лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика

• Название: Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
• Дата: 17.09.2019
• Размер: 7.21 Mb.
• Имя файла: [CHerkasov_R.S.,_Stolyar_A.A.]_Metodika_prepodavan(BookFi).doc
• Тип: Программа курса; #87048
• страница: 17 из 109

Для того чтобы это определение (в словесной формулировке или символической записи) сделать доступным учащимся, нужна опре­деленная подготовительная работа, включающая:

а) формирование интуитивного понятия предела функции в точке;

б) разъяснение этого интуитивного понятия различными способа­ми (с помощью различных оборотов речи);

в) поэлементный перевод разъяснения интуитивного понятия в точное определение математического понятия предела (именно по­элементный перевод, а не скачок от интуитивного понятия к математи­ческому, который может оказаться недоступным).

Интуитивное понятие предела формируется на конкретных при­мерах функций с помощью таких оборотов речи, как «Функция стре­мится к числу Ь, когда х стремится к числу а». В этом предложении использовано слово «стремится», которое не является математическим термином (его значение ранее не определено математически). Исполь­зуется и такой оборот речи: «Значение функции сколь угодно близко подходит к числу Ь, когда значение х достаточно близко к а (доста­точно мало отличается от а)».

Эти синонимичные выражения уточняются постепенно с помощью геометрически наглядного понятия окрестности, позволяющего полу­чить аналитическое выражение того, что интуитивно понимаем под «стремится», «близко», а также связи между «как угодно близко» и «достаточно близко».

Чем сложнее структура определения математического понятия, тем больше потребности в тщательной отработке соответствующего интуитивного образа и его переводе в математическое.

В математике часто применяются так называемые индуктивные (рекурсивные) определения, которые постепенно внедряются и в школьном обучении.

В наиболее простых случаях, которые встречаются в школьном обучении, индуктивное определение функции натурального аргумента (последовательности) строится по следующей схеме:



т. е. задается значение определяемой функции для 0 (или для 1) и выражается известным способом ее значение для n+1 (- извест­ная функция) через n и ее значение для n. Например, последовательность



можно определить следующим образом (в предположении, что законо­мерность образования новых членов одна и та же):



(такое определение применяется, в частности, при программировании процесса вычисления суммы соответствующего ряда с заданной сте­пенью точности).

Пока индуктивные определения редко встречаются в школьном обучении, но, учитывая их широкое распространение и значение в математике (рекурсивные функции — одно из математических уточ­нений интуитивного понятия алгоритма), можно предполагать, что их применение в обучении математике будет постепенно раcширяться.

1.7. Мы уже говорили о том, что содержание понятия раскрывает­ся с помощью определения (явного или неявного), а объем — с по­мощью классификации.

Часто классификация состоит из многоступенчатого разбиения множества объектов на два класса с помощью некоторого свойства (двучленное деление, или «дихотомия», в терминах классической ло­гики).

В общем виде это выглядит так. Пусть имеем множество А и свойство Р₁, причем существуют элементы А, обладающие и не об­ладающие этим свойством. Допустим, что



Таким образом, получаем разбиение множества А на два класса:



Дальше выделяются в А₁ два класса с помощью свойства Р₂:



Т.е. определяется разбиение множества A₁ на два класса: А₂ и . Аналогично разбивается и А₂ на два класса: А₃ и — с помощью некоторого свойства Р₃ и т. д. Эта последовательность разбиений заканчивается на каком-то А_к, дальнейшее разбиение которого уже не рассматривается.

Примером такой последовательности разбиений является следую­щая классификация чисел, отражающая (если читать ее снизу вверх) схему развития понятия числа:

Методически полезными могут оказаться и схемы без слов, как, например, изображенная на рисунке 8 схема, изображающая зависи­мости изучаемых в курсе планиметрии классов четырехугольников (трапеции, параллелограммы, прямоугольники, ромбы и квадраты).

Для наглядного представления классификации можно воспользо­ваться и так называемыми диаграммами Эйлера — Венна, в которых различные классы объектов изображаются в виде множеств точек, ограниченных простыми замкнутыми линиями.
Если М обозначает множество треугольников, А — класс прямо­угольных треугольников и В — класс равнобедренных треугольни­ков, то диаграмма, изображенная на рисунке 9, а, представляет раз­биение множества треугольников на два класса: прямоугольных и непрямоугольных треугольников; диаграмма на рисунке 9, б — раз­биение множества треугольников на два класса: равнобедренных и неравнобедренных треугольников; диаграмма на рисунке 9, в — разбиение множества треугольников на четыре класса: (1) — прямо­угольных равнобедренных; (2) — прямоугольных неравнобедренных; (3) — равнобедренных непрямоугольных и (4) — непрямоугольных неравнобедренных треугольников.
С помощью диаграмм Эйлера — Венна можно выполнить широкое разнообразие упражнений, способствующих систематизации знаний учащихся, правильному пониманию отношений между различными понятиями. Они служат также аппаратом для анализа некоторых классов рассуждении (о которых пойдет речь дальше).

Значение деятельности по классификации (одного из важных ви­дов умственной деятельности) далеко выходит за рамки усвоения ма­тематических знаний. Необходимость классифицировать возникает в любой области человеческой деятельности. Этому нужно учить в школе.