АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена

• Название: Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
• Анкор: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Дата: 23.02.2018
• Размер: 2.3 Mb.
• Имя файла: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Тип: Занятие; #15834
• страница: 10 из 44

Пример 4.
Известно, что вектор a
лежит на оси Ох, и известна его координата: a ( 7)
  . Определить его ориентацию на этой оси.
Решение. Применим теорему о знаке декартовой координаты вектора оси. Согласно этой теореме, вектор левоориентированный, так как его декартовая координата отрицательная.
Ответ: левоориентированный.
Пример 5.
Известно, что вектор a
лежит на оси Ох, и известна его координата: a ( 7)
  . Найдите его модуль.
Решение. Из теоремы о знаке декартовой координаты вектора оси следует, что x
| a | | a | | 7 | 7

  
Ответ: 7.
Пример 6.
Найдите координату и модуль вектора AB , лежащего на оси Ох, если А(3), В(–4), и определите его ориентацию.
Решение. Для вычисления координаты вектора используем правило: для того, чтобы найти координату вектора нужно из координаты кон- ца вектора вычесть координату его начала.
B
A
AB (x x ) ( 4 3) ( 7)


    
Так как координата вектора отрицательная, то вектор
AB левоориен- тированный на оси Ох, а его модуль равен 7.
Ответ: AB ( 7), | AB | 7
 
 , ориентация левая.
Пример 7.
Найдите координату векторов a b

и
2a 3b

, если векто- ры a
и b
коллинеарные оси Ох и известны их координаты: a (12), b ( 7)

  .
Решение. При сложении векторов, коллинеарных одной оси, их коор-
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 10
динаты складываются, а при умножении вектора на число, его коор- дината умножается на это число. Отсюда находим: a b (12 7) (5), 2a 3b (24 21) (45)
 
 




Ответ: a b (5), 2a 3b (45)
 


Пример 8.
Отложите на координатной оси Ох вектор a ( 11)
 
от точки А(9), и найдите координату его конца.
Решение. Так как координата вектора отрицательная, то вектор a
ле- воориентированный на оси Ох, а его модуль равен 11. Откладываем от точки А отрезок длиной 11 влево от неё, и находим конец вектора и его координату: В(–2).
Рис. 11
Координату точки В можно вычислить алгебраическим путем:
B
A
a AB ( 11) (x x )

 


, откуда находим
B
A
B
A
x x
11
x x
11 9 11 2

  

     .
Ответ: рисунок 11,
B
x
2
  .
Пример 9.
Отложите на координатной оси Ох вектор a
от точки
А(9), и найдите координату его конца, если известно, что a || Ox и
| a | 11
 .
Решение. Так как направление вектора a
неизвестно, то возможны два случая, в зависимости от его направления. Откладываем отрезки длиной 11 влево и вправо от точки А, и получаем точки В(–2) и С(20).
Это геометрическое решение. Найдем решение алгебраическим мето- дом. Так как a AB

, а его модуль есть расстояние от точки А до точ- ки В, то воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:
B
A
AB | x x |


. В этом уравнении известно, что
A
AB 11, x
9

 . Обо- значим
B
x x
 и решая уравнение
| x 9 | 11
 
,
-2
В
9
А a
0
х

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 11 находим:
1 2
x
2, x
20
 

. Это координата конца вектора a AB

, т.е. точки В.
Ответ: –9 или 20.
Пример 10.
Найдите расстояние между двумя точками координатной оси Ох: А(–12) и В(1 –7).
Решение. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:
B
A
AB | x x | | 7 ( 12) | 5


   
 .
Ответ: 5.
Пример 11.
Найдите множество точек координатной оси Ох, удовле- творяющих условию | 2 x | 5
  .
Решение. Алгебраическое решение хорошо известно из курса алгебры средней школы. Решим задачу геометрическим методом. Запишем данное неравенство в виде:
| x ( 2) | 5
   .
С геометрической точки зрения, х это координата точки оси Ох, кото- рая удалена от точки А(–2) на расстояние не меньше, чем 5 единиц.
Отложим от точки А отрезок длины 5 в обе стороны от точки А, и найдем координаты других концов этих отрезков. Смотрите рисунок
12.
Рис. 12
B
A
C
A
x x
5 2 5 7, x x
5 2 5 3

     

     .
Точки В(–7) и С(3) удалены от точки А на расстоянии равном 5 еди- ниц. Точки оси Ох, удовлетворяющие условию задачи, расположены ещё дальше от точки А. Это все точки левее точки В и правее точки С.
Ответ: x (
; 7) (3; )
   
 .
Пример 12.
Найдите отношение, в котором точка С(3) делит отрезок
АВ, считая от точки А(–2), если все точки находятся на координатной оси Ох, и В(–7).
Решение. 1-й способ. Отложим данные точки на оси Ох (смотрите ри- сунок 12). Точка С делит отрезок АВ внешним образом, поэтому
В
-7
-2
А
3
С
0
х
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 12
C
C
A
AB
B
C
| x x |
AC
5 1
CB
| x x |
10 2


 
 
 
 

2-й способ. Воспользуемся формулой:
C
C
A
AB
B
C
x x
x x




Тогда,
C
C
A
AB
B
C
x x
3 ( 2)
1
x x
7 3 2

 



 

 
Ответ:
1 2
 .
Пример 13.
На координатной оси Ох найдите точку С, которая делит отрезок АВ, считая от точки А в отношении
C
AB
7 6

  , если А(–2),
В(–7).
Решение. Воспользуемся формулой:
C
A
AB
B
C
C
AB
7 49 2
( 7)
2
x x
6 6
x
37 7
1 1
1 6
6
 


 




 
 


Ответ: С(–37)
Пример 14.
На координатной оси Ох найдите середину С отрезка АВ, если А(–2), В(–7).
Решение. Воспользуемся формулой координаты середины отрезка:
A
B
C
x x
2 7 9
x
2 2
2

 


  .
Ответ:
9
C
2







п.3. Задачи
Задачи для аудиторного решения 8
1. Укажите на координатной оси Ох точки с заданными координата- ми: а) А(2); б) В(–3); в) C( 3 2)
 
; г) D( 3 2)
 
2. Изобразите на координатной оси Ох радиус-вектор точки: а) А(3);

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 13 б) В(–2).
3. Известно, что вектор a || Ox, | a | 5
 , и вектор a
правоориентиро- ванный. Найдите проекцию вектора a
на ось Ох, и запишите его в координатной форме записи.
4. Известна координата вектора оси Ох: a ( 8)
  . Отложите этот век- тор от точки А(11), и определите его ориентацию, модуль и коор- динаты его конца.
5. Найдите модуль, координату вектора AB и его ориентацию на оси, если известны координаты его начала и конца: а) А(–3), В(–7); б)
4 7
A
, B
3 2
 



 


 


6. Найдите модуль и координату вектора
4a 5b

, если a ( 18), b ( 17)
 
 
7. Найдите расстояние АВ, если: а) А(6), В(–1) ; б)
1 4
A
, B
3 7














; в)
2 3
A
, B
2 3
3 2














8. На координатной оси Ох даны три точки своими координатами: А(–
2), В(3) и С(–1). Найдите длины отрезков АС и СВ, и вычислите отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки
А, используя формулу
C
AB
AC
CB

 
9. Определите отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, счи- тая от точки А, по формуле
C
C
A
AB
B
C
x x
x x




, если А(2), В(6) и С(4).
10. Найдите координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отно- шении
С
AB
3

 
, если А(–12) и В(7). Используйте формулу:
C
A
AB
B
C
C
AB
x x
x
1
 


 
11. Найти координату середины отрезка, ограниченного двумя дан- ными точками: а) А(3), В(5); б) С(–1), D(6).
12. Даны точки А(5) и В(–3). Определить: а) координату точки М, симметричной точке А относительно точки В; б) координату точки
С, симметричной точке В относительно точки М.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 14 13. Определить координаты концов отрезка, который точками
3
P
2 7







и
2
Q
5







разделен на три равные части.
14. Точка С делит отрезок АВ, длина которого равна 10, в отношении
C
AB
2 3

  . Найти длину отрезка АС.
15. Найдите длину отрезка АВ, если точка С делит его в отношении
C
AB
3

 
и
BC 10

16. Даны три точки А(–7), В(–1) и С(1). Определить отношение, в ко- тором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.
Задачи повышенного уровня сложности 8
17. Точка А(2) удалена от точки x 1
B
3







на расстоянии 5. Найдите х.
18. Известно, что расстояние между точками
1
A 2x
3







и x 2
B
1 4








равно 3. Найдите х.
19. При каких значениях параметра р решение неравенства p
| 3 1,5x | 2 3

  содержит луч (
;5)

?
20. Найдите координаты различных точек x 1
A
3 2







и
1
B 2
x
3







и отметьте их на числовой оси, если точка М(–2) является серединой отрезка АВ.
21. Найдите значения х и у, при которых точка x
M
y
2







является серединой отрезков
АВ и
СЕ, где:


y x 2y x
A 2x
2,5 ;B
;C y
45 ;E 3y 2x
2 3
5 2

 
 

 

 


 
 


 
 

Домашнее задание 8. Декартовая система координат на прямой
1. а) Найдите точки А и В числовой прямой Ох, удаленные от точки
М(– 5) на расстоянии 3, причем точка А предшествует точке В.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 15 б) Найдите координату и модуль векторов: AM, MB, BA . в) Найдите проекцию вектора
2 3
3AM
MB
AB
3 2


на ось Ох и его модуль. Укажите ориентацию этого вектора.
2. Найдите расстояние АВ, если: а) А(–12), В(–3); б) А(13), B( –7); в)
5 7
A
, B
3 4














; г)

 

A 1 3 , B 1 3
 
 
3. На координатной оси Ох даны точки
2
A( 8 ), B(2,5)
3

. Найдите точ- ку С, которая делит отрезок АВ, считая от точки А, в отношении: а)
2 5
  ; б)
2 5
   ; в)
2 1
5
  
Выполните чертеж и изобразите на оси Ох точки А, В и все найден- ные точки С.
4. Известно, что на оси Ох точка М(– 5) делит отрезок СВ в отноше- нии
3 4
   . Найдите координаты точек В и С, если: а) x
(BC)
1
 ; б) x
(BC)
2
  .
Самостоятельная работа 8
Вариант 1.
1. Определение координаты вектора, коллинеарного координатной оси.
2. Отметьте на координатной оси Ох точки А(–7) и В(4), и найдите координату середины отрезка АВ.
3. Найдите проекцию вектора a
на ось Ох, если известно, что он кол- линеарный оси Ох, левоориентированный и его модуль равен 9.
Вариант 2.
1. Определение деления отрезка точкой внутренним или внешним об- разом.
2. Отложите на координатной оси Ох, коллинеарный ей вектор a
, от точки А(–8), если известно, что он правоориентированный и его модуль равен 10. Найдите координату его конца и координату точ- ки оси, равноудаленной от начала и конца этого вектора.
3. Найдите координату вектора AB , лежащего на координатной оси
Ох, если известны координаты его начала и конца:
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 16
A
B
x
2, x
9
 
  . Найдите также его модуль, и определите его ори- ентацию на оси.
Вариант 3.
1. Определение проекции вектора на ось.
2. На оси Ох даны точки: А(–3), В(4). Найдите координату вектора
BA , его модуль, и определите его ориентацию на оси. Найдите от- ношение, в котором начало координат делит отрезок АВ, считая от точки А.
3. Расстояние между точками числовой оси x 4
A
x 3








и В(–1) равно 1.
Найдите х.
Вариант 4.
1. Определение координаты точки числовой оси.
2. На координатной оси Ох лежит вектор a ( 7)
  . Найдите координа- ты его конца, если он отложен от точки А(3). Найдите отношение, в котором конец этого вектора делит отрезок ОА.
3. Расстояние между точками числовой оси
3x 1
A
x 3








и В(1) равно 1.
Найти х.
п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 8
Обозначения
1. Обозначение проекции вектора на ось.
2. Обозначение координаты вектора на числовой оси Ох.
3. Координатная форма записи вектора, коллинеарного оси Ох.
4. Обозначение радиус-вектора точки А.
5. Обозначение координаты точки А, лежащей на числовой оси Ох.
6. Обозначение отношения, в котором точка С делит отрезок АВ, счи- тая от точки А.
Определения
1. Определение проекции вектора на ось.
2. Определение координаты вектора оси.
3. Определение радиус-вектора точки.
4. Определение координаты точки числовой оси.
5. Определение числовой (координатной) оси.
6. Определение положительной и отрицательной полуосей коорди-

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 17 натной оси.
7. Определение отношения, в котором точка С делит отрезок АВ, счи- тая от точки А.
8. Определение деления точкой отрезка внутренним (внешним) обра- зом.
Теоремы
1. Теорема о знаке координаты вектора оси.
2. Следствие о координатах противоположных векторов оси.
3. Свойства проекции вектора на ось.
4. Следствие о линейных операциях с векторами оси в координатной форме.
5. Теорема о равенстве векторов.
6. Теорема об отождествлении точек координатной оси с действи- тельными числами.
7. Теорема о вычислении координаты вектора оси и расстоянии между её точками.
8. Теорема о вычислении отношения, в котором точка делит отрезок.
9. Теорема о вычислении отношения, в котором данная точка делит данный отрезок по известным координатам точек.
10. Формула координат точки, делящей данный отрезок в данном от- ношении.
11. Формула координат середины отрезка.
Тест 8
1. Отметьте на координатной оси Ох точки, заданные своими коорди- натами: А(5), В(–2), С(1), D(–7).
2. Изобразите на координатной оси Ох радиус-вектор точки А(6) и точки В(–3).
3. Найдите проекцию вектора AB на ось Ох, если его начало и конец лежат на оси Ох и имеют координаты:
A
B
3 5
x
, x
7 11
 
 
4. Найдите координату вектора a
, коллинеарного оси Ох, если он имеет на этой оси левую ориентацию и его модуль равен 11. Запи- шите этот вектор в координатной форме записи.
5. Найдите координату вектора c 7a 8b


, если векторы a ( 6)
  и b (7)

коллинеарные оси Ох.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 18 6. Отложите вектор a ( 4)
  , коллинеарный оси Ох от точки А(3) и найдите координаты его конца.
7. Найдите расстояние АВ между точками
3
A
7







и
5
B
11







8. Построить на координатной оси Ох точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям: а) | x | 3
 ; б) | 2 x | 9
  ; в) | x 7 | 2
  .
9. Найти ГМТ оси Ох, координаты которых удовлетворяют неравен- ствам: а) | x 2 | 12
 
; б) | x 5 | 10
 
10. Найдите отношение, в котором точка С делит отрезок АВ коорди- натной оси Ох, считая от точки А, если А(2), В(–5), С(–7).
11. Найдите на оси Ох координаты точки М, если А(–1), В(3) и
M
AB
2


12. Определить координаты середины отрезка CD, если С(–11), D(23).

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 1
Практическое занятие 9
Прямоугольная декартовая система координат на плоскости
Краткое содержание: угол между векторами, между вектором и осью, вычисление проекции вектора на ось, ориентация двух координатных осей на плоскости, координатный угол, коор- динаты точки плоскости, декартовые системы координат на плоскости – общая и прямо- угольная, координаты вектора, координатная форма записи вектора, действия с векторами в координатной форме записи, расстояние между двумя точками на плоскости, модуль вектора, направляющие углы и косинусы вектора, орт вектора, деление отрезка в данном отношении, координаты середины отрезка.
п.1. Теория
п.1.1. Угол между векторами
Определение. Углом между двумя векторами, называется кратчай- ший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг сво- его начала до положения сонаправленности с другим вектором.
Рис. 1
Определение. Углом между вектором и осью называется угол между вектором и любым правоориентированным вектором этой оси.
Рис. 2
Обозначение:
(a ^ b), (a ^ L) . Из определения следует, что угол между векторами не может быть больше o
180
Теорема.
(О вычислении проекции вектора на ось.) Проекция вектора на ось не зависит от выбора точки его начала и может быть вычислена по формуле:
L
пр a | a | cos(a ^ L)


п.1.2. Ориентация двух координатных осей на плоскости
Определение.
Говорят, что упорядоченная пара двух неколлинеарных координатных осей имеет правую ориентацию, если кратчайший по- ворот первой оси вокруг их точки пересечения до положения сона- e
a

L

a b
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 2
правленности со второй осью осуществляется против часовой стрел- ки. В противном случае говорят, что эта пара осей имеет левую ори- ентацию. (Смотрите рисунки 3 и 4.)
Рис. 3 Рис. 4