A m 5 и В(1; 4), B m 10 3. Квадратная пластинка с вершинами О(0; 0), А(0; 3), В(3; 3), С(3; 0) составлена из треугольника ОАС с массой 3, и треугольника АВС с массой 2. Найдите ГЦТ квадратной пластинки. п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 11 Обозначения 1. Обозначение массы материальной точки. Определения 1. Определение материальной точки. 2. Определение ГЦТ системы из двух материальных точек. 3. Определение ГЦТ системы из n ( n 3 ) материальных точек. 4. Определение ГЦТ треугольника. Теоремы 1. Формулы координат ГЦТ системы из двух материальных точек. 2. Формулы координат ГЦТ системы из n ( n 2 ) материальных точек. 3. Формулы координат ГЦТ треугольника. Тест 11 1. Найдите ГЦТ системы из двух материальных точек А(11; –6; 3), В(3; 7; –1), с массами A B m 2, m 3 . 2. Найдите ГЦТ системы из двух материальных точек А(12; 3), В(3; – 1), если масса точки А в два раза меньше массы точки В. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11 11 3. Найдите ГЦТ системы из двух материальных точек А(11; –6; 3), В(3; 8; –1), с равными массами. 4. Даны концы А(1; –4; 5) и В(–4; 0; 7) однородного стержня. Опреде- лить координаты его центра тяжести. 5. Найдите ГЦТ системы из трех материальных точек А(2; 12; 10), В(1; 4; 1), С(1; 2; 3), A B C m 2, m 3, m 4 . 6. Найдите ГЦТ системы из трех материальных точек А(2; 12; 10), В(1; 4; 1), С(1; 2; 3) с равными массами. 7. Найдите ГЦТ системы из трех материальных точек А(2; 12; 10), В(1; 4; 1), С(1; 2; 3), если массы вершин А, В и С, соответственно, образуют арифметическую прогрессию с разностью прогрессии, равной массе вершины А. 8. Найдите ГЦТ однородного треугольника с вершинами в точках А(– 1; 3; –2), В(8; 4; –3), С(0; –6; 1). 9. Центр тяжести однородного стержня находится в точке С(2; –2; 4), а один из его концов в точке А(–1; 1; 3). Определить координаты другого конца стержня. 10. Найдите центр тяжести равнобочной трапеции, которая получится из равностороннего треугольника со стороной 1, если отрезать от него одну из его вершин, причем линия разреза идет по средней линии треугольника. Систему координат введите так, как вам удобно. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.13 1 Практическое занятие 12 Полярная система координат на плоскости Краткое содержание: полюс, полярный луч, полярная система координат на плоскости, по- лярные координаты точки плоскости и их связь с её декартовыми координатами, полярный угол вектора плоскости и его связь с направляющими углами вектора. п.1. Теория п.1. Полярная система координат на плоскости Определение. Возьмем на данной плоскости произвольную точку О и назовем её полюсом. Проведем на данной плоскости из точки О на- правленный луч, который назовем полярным лучом. Пусть М – произ- вольная точка данной плоскости. Соединим точку М с полюсом от- резком прямой и назовем этот отрезок ОМ и его длину M r OM по- лярным радиусом точки М. Угол поворота M [0; 2 ) полярного лу- ча вокруг полюса против часовой стрелки до совпадения с полярным радиусом точки М назовем полярным углом точки М. (Смотрите ри- сунок 1.) Рис. 1 Определение. Упорядоченная пара действительных чисел M M (r ; ) называется полярными координатами точки М. Определение. Полярной системой координат на плоскости называет- ся полюс и полярный луч вместе с понятием полярных координат лю- бой точки плоскости. Замечание. Полярные координаты однозначно определяют положе- ние любой точки на плоскости, за единственным исключением – са- мого полюса. Чтобы восстановить однозначность для любой точки плоскости полагают полярные координаты полюса равными нулю: О(0; 0). Часто полярный угол рассматривают как в тригонометрии в пределах одного оборота, причем поворот против часовой стрелки M M r О М Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.13 2 считают положительным, а по часовой стрелке – отрицательным. Ча- ще всего полагают, что полярный угол M ( ; ] . п.1.2. Связь полярной и декартовой систем координат на плоско- сти Определение. Говорят, что ПДСК на плоскости Оху стандартным об- разом совмещена с полярной системой координат этой же плоскости, если полюс полярной системы координат совпадает с началом коор- динат ПДСК, а полярный луч совпадает с положительной полуосью оси абсцисс Ох. Рис. 2 Теорема. Пусть ПДСК на плоскости Оху стандартным образом со- вмещена с полярной системой координат на этой же плоскости. Тогда декартовые координаты (х, у) любой точки плоскости связаны с её полярными координатами (r, ) следующими соотношениями: x r cos y r sin Замечание. Отсюда легко выразить полярные координаты точки че- рез её декартовые координаты: 2 2 r x y , y arctg x , если ; 2 2 или y arctg x , если 3 ; 2 2 Если полярный угол лежит в первой или четвертой четверти, т.е. ; 2 2 , то его можно выразить через арксинус: r х у М у х О Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.13 3 2 2 y arcsin x y Если полярный угол лежит в первой или второй четверти, т.е. [0; ] , то его можно выразить через арккосинус: 2 2 y arccos x y Если же если полярный угол лежит в третьей четверти, т.е. 3 ; 2 , то 2 2 2 2 y x arcsin 2 arccos x y x y п.1.3. Полярный угол вектора координатной плоскости Определение. Полярным углом вектора координатной плоскости Оху называется угол поворота против часовой стрелки оси абсцисс вокруг любой ее точки до положения сонаправленности с данным вектором. Замечание. Из определения следует, что полярный угол [0; 2 ) . В этом состоит его отличие от просто угла между вектором и осью, (a ^ Ox) [0; ] , который изменяется на промежутке от нуля до Если отложить вектор от начала координат и ввести полярную систему координат, стандартным образом совмещенную с прямо- угольной, то полярный угол вектора a OM будет совпадать с поляр- ным углом точки М в полярной системе координат, отчего и происхо- дит название полярного угла вектора. (Смотрите рисунок 3.) Рис. 3 М у х a О Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.13 4 Если известны декартовые координаты вектора x y a (a ; a ) , то отло- жив его от начала координат, получаем радиус-вектор a OM точки его конца – точки М и точка М имеет координаты, совпадающие с ко- ординатами ее радиус-вектора: x y M(a ; a ) . Используем связь декарто- вых координат точки плоскости с полярными. В наших обозначениях: x y a | a | cos , a | a | sin . Отсюда, получаем выражения для вычисления полярного угла векто- ра: y x a a cos , sin | a | | a | Теорема. (О связи между полярным углом вектора и его направляю- щими углами.) Пусть и направляющие углы вектора a , – его полярный угол. Тогда cos cos , cos sin . п.2. Список задач Список №1 1. В полярной системе координат построить точки с заданными по- лярными координатами. 2. Определить полярные координаты точки, симметричной данной от- носительно полюса и полярного луча. 3. Определить декартовые координаты точки, заданной полярными координатами, если полярная система координат стандартным об- разом совмещена с прямоугольной. 4. Определить полярные координаты точки, заданной декартовыми координатами, если полярная система координат стандартным об- разом совмещена с прямоугольной. 5. Найти направляющие углы вектора координатной плоскости и его полярный угол, если вектор задан своими координатами. Постро- ить чертеж, отложив вектор от начала координат. Список №2 1. Вычислить площадь треугольника, если его вершины заданы свои- ми полярными координатами. 2. Найти формулу расстояния между двумя точками в полярной сис- теме координат. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.13 5 3. Вычислить внутренние углы треугольника, если его вершины зада- ны своими полярными координатами. 4. Найти полярные координаты вершин правильного многоугольника, если полюс полярной системы координат лежит в его вершине, а одна из его сторон лежит на полярном луче. п.3. Примеры Пример 1. В полярной системе координат на плоскости построить точки с заданными полярными координатами: 3 4 A(1; ), B(1;1), C(1; ) 4 3 Ответ: смотрите рисунок 4, где OA OB OC 1 Рис. 4 Пример 2. В полярной системе координат на плоскости дана точка 3 A(1; ) 4 . Постройте точку, симметричную данной относительно по- люса и полярного луча. Решение. Смотрите рисунок 5, где OA OB OC 1 Ответ: точка B(1; ) 4 симметрична точке А относительно полюса; точка 3 C(1; ) 4 симметрична точке А относительно полярного луча. С А В C 4 3 A 3 4 B 1 О Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.13 6 Рис. 5 Пример 3. В полярной системе координат на плоскости, стандартным образом совмещенной с прямоугольной, найти декартовые координа- ты точек 3 A(1; ) 4 , B(1;1) и 2 C(1; ) 3 Решение. Воспользуемся формулами связи полярных и декартовых координат точки: x r cos y r sin Получаем: A A 3 2 3 2 x cos , y sin 4 2 4 2 , B B x cos1, y sin1 , C A 2 1 2 3 x cos , y sin 3 2 3 2 Ответ: 2 2 1 3 A( ; ), B(cos1; sin1), C( ; ) 2 2 2 2 |