лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
 Скачать 7.21 Mb.
|
 элементарные, они не расчленяются на части, каждая из которых — предложение.Из этих элементарных предложений могут быть составлены личные сложные предложения. Рассмотрим некоторые из них:  Нетрудно заметить, исходя из известных геометрических соотношений и правильного понимания точного смысла слов «не», «и», «или», «если..., то» (возможное разъяснение которого будет показано дальше), что предложение (1) истинно, (2) и (3) ложны, (4) истинно. Предложения (1) и (2) составлены из одних и тех же элементарных предложений с помощью одних и тех же логических связок и отличаются только порядком этих операторов: поменяли в (1) местами «и» и «то», в результате чего получили новое предложение (2), при этом изменилось истинностное значение: (1) истинно, (2) ложно. Предложение (3) отличается от (1) тем, что союз «и» заменен союзом «или», и от этого также изменилось истинностное значение: (1) истинно, (3) ложно. Как видно, истинностное значение сложного предложения существенно зависит от совокупности и порядка логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных предложений, т. е. от логической структуры (формы). Структуры предложений (1) и (4) различны, но они так связаны между собой, что оба эти предложения имеют одно и то же истинностное значение. Таким образом, если мы доказали истинность предложения (1), то предложение (4) уже не нуждается в специальном доказательстве. Предложения (1) и (4) равносильны или эквивалентны, они выражают одну и ту же мысль в разной форме, причем равносильность предложений — свойство их логической структуры, оно не зависит от содержания предложений. Возьмем два предложения другого содержания, но той же структуры, что и (1) и (4): «Если число целое и положительное, то оно натуральное». (1') «Если число целое и не натуральное, то оно не положительное». (4') Что общего в предложениях (1) и (1'), (4) и (4'), столь различных по содержанию? У них одна и та же логическая структура. Чтобы выразить общую логическую структуру различных по содержанию сложных предложений, достаточно отвлечься от конкретного содержания составляющих их элементарных предложений, обозначив их какими-нибудьбуквами, например: Тогда логические структуры пар предложений (1) и (Г), (4) и (4') запишутся так:  (1) — (1'). «Если X и Y, то Z». (4) — (4'). «Если X и не Z, то не Y». Как видно, заменяя элементарные предложения, входящие в состав сложных, буквами, мы опускаем в записях этих сложных предложений то, чем они отличаются (конкретное содержание), и сохраняем лишь то, что у них общее (логическую структуру, форму). То, что мы здесь сделали, можно назвать логическим анализом предложений. Для чего он нужен? Вместо того чтобы установить отдельно для предложений (1) и (4), затем (Г) и (4'), что истинность каждого из них определяется истинностью другого, целесообразно установить это один раз для предложений такой логической структуры. (Такой метод свойствен для математики. Мы ведь не устанавливаем отдельно для (1 + З)2, (2 + 5)2, (3 + 8)2 и т. д. чему равен квадрат суммы этих чисел, а заменяем конкретные числа переменными, вместо которых можно подставить любые числа, и доказываем один раз для любых двух чисел х, у, что (х + у)2 = х2 + 2ху + у2. В записях (1) — (1') и (4) — (4') буквы X, Y, Z можно рассматривать как переменные для предложений (пропозициональные переменные). Вместо них можно подставить не только те элементарные предложения из наших примеров, которые они заменили, но и любые Другие, разумеется, связанные по содержанию, чтобы получились осмысленные сложные предложения. Например, если вместо X подставить предложение «Четырехугольник — параллелограмм», вместо Y — предложение «Его диагонали взаимно перпендикулярны», а вместо Z — предложение «Четырехугольник — ромб», получим: «Если четырехугольник — параллелограмм и его диагонали взаимно перпендикулярны, то четырехугольник — ромб». (1") «Если четырехугольник — параллелограмм и не ромб, то его диагонали не взаимно перпендикулярны». (4") Эти два предложения обладают таким же свойством, как (1) и (4), т. е. они равносильны, или каждое из них следует из другого. Отношения равносильности и следования между предложениями находят широкие применения в математике и в обучении математике. Первое из этих отношений сводится ко второму, а отношение следования является основой всяких доказательств. Не может быть сомнений в том, что эти отношения должны разъясняться в процессе обучения математике примерно на таком же уровне, на каком мы иллюстрировали выше разъяснение и раскрытие логической структуры предложений. 2.3. Существенное значение при усвоении математических знаний имеет умение различать математические предложения, содержащие свободные вхождения переменных от таких, которые не содержат подобных вхождений. Приведем несколько примеров: (1) 3 < 5; (2) 7 < 5; (3) х < 5. (4) Существует натуральное число х такое, что х < 5. (5) Для всякого натурального числа х х < 5. (6) 3 + 4 = 7; (7) 5 + 3 = 7; (8) х + у = 7. (9) Существуют натуральные числа х, у такие, что х + y = 7 (10) Для всяких двух натуральных чисел х, у х + у = 7 (11) x+y=y+x (12) Существуют натуральные числа х, у такие, что х + у = у + х. (13) Для всяких двух натуральных чисел х, у х + у =у + х. Что выражают эти предложения с логической точки зрения? Предложения (1), (4), (6), (9), (12), (13) выражают истинные высказывания, предложения (2), (5), (7), (10) — ложные высказывания, а предложения (3), (8), (И) не выражают высказывания, так как к ним не применим (не имеет смысла) вопрос: «Истинно ли предложение...?» Если же вместо переменной (всех переменных) подставить какое-нибудь ее значение (какие-нибудь их значения), то эти предложения преобразуются в высказывания (точнее, в предложения, выражающие высказывания), истинные или ложные в зависимости от подставляемых значений. Эти предложения являются лишь формами для высказываний (или высказывательными формами), порождающими высказывания одной формы, хотя имеющими, возможно, и различные истинностные значения. Предложение (11) при любых значениях переменных х, у обращается в истинное высказывание. Именно поэтому предложение (13) выражает истинное высказывание (закон коммутативности сложения в множестве N). Как видно, хотя предложения (4), (5), (9), (10), (12), (13) тоже содержат переменные, они в отличие от предложений (3), (8), (11) выражают высказывания. Это объясняется тем, что они не содержат свободных вхождений переменных, все входящие в них переменные связаны кванторами существования или общности, выраженными соответственно словами «существует» и «для всякого» (выражение «Существуют натуральные числа х, у» — сокращенная запись двух кванторов существования: «Существует натуральное число х, существует натуральное число у»; аналогично выражение «Для всяких двух...» — сокращенная запись двух кванторов общности). Важно отметить, что операция подстановки значения применима лишь к свободным вхождениям переменных. Так, имеет смысл подставлять различные значения вместо х в предложении (3). Получим истинные или ложные высказывания: Таблица 1 |