АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Теоремы 1. Замкнутость множества примитивных классов вычетов относитель- но умножения. 2. Теорема о делителях нуля. 3. Кольцо классов вычетов. 4. Группа примитивных классов вычетов. 5. Кольцо классов вычетов по простому модулю. 6. Необходимое и достаточное условие обратимости класса вычетов. 7. Теорема о существовании и единственности решения линейного уравнения в поле классов вычетов. 8. Теорема о разрешимости и количестве решений линейного уравне- ния в кольце классов вычетов. 9. Необходимое и достаточное условие разрешимости сравнения ax 1 (mod m) 10. Условие существования единственного решения сравнения ax b (mod m) 11. Необходимое и достаточное условие разрешимости сравнения 1-й степени с одним неизвестным, количество и структура его реше- Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21 21 ний. Тест 4 1. Составьте таблицу сложения для классов вычетов по модулю 4. 2. Составьте таблицу умножения для классов вычетов по модулю 4. 3. Составьте таблицу умножения для примитивных классов вычетов по модулю 8. 4. Для каждого класса вычетов по модулю 4 найдите противополож- ный ему класс вычетов. 5. Найдите все делители нуля в кольце классов вычетов по модулю 4. 6. Найдите все обратимые классы вычетов по модулю 8 и обратные им классы вычетов. 7. В кольце классов вычетов по модулю 4 решите линейное уравнение 3 x 2 8. В группе примитивных классов вычетов по модулю 8 решите урав- нение 7 x 5 9. Определите, разрешимо ли сравнение 3x 25(mod 75) и объясните почему да или почему нет. 10. Определите количество решений сравнения 15x 21 (mod 72) 11. Решите сравнение 8x 3(mod11) Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12 1 Практическое занятие 5 Комплексные числа – 1 Краткое содержание: поле комплексных чисел, алгебраическая форма записи, мнимая едини- ца, действительная и мнимая части комплексного числа, равенство комплексных чисел, дей- ствия с комплексными числами в алгебраической форме записи, комплексно сопряженные числа и их свойства. п.1. Теория п.1.1. Основные определения Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел (a, b). Определение. Два комплексных числа называются равными, если они равны как упорядоченные пары действительных чисел: df (a,b) (c,d) (a c) & (b d) На множестве комплексных чисел определяются две внутренние ал- гебраические операции – сложение и умножение: (a,b) (c,d) (a c, b d), (a,b) (c,d) (ac bd, ad bc) Теорема. (Об алгебраической структуре множества комплексных чи- сел.) Множество комплексных чисел является полем. Определение. Комплексное число (0; 1) называется мнимой единицей и обозначается i (0;1) Если комплексное число вида (а; 0) отождествить с действительным числом а, т.е. положить по определению a (a,0) , то в этих обозначениях справедлива следующая теорема. Теорема. (Об алгебраической форме записи комплексного числа.) Любое комплексное число (а, b) можно записать в виде (a, b) a bi , где мнимая единица i удовлетворяет равенству Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12 2 2 i 1 . Обозначение. Поле комплексных чисел обозначается обычно буквой С: C {a bi | a,b R} , а сами комплексные числа часто обозначаются буквой z: z a bi Определение. Запись комплексного числа в виде z a bi называется алгебраической формой записи. Действительное число а называется вещественной частью комплексного числа z и обозначается Re z a Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается Im z b Определение. Комплексное число, вещественная часть которого рав- на нулю, называется чисто мнимым: z bi п.1.2. Сложение и умножение комплексных чисел в алгебраиче- ской форме записи Из определения сложения и умножения комплексных чисел и ал- гебраической формы записи комплексного числа следуют правила сложения и умножения комплексных чисел в алгебраической форме записи. Пусть x a bi, y c di – произвольные комплексные числа. То- гда x y (a bi) (c di) (a c) (b d)i , xy (a bi)(c di) (ac bd) (ad dc)i Замечание. Из определений следует, что два комплексных числа рав- ны, если равны их вещественные и мнимые части, т.е. a bi c di (a c) & (b d) . Из определений вытекает также, что R C , т.е. любое действитель- ное число есть комплексное число с нулевой мнимой частью. Любое комплексное число можно рассматривать как результат сложения двух комплексных чисел, одно из которых является действительным числом (его мнимая часть равна нулю), другое – чисто мнимое: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12 3 z a bi (a 0 i) (0 b i) . Число 0 0 0 i является нулевым элементом относительно опера- ции сложения, а число 1 1 0 i – единичным элементом относитель- но умножения комплексных чисел. п.1.3. Комплексно сопряженные числа и их свойства Определение. Комплексное число a bi называется комплексно со- пряженным комплексному числу a bi Из определения сразу же следует, что число a bi является ком- плексно сопряженным числу a bi , т.е. такие числа, которые отлича- ются друг от друга лишь знаком мнимой части являются комплексно сопряженными друг другу. Обозначение. Если z a bi , то комплексно сопряженное к нему чис- ло обозначается z a bi a bi Теорема. (Свойства комплексно сопряженных чисел.) 1. z C, z z ; 2. 1 2 1 2 1 2 z ,z C, z z z z ; 3. 1 2 n 1 2 n 1 2 n z , z , ..., z C, z z ... z z z ... z ; 4. 1 2 1 2 1 2 z ,z C, z z z z ; 5. 1 2 n 1 2 n 1 2 n z , z , ..., z C, z z ... z z z ... z ; 6. k k z C, k N, z (z) ; 7. a R, a a ; 8. z C, a R, a z a z ; 9. Для любого многочлена f (z) R[z] с действительными коэффици- ентами от комплексной переменной z f (z) f (z) п.1.4. Вычитание и деление комплексных чисел в алгебраической форме записи Комплексное число z (a b i) a b i является противополож- ным числу z a b i , а комплексное число Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12 4 1 1 2 2 2 2 a b z (a bi) i a b a b является обратным ненулевому комплексному числу z a b i Определим операцию вычитания, как сложение с противоположным: (a bi) (c di) (a bi) ( c di) (a c) (b d)i Определим операцию деления, как умножение на обратный элемент. x a bi 0, y c di C , полагаем: 1 1 y y x (c di)(a bi) x Однако, на практике удобнее пользоваться не этой формулой, а сле- дующим правилом. Правило деления комплексных чисел Для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число комплексно со- пряженное знаменателю: 2 2 2 c di (c di)(a bi) (ac bdi ) (ad bc)i a bi (a bi)(a bi) a b 2 2 2 2 ac bd ad bc i a b a b п.2. Список задач Список №1 1. Найти сумму двух комплексных чисел в алгебраической форме за- писи. 2. Найти разность двух комплексных чисел в алгебраической форме записи. 3. Найти комплексное число, противоположное данному комплексно- му числу. 4. Найти произведение двух комплексных чисел в алгебраической форме записи. 5. Найти комплексное число, комплексно-сопряженное данному ком- плексному числу. 6. Найти частное двух комплексных чисел в алгебраической форме Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12 5 записи. 7. Найти комплексное число, обратное данному. 8. Найти квадрат и куб данного комплексного числа. 9. Решение линейных уравнений с комплексными коэффициентами. Список №2 1. Найти целую степень мнимой единицы. 2. Решение линейных уравнений с комплексными коэффициентами, содержащие комплексную переменную и комплексно сопряженную ей. 3. Решение систем из двух линейных уравнений с двумя неизвестны- ми над полем комплексных чисел. 4. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков над полем ком- плексных чисел. п.3. Примеры Пример 1. Найти сумму комплексных чисел: 1 z 1 7i и 2 z 2 5i . Решение. 1 2 z z ( 1 7i) (2 5i) ( 1 2) (7i 5i) 1 2i . Ответ: 1 2 z z 1 2i . Пример 2. Найти разность комплексных чисел: 1 z 1 7i и 2 z 2 5i . Решение. 1 2 z z ( 1 7i) (2 5i) 1 7i 2 5i 3 12i Ответ: 1 2 z z 3 12i Пример 3. Найти комплексное число, противоположное числу z 1 7i Решение. z ( 1 7i) 1 7i . Ответ: z 1 7i Пример 4. Найти произведение комплексных чисел: 1 z 1 7i и 2 z 2 5i . Решение. 1 2 z z ( 1 7i)(2 5i) . Раскрываем скобки и учитываем, что Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12 6 2 i 1 : 2 1 2 z z ( 1 7i)(2 5i) 2 5i 14i 35i 33 19i Ответ: 1 2 z z 33 19i Пример 5. Найти комплексное число, комплексно-сопряженное ком- плексному числу z 1 7i Решение. z 1 7i 1 7i Ответ: z 1 7i Пример 6. Найти частное комплексных чисел: 1 z 1 7i и 2 z 2 5i . Решение. 1 2 z 1 7i ( 1 7i)(2 5i) 37 9i z 2 5i (2 5i)(2 5i) 29 Ответ: 1 2 z 37 9 i z 29 29 Пример 7. Найти комплексное число, обратное комплексному числу z 1 7i Решение. 1 1 1 1 7i 1 7i z z 1 7i ( 1 7i)( 1 7i) 50 Ответ: 1 1 7 z i 50 50 Пример 8. Найти 2 ( 1 7i) и 3 ( 1 7i) Решение. 2 2 ( 1 7i) 1 14i 49i 1 49 14i 48 14i 3 2 ( 1 7i) ( 1 7i) ( 1 7i) ( 48 14i)( 1 7i) 2(24 7i)( 1 7i) 2( 24 49 168i 7i) 2( 73 161i) 146 322i Ответ: 2 ( 1 7i) 48 14i , 3 ( 1 7i) 146 322i Пример 9. Решить уравнение (2 i)z 1 3i 0 . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12 7 Решение. 1 3i (1 3i)(2 i) 5 5i z 1 i 2 i (2 i)(2 i) 5 Ответ: z 1 i . Пример 10. Решить уравнение 3z 5z 5 11i Решение. Пусть z x iy , где x, y R . Тогда z x iy . Подставим в данное уравнение: 3(x iy) 5(x iy) 5 11i Раскрываем скобки в левой части уравнения и приводим подобные члены: 8x 2yi 5 11i Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: 8x 5, 2y 11 . Отсюда находим: 5 11 5 11 x , y , z i 8 2 8 2 Ответ: 5 11 z i 8 2 Пример 11. Решить систему уравнений 3x (2 i)y 7 5i ix 5y 7 15i Решение. Исключим из системы неизвестную х. Для этого, умножим первое уравнение на i, а второе – на –3: 3ix (2 i)iy ( 7 5i)i 3(ix 5y) ( 7 15i)( 3) Складывая уравнения, получаем: (16 2i)y 26 52i Сокращаем на 2 и находим у: 13 26i (1 2i)(8 i) 10 15i y 13 13 2 3i 8 i (8 i)(8 i) 65 Подставляем найденное значение у во второе уравнение системы: ix 5(2 3i) 7 15i Решая это уравнение, находим значение неизвестной х: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12 8 x 3i Ответ: x 3i, y 2 3i . Пример 12. Найти n i , где n Z . Решение. o i 1 , 1 i i , 2 i 1 , 3 2 i i i i , 4 2 2 2 2 2 i i i (i ) ( 1) 1 . Пусть n Z – произвольное целое число. Разделим его на 4 с остат- ком: n 4m r , где остаток r равен либо 0, либо 1, 2 или 3. Тогда, n 4m r 4 m r r 1, если n 4m i, если n 4m 1 i i (i ) i i 1, если n 4m 2 i, если n 4m 3 , где m Z – целое число – частное или неполное частное от деления числа n на 4. Если использовать понятие сравнения целых чисел по модулю, то от- вет можно записать в следующем виде. Ответ: n 1, если n 0(mod 4) i, если n 1(mod 4) i 1, если n 2(mod 4) i, если n 3(mod 4) Пример 13. Найти 2010 3 1 1 , , i i i Решение. 1 4 3 4 1 3 3 1 i i (i ) i i i i , 3 4 1 4 1 1 3 1 i i (i ) i i i , 2010 2008 2 4 502 2 2 i i i i 1 . Ответ: 2010 3 1 1 i, i, i 1 i i . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12 9 п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 5 1. Вычислите: а) 3 7i 6 5i ; б) 3i 7 2i ; в) 2 4i 7 i ; г) 2 2i 2 3 4i 2 27 i 32 3 3 ; д) 1 i 2 2i ; е) 3 i 3 i ; ё) 3 i i ; ж) 2 1 i ; з) 3 1 i ; и) 4 1 i ; й) 4 6i 1 i ; к) 1 2i 3 i ; л) 5 i 3 5i 2i ; м) 3 3 2 i 2 i ; н) 5 3 1 i 1 i ; 2. Решите систему 2x (2 i)y 4 6i 4x 2iy 16 4i 3. Пусть 3 2 f (z) 2z z z 1 . Найдите f (2 i) f (2 i) . Задачи повышенного уровня сложности 5 4. Вычислите: а) 3 4 4n 4n 1 4n 2 4n 3 i , i , i , i , i , i , где n Z ; б) n i , где n Z ; в) 2 3 2011 1 i i i ... i ; г) 2 3 2012 i i i ... i ; д) 2 3 2010 i 2i 3i ... 2010i Домашнее задание 5. Комплексные числа – 1 1. Вычислите: а) 2 6i 4 8i ; б) 5i 8i ; в) 6 5 2i ; г) 3 2i 2 3i ; д) 7 i 7 i ; е) 4 i 4 i ; ё) i 2 4i ; ж) 8 1 i ; з) 10 i 1 i ; и) 2 3i 1 2i ; й) 5 i 7 6i 3 i ; к) 2 1 3i 8 i 2 i ; л) 3 i 1 4i 2 i 2. Решите систему уравнений 3z 2 1 z i 6i Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12 10 Самостоятельная работа 5 Вариант1. 1. Определение комплексного числа. 2. Для комплексного числа z 3 i найти комплексно сопряженное число z и вычислить их сумму z z . 3. Вычислить 2 , где 2 1 i 2 2 Вариант2. 1. Определение мнимой части действительного числа. 2. Для комплексного числа z 1 i 3 найти комплексно сопряжен- ное число z и вычислить их разность z z . 3. Вычислить 2 , где 1 2 i 2 2 Вариант3. 1. Определение числа комплексно сопряженного данному комплекс- ному числу. 2. Для комплексного числа z 3 i найти комплексно сопряженное число z и вычислить их произведение z z . 3. Вычислить определитель 1 1 1 1 , где 2 1 i 2 2 Вариант4. 1. Определение мнимой единицы. 2. Для комплексного числа z 1 i 3 найти комплексно сопряжен- ное число z и вычислить их частное z z 3. Вычислить 2 1 1 1 1 , где 1 3 i 2 2 |