Программа дисциплины (силлабус) 9 3 Краткий курс лекций 30 1

• Название: Программа дисциплины (силлабус) 9 3 Краткий курс лекций 30 1
• Дата: 21.11.2019
• Размер: 4.39 Mb.
• Имя файла: umkd tes dunaev p.a..doc
• Тип: Программа дисциплины; #96299
• страница: 4 из 20

Тема 3. Случайные сигналы и их математические модели
Рассматриваемые вопросы

- случайные сигналы и их математические модели;

- гауссов случайный процесс;

- стационарный и эргодический процессы;

- функция корреляции, свойства функции;

- разложение сигналов на составляющие.
Рекомендуемая литература
1 Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для ВУЗов. – М.: Высшая школа. 2000.

2 Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.А. Теория электрической связи. Учебник для ВУЗов. – М.: Радио и связь. 1999.

3 Теория электрической связи. Курс лекций. Ташкентский институт связи. 2006.
Краткое содержание
Основное отличие случайных сигналов от детерминированных сигналов заключается в том, что после их наблюдения на конечном отрезке невозможно предсказать будущее. Случайные сигналы и помехи не предсказуемы. Для них сложно подобрать математическую модель (формулу) по которой можно рассчитать их мгновенные значения. Для решения этой задачи используют теорию вероятностей [1, 2, 3].

Все случайные явления подразделяются на случайные события, случайные величины, случайные процессы.

Случайное событие – это всякий факт, который в результате опыта происходит или не происходит (например, передача текста без ошибок).

Характеризуются частотой появления события и вероятностью , где m число опытов, в которых появилось событие А, к общему числу n.

Величины, значения которых меняются случайным образом, называются случайными величинами (случайные величины X, Y, Z, а значения, которые они принимают x, y, z). Случайные величины могут быть непрерывными и дискретными.

Случайный процесс x(t), это функция времени, значения которой, при любом фиксированном значении аргумента t являются случайной величиной.

Случайные процессы бывают различных типов. Большинство случайных сигналов и помех относятся к стационарным эргодическим случайным процессам [1, 2].

Случайный процесс называется стационарным, если его характеристики : функция распределения F(x), плотность вероятности P(x), математическое ожидание M(x), дисперсия D(x) не зависят от времени.

Случайные процессы, у которых усреднение по времени одной реализации приводит к тем же результатам, что и статистическое усреднение по всем реализациям называются стационарными эргодическими.

Для описания случайного процесса используется функция корреляции Bx(τ), которая характеризует степень взаимосвязи между значениями случайного процесса в различные моменты времени t и (t+τ).

В качестве математических моделей случайных сигналов в технике связи используются гауссовы случайные процессы [1].

Плотность вероятности гауссовского процесса:
,
где m = M(x) – математическое ожидание;

- дисперсия

Функция распределения вероятности:


График функции F(x) имеет вид возрастающей кривой от нуля до единицы.

Сигналы и помехи также можно рассматривать, как случайные процессы [1, 2, 3]. Напомним, что сигналы подразделяются:

- на непрерывные и дискретные;

- на простые и сложные;

- на детерминированные и случайные.

Общими характеристиками случайных процессов явля­ются интегральный и дифференциальный законы распределения. Законы распределения бывают одномерные и двумерные.

Функция распределения и плотность вероятности описываются следующими выражениями [3]:



;
;




dF₁/dx = P(x1 + ∆x,t1) ;


Наиболее полными характеристиками случайных процессов являют­ся п - мерный интегральный и дифференциальный законы распределе­ния [3]. Чаще всего, для оценки случайных процессов пользуются:

- математическим ожиданием, усредненным по времени и по множест­вам (ансамблем) М(х) ;.

- функцией корреляции, которая делится на функцию автокорреляции и функцию взаимной корреляции [3]. Функция автокорреляции:
Функция взаимной корреляции:

Все случайные процессы делятся на стационарные и нестационар­ные процессы.

Под стационарным процессом в широком смысле понимают процесс, n мерный закон распределения которого не зависит от начала от­счета времени.

Стационарный случайный процесс в узком смысле - это такой про­цесс, математическое ожидание и дисперсия которого не зависят от начала отсчета времени, а функция корреляции В_хх (τ) не зависит от от­дельных значений t₁иt₂, но зависит от разности t₂ – t₁ = τ.

Нестационарный процесс, это такой процесс, в котором функция кор­реляции, дисперсия и математическое ожидание зависят от начала отсчета времени [3].
Коэффициент автокорреляции


Коэффициент взаимной корреляции

Используя выражение, описывающее автокорреляционную функцию, можно выполнить ее аппаратную реализацию [3]:


Рисунок 3.5.1- Аппаратная реализация АКФ.

Аналогичным образом, можно получить взаимную корреляционную функцию:

_Т

B_xy(τ) = (1/T) ∫ x(t)∙y(t – τ)dt,

⁰

где ;.

Рисунок 3.5.2 - Аппаратная реализация ВКФ.


Свойства функции корреляции

- функция корреляции - четная функция ( В(τ) = В(-τ) );

- В_хх (τ) = σ², где σ²- дисперсия случайного процесса;

- В_хх(0) ≥ В_хх(τ);

- если R_xx (τ) = 1 , при τ = 0, а

R_xx (τ) = 0 при τ ≠ 0, то такой процесс считается случайным процессом.

- если стационарный случайный процесс не содержит регулярной со­ставляющей, то его функция корреляции В_хх (τ) → σ²;

- если стационарный случайный процесс содержит регулярную состав­ляющую, то В_хх (τ) →а², где а² - квадрат амплитуды регулярной составляющей.

- функция автокорреляции периодического процесса также является пе­риодической, с тем же периодом, что и сам процесс. Периодический процесс не зависит от его начальной фазы. Для стационарных случайных процессов, существует отрезок времени Δτ > τ, при котором его отдельные значения ста­новятся независимыми.

Промежуток времени Δτ, в пределах которого существует взаи­мосвязь между отдельными значениями случайного процесса, называется интервалом корреляции.

Δτ - определяется шириной основания прямоугольника с единичной высотой, площадь которого равно площади, ограниченной кривой В_хх.

Как известно, реальные сигналы имеют случайный характер и сложную форму (рис.3.5.3)


Рисунок 3.5.3 - Случайный сигнал и схема его разложения.
Используя элементарные функции φ_k(t) и коэффициенты ряда α_k , можно разложить сложный сигнал на отдельные составляющие или получить исходный сигнал:

X(t) = ∑α_kφ_k(t) .

Элементарные функции должны быть взаимно независимыми и при умножении на коэффициенты α_k давать хорошую сходимость ряда. Значения коэффициентов α_k не должны зависеть от количества элементарных составляющих.

Этим требованиям удовлетворяют ортогональные функции вида [1, 2, 3] :

Для оценки соответствия сигналов можно воспользоваться выражением:
[ X(t) – X^/(t) ]² = ε²(t) , где X(t) и X^/(t) - исходный и восстановленный сигналы; ε²(t) – среднее квадратичное отклонение сигналов.
Вопросы для самопроверки

1. Случайные сигналы и помехи.

2. Для чего используется функция корреляции, ее свойства?

3. Характеристики гауссова процесса.

4. Законы распределения.

5. Стационарные и нестационарные процессы.

6. Критерии оценки сигналов.

3.6 Тема 4.1 Энергетические спектры сигналов
Рассматриваемые вопросы

- энергетические спектры сигналов;

- теорема Винера – Хинчина;

- узкополосные сигналы;

- белый шум;

- линейные, нелинейные и параметрические цепи.
Рекомендуемая литература
1 Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для ВУЗов. – М.: Высшая школа. 2000.

2 Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.А. Теория электрической связи. Учебник для ВУЗов. – М.: Радио и связь. 1999.

3 Теория электрической связи. Курс лекций. Ташкентский институт связи. 2006.
Краткое содержание
Энергетический спектр сигнала

Если имеется случайный сигнал X(t) , то при известной длительности, можно найти его спектр [1,2]:


^т/2

S(jω) = ∫X(t)e^jωt .

-^т/2

Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса и функция корреляции связаны между собой преобразованием Фурье:

^∞

G(ω) = ∫ B(τ)e^-jωtdτ ;

-^∞
Откуда, функция корреляции:

^∞

B(τ) = (1/2π)∫ G(ω)e^jωtdω.

-^∞

Данные выражения составляют содержание теоремы Винера - Хинчина. При τ = 0, функция корреляции B(0) = σ², где

^∞

σ² = (1/2π) ∫ G(ω)dω.

-^∞

Учитывая, что B(τ) и G(ω) функции четные, вышеприведенные выражения можно записать в полубесконечных пределах [1]:

^{∞ ∞}

B(τ) = (1/π) ∫ G(ω)cos(ωτ) dω ; G(ω) = 2∫ B(τ) cos(ωτ) dτ.

^{0 0}
Целесообразно ввести односторонний спектр мощности F(ω) случайного процесса, при этом дисперсия определится по следующему выражению:

^∞

σ² = R(0) = ∫ F(ω) dω.

⁰

Часто используют односторонний спектр мощности N(f), представляющий собой среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на интервал частот в 1 Гц [1]. Тогда, дисперсия:
^∞

σ² = ∫ N(f) df.

⁰

Дисперсия σ², равная средней мощности флуктуации стационарного случайного процесса, есть сумма вкладов всех участков частотной оси.

Теорема Винера - Хинчина является одним из важных инструментов прикладной теории случайных процессов [1, 2].

Узкополосные сигналы

Сигнал можно считать узкополосным, если его спектральная плотность отлична от нуля лишь в пределах частотных интервалов шириной П, образующих окрестности точек ±, при этом должно выполняться условие П/<<1.

Повидимому, если эти условия не выполнются, то сигнал будет широкополосным. Математическую модель узкополосного сигнала, в общем виде, можно получить за счет линейной комбинации вида [1]:
_.
Функцию A_x(t) принято называть синфазной амплитудой, а функцию B_x(t) квадратурной амплитудой. Узкополосные сигналы можно считать квазигармоническими колебаниями.

Белый шум - стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности (название принято по аналогии с «белым» светом):

Белый шум - это абстрактная математическая модель, но она позволяет приближенно заменять реальные широкополосные случайные процессы. Белый шум является дельта – коррелированным случайным процессом [1].

Используя теорему Винера-Хинчина, запишем функцию корреляции в виде:

Данная функция будет равна нулю везде, кроме точки , средняя мощность (дисперсия) белого шума бесконечно велика.

Любая система радиосвязи и средства радиоэлектроники состоят из отдельных функциональных узлов, на вход которых подается сигнал x(t), а на выходе появляется сигнал y(t) [3].

Рисунок 3.6.1 - Прохождение сигнала через функциональный узел (ФУ).

Любой ФУ состоит из резисторов R, конденсаторов С и катушек индуктивности L, соединенных между собой согласно требуемой схемы.

Транзисторы, полупроводниковые диоды, лампы и другие элементы можно заменить эквивалентными схемами с использованием R, L, С цепей. В зависимости от используемой элементной базы различают следующие виды радиоэлектронных цепей:

- линейные электрические цепи (ЛЭЦ);

- нелинейные электрические цепи (НЭЦ).

К ЛЭЦ применим принцип суперпозиции - отклик на суммарное воз­действие равен сумме откликов на каждое воздействие в отдельности.

В ЛЭЦ не происходит обогащение спектра, т.е. не появляются новые спектральные составляющие.

Если электрическая цепь содержит хотя бы один нелинейный элемент, параметры которого зависят от величины тока I, проходящего через него, и от напряжения U , то такая цепь называется нелинейной.

К НЭЦ не применим принцип суперпозиции, т.е. отклик на суммарное воздействие не равен сумме отдельных воздействий.

В НЭЦ происходит обогащение спектра, т.е. появляются новые спектральные составляющие.

Если электрическая цепь, содержит хотя бы один элементR(t),L(t), C(t), параметры которого являются функцией времени, то такая цепь на­зывается параметрической (ПЭЦ). К ПЭЦ применим принцип суперпозиции [3]:

exp = u₁ + u₂ ;
i = exp_g(t)= u₁ g(t) + u₂ g(t) ;
g(t) = g₀ (1 + m_gcost) .
M_g = g/g_o

М_g- коэффициент изменения проводимости.

В ПЭЦ происходит обогащение спектра, т.е. появляются новые спектральные составляющие [3]:

exp (t) = U_ex cos ( t+ ) ;

Нелинейные ПЭЦ:

- к НПЭЦ неприменим принцип суперпозиции;

- в НПЭЦ происходит обогащение спектра.

Все элементы R, L, С, с помощью которых составляется эквивалентная схема того или иного устройства могут быть инерционными или безинерционные. Характеристики нелинейных элементов могут быть однозначными и многозначными [2, 3].


а) б)

Рисунок 3.6.2 - Характеристики НЭ а; б – однозначные ВАХ.

в) г)

Рисунок 3.6.3 - Характеристики НЭ в; г - многозначные ВАХ.

Существуют входные, выходные, переходные характеристики [3]. Входная характеристика i_б = Ф (U_бэ ), выходная характеристика i_к = Ф(Е_кэ), переходная характеристика i_к = Ф (U_бэ )

а) б) в)
Рисунок 3.6.4 - Характеристики: а-входная ; б- переходная ; в-выходная.

Одной из основных характеристик функциональных узлов является его амплитудная характеристика (АХ).


Рисунок 3.6.5 - Функциональный узел и его характеристика (пример).

Замена реальных ВАХ НЭ, заданных в виде графиков или таблиц, приближенным аналитическим выражениям, называется аппроксимацией.

Требования, предъявляемые к аппроксимирующей функции [3]:

- аппроксимирующая функция должна быть простой;