практические задания по теории надежности. Практикум по основам надежности технических систем. Методические указания к выполнению практических работ и самостоятельной работы для студентов факультета инженерной механики М. Ргу нефти и газа имени И. М. Губкина, 2018 г. 65 с
 Скачать 448.54 Kb.
|
|
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и σ2, если ее плотность вероятности определяется зависимостью:  , (4.1)где а – математическое ожидание случайной величины M(Х); σ2 – дисперсия D(X) случайной величины. Математическое ожидание случайной величины при нормальном законе распределения  (4.2)Дисперсия случайной величины Х  (4.3)Функция распределения случайной величины Х при нормальном законе, определяется по формуле  (4.4)Данный интеграл в классе элементарных функций не вычисляется, его можно выразить через функцию Лапласа Ф(х) по формуле  , (4.5)где  – функция Лапласа, вычисляемая по таблицам (Приложение 1): . (4.6)Заменяя случайную величину Х на время t, вероятность отказа и вероятность безотказной работы можно определить по формулам  , (4.7) . (4.8)Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [t1, t2] составит  . (4.9)Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ>0 с плотностью вероятности  (4.10)Функция распределения случайной величины X, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону определяется по формулам  (4.11)Математическое ожидание  . (4.12)Дисперсия  . (4.13)Для экспоненциального распределения математическое ожидание случайной величины равно среднему квадратическому отклонению  (4.14)Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла и гамма-распределения. Вероятность безотказной работы и отказа определяется по формуле  , (4.15) . (4.16)Плотность распределения при распределении Вейбулла выражается зависимостью  , (4.17)где α – параметр формы кривой распределения; λ – параметр масштаба. При α=1 экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла. Интегральная функция распределения для закона Вейбулла  . (4.18)Математическое ожидание  , (4.19)и среднее квадратическое отклонение, соответственно  (4.20)где  - гамма-функция.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Изучить методику расчета показателей надежности, подчиняющихся основным законам распределения Определить исходные данные для расчета показателя и закон распределения случайной величины Рассчитать требуемый показатель по формулам (4.1) - (4.20). Ответить на контрольные вопросы. ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ Пример 4.1. По результатам наблюдений за работой средняя наработка на отказ равна 2000 часов, среднеквадратическое отклонение 400 часов. Определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа для значения наработок 1000, 2500 и 3000 часов, закон распределения отказов – нормальный. Решение: Определяем значение квантили нормированного нормального распределенияUp по формуле (4.5) и соответствующей ей функции Лапласа. Для наработки 1000 часов квантиль и функция нормированного нормального распределения соответственно  ;  .Для наработки 2500 часов  ;  .Для наработки 3000 часов  ;  .Вероятность безотказной работы для показателей, подчиняемых закону нормального распределения, определяем по формуле (4.8):  – при наработке 1000 часов; – при наработке 2500 часов; – при наработке 3000 часов.Вероятность отказа определяем по формуле (4.7):  – при наработке 1000 часов; – при наработке 2500 часов; – при наработке 3000 часов.Ответ: при наработке 1000 часов:  ; ; при наработке 2500 часов:  ; ; при наработке 3000 часов  ;  .Пример 4.2. На испытания установлено 100 изделий. Средняя наработка на отказ составила 600 часов, коэффициент вариации ресурса 0,1. Определить количество отказавших изделий при наработке 720 часов. Решение. Так как коэффициент вариации равен 0,1 – закон распределения наработки нормальный. Находим среднее квадратичное отклонение, выразив его из формулы  ,  Для наработки 720 часов квантиль и функция Лапласа соответственно равны:  ;  .Вероятность отказа при наработке 720 часов определяем по формуле (4.7):  .Количество отказов при наработке 720 часов равно  изд.Ответ: 587 изделий. Пример 4.3. Наработка на отказ испытываемого изделия подчиняется экспоненциальному закону распределения. Интенсивность отказа системы равна λ=4,5·10-5 ч-1. Определить вероятность безотказной работы за время 100 часов работы и среднюю наработку на отказ рассматриваемого изделия. Решение: Вероятность безотказной работы определяется по формуле (4.15)  .Математическое ожидание средней наработки на отказ определяем по формуле (4.12)  час. Ответ:  ; час.Задания для самостоятельной работы Задача 4.1. По результатам наблюдений за работой объекта средняя наработка до отказа равна 2000 часов, среднеквадратическое отклонение 400 часов. Определить значения наработок до отказа, которые соответствуют вероятности отказа 0,9; 0,5; 0,005. Закон распределения отказов – нормальный. Задача 4.2. Предельно допустимое значение ресурса составляет 7000 часов, среднее квадратическое отклонение 1000 часов. Определить средний ресурс, вероятность отказа и вероятность безотказной работы при 5000 часах. Задача 4.3. В результате изучения процесса изнашивания клыка роторного экскаватора установлено, что средняя величина износа соответствует 5 мм, дисперсия 0,01 мм2. Какова вероятность того, что найденное значение износа превышает среднее, не более чем на 5 %. Задача 4.4. Средняя наработка на отказ соответствует 1500 часам, коэффициент вариации 0,3. Определить показатели надежности для наработок 1000 часов, 2000 часов, 3000 часов. Задача 4.5. Среднее квадратическое отклонение ресурса равно 400 часам, коэффициент вариации 0,3. Определить показатели надежности для наработок 1000 часов, 2000 часов, 3000 часов. Задача 4.6. На испытания установлено 200 задвижек. Через 1000 часов работы отказало 50 задвижек, через 2000 часов еще 20 задвижек. Определить количество отказавших задвижек в промежутке времени от 1500 часов до 3000 часов работы, если среднее квадратическое отклонение ресурса 500 часов. Задача 4.7. На испытания установлено 100 долот. Через 150 часов работы отказало 50 долот, через 50 часов еще 2 долота. Определить количество отказавших долот в промежутке времени от 200 часов до 250 часов работы, если коэффициент вариации ресурса 0,1. Задача 4.8. Минимальная наработка на отказ составляет 3000 часов, средняя наработка 1200 часов. Определить количество отказавших изделий при наработке 9000 часов и характеристики надежности. Задача 4.9. Определить вероятность отказа изделия при наработке 1500 часов, если коэффициент вариации равен 0,2, нижнее предельно-допустимое значение наработки составляет 2000 часов. Задача 4.10. Предельно допустимое значение наработки на отказ составляет 1600 часов, максимальное значение 2000 часов. Определить вероятность отказа при наработке 1200 часов и характеристики данного распределения. Задача 4.11. Наработка до отказа изделия подчиняется закону Вейбулла с параметрами α=1,5 и λ=10-4 1/час. Определить количественные характеристики надежности изделия за время работы изделия 100 час. Задача 4.12. Вероятность безотказной работы автоматической линии изготовления штоков бурового насоса в течение120 час равна 0,95. Определить интенсивность отказов линии для момента времени 120 часов и среднее время безотказной работы. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Задача 4.13. Среднее время безотказной работы автоматической системы управления равно 640 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение 120 часов, частоту отказов для момента времени 120 часов и интенсивность отказов. Задача 4.14. Время исправной работы скоростных шарикоподшипников подчинено закону Вейбулла с параметрами α=2,6 ; λ = 1,65·10-7 1/час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности для времени 150 часов и среднее время безотказной работы шарикоподшипников. Задача 4.15. Определить вероятность безотказной работы и интенсивность отказов прибора при t = 1300 часов работы, если при испытаниях получено значение среднего времени безотказной работы Мt=1500 часов и среднее квадратическое отклонение t= 100 час. Контрольные вопросы: Что представляет собой закон распределения случайной величины? Для расчета каких показателей и технических систем применяется нормальный закон распределения? Расчет показателей надежности, подчиняющихся нормальному закону распределения. Для расчета каких показателей и технических систем применяется экспоненциальный закон распределения? Расчет показателей надежности, подчиняющихся экспоненциальному закону распределения. Для расчета каких показателей и технических систем применяется закон распределения Вейбулла? Расчет показателей надежности, подчиняющихся закону распределения Вейбулла. Для расчета каких показателей и технических систем применяется гамма-распределение? Расчет показателей надежности, подчиняющихся гамма-распределению. Для расчета каких показателей и технических систем применяется логарифмически нормальное распределение? Расчет показателей надежности, подчиняющихся логарифмически нормальному распределению. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ: Острейковский В.А. Теория надежности: учебник для вузов. – 2-е изд., испр. – М.: Высшая школа, 2008. – 464 с. Практическая работа № 5 «Принципы установления законов распределения случайной величины» Цель работы: Закрепить теоретические знания, полученные в разделе «Математический аппарат теории надежности» по вопросу «Принципы установления закона распределения случайной величины». Освоить методику определения показателей надежности по статистическим данным надежности неремонтируемых изделий на определенном промежутке времени. Получить практические навыки по определению закона распределения показателей надежности по статистическим данным МЕТОДИКА определения показателей безотказности на определенном промежутке времени и порядок выполнения работы На основе представленных статистических данных провести расчет и анализ показателей надежности серии невосстанавливаемых объектов. Установление закона распределения случайной величины выполняется в следующей последовательности: Статистической обработке подвергаются данные об отказах и работоспособности изделий. Вся выборка разбивается на интервалы. Подсчитываются эмпирические частоты. Строится гистограмма. Число интервалов не должно быть велико, чтобы не усложнять расчеты (растет число уравнений с увеличением числа интервалов), и не должно быть мало, т.к. тогда критерий  не будет эффективным. По сгруппированным данным рассчитывают основные параметры: x, s, σ. Строится гистограмма распределения и эмпирическая функция распределения Fx. Выдвигается гипотеза о теоретическом распределении и определяются его параметры. Рассчитываются показатели надежности – вероятность отказа, вероятность безотказной работы и т.д. Проверяется гипотеза о согласии статистического (эмпирического) распределения с теоретическим по критерию или другому.Строятся графики вероятности безотказной работы, вероятности отказа, интенсивности отказов по теоретическим зависимостям. Формулируются выводы по работе. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Исходные данные: Таблица 5.1 – Данные об отказах оборудования
|