лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
 Скачать 7.21 Mb.
|
 Однако бессмысленно подставлять значения вместо х в предложении (4) или (5). Предложение «Для всякого х А (х)» («  хА(х)») истинно, если высказывательная форма А(х) обращается в истинное высказывание при подстановке вместо х любого значения (из области значений этой переменной), и ложно, если найдется хотя бы одно значение х (из этой области), при подстановке которого А(х) обратится в ложное высказывание.Предложение «Существует х такое, что А(х)» («  хА (х)») истинно, если найдется хотя бы одно значение х (из области значений этой переменной), подстановка которого вместо х в А (х) обращает эту высказывательную форму в истинное высказывание, и ложно, если подстановка любого значения х (из этой области) обращает эту высказывательную форму в ложное высказывание.Роль элементов логики в теории и практике обучения математике состоит в том, что, во-первых, усвоение общих логических приемов мышления (о которых пойдет речь в гл. IV) является необходимым условием формирования и развития познавательной деятельности учащихся и, во-вторых, разработанные в рамках математической логики некоторые общие понятия (высказывание, предикат, логические операции, отношение следования и др.) способствуют раскрытию структуры и более глубокому пониманию математического содержания. Речь идет лишь о разумном, дидактически целесообразном применении некоторых логических понятий и обозначений как важных вспомогательных средств обучения. Переоценка роли логики как одной из основ теории обучения математике так же вредна, как и недооценка этой роли. В связи с уточнением роли логики в теории и практике обучения математике уместно привести высказывание академика А. Н. Колмогорова: «Ответственность преподавателей математики здесь особенно велика, так как отдельного предмета «логика» в школе нет и знакомство с началами логики практически в значительной мере происходит на уроках математики»1. 2.4. Приведенные выше истинностные таблицы и определения кванторов в общем хорошо согласуются со смыслом соответствующих выражений в обиходном языке. Исключение составляет импликация, истинностная таблица которой не во всех строках согласуется со смыслами, в которых оборот речи «если..., то» применяется в обиходном языке. Этот вопрос заслуживает специального рассмотрения, так как многие трудности в обучении возникают именно там, где точный смысл, в котором некоторые обороты речи используются в математике, отличается от смысла этих оборотов в обиходном языке. Словосочетания «если..., то», «из... следует», «из... вытекает», «... влечет...» и т. п. часто встречаются в математических текстах, в том числе и в школьных учебниках. Анализ показывает, что этими словосочетаниями обиходного языка выражаются различные формально-логические понятия. Иными словами, попытка уточнения (или формализации) подобных формулировок приводит к одному из следующих логических понятий: а) к сложному предложению (импликации), образованному из двух предложений «А» и «В» с помощью логической связки «если..., то» («Если А, то В»), обозначаемой в логической литературе одним из знаков «  »,« », б) к отношению логического следования (из предложения «А» следует предложение «В») и в) к отношению формальной выводимости (из «А» выводимо «В»).Так как логика школьной математики неформализована, то последнее понятие (отношение формальной выводимости) не применимо. Анализ применения оборота «если..., то» в обиходном языке показывает, что применяется именно в случаях, когда истинностное значение предложения, стоящего между словами «если» и «то», неизвестно («Если завтра будет хорошая погода, то осуществим прогулку в лес» и т. п.). Такие слова, как «завтра», «сегодня», «здесь», «там», «дома», «мы» и т. п., имеют меняющееся от случая к случаю значение и могут играть в обыденном языке роль переменных математического языка. В математике же истинностное значение предложения, стоящего между словами «если» и «то», неизвестно чаще всего в случае высказывательной формы. Например, в предложении «Если число n делится на 6, то оно делится на 3» переменная n может принимать различные значения и мы заранее не знаем истинностного значения предложения «Число n делится на 6», стоящего за словом «если», так как оно обозначает высказывательную форму. Часто, говоря «Если число n делится на 6, то оно делится на 3», подразумевают высказывание «Для всякого числа n: если n делится на 6, то n делится на 3» (квантор общности чаще всего явно не высказывается). Аналогично, говоря: «Если ABCD— ромб, то AС  ВD», мы заранее не знаем, является ли четырехугольник ABCD ромбом. Здесь роль переменных играют буквы А,В,С,D (переменные для точек) или символ «ABCD» можно рассматривать как переменную для четырехугольника. Доказывая соответствующую теорему (о свойстве диагоналей ромба), подразумеваем, что в ее формулировке явно не высказан квантор общности. Если восстановить полную формулировку, получим: «Для любого четырехугольника ABCD: если ABCD — ромб, то AСВD».Рассмотрим два предложения, образованные с помощью «если..., то»: (1) «Если х = 3, то х2 = 9» и (2) «Если х2 = 9, то х = 3». О предложении (1) обычно говорят, что оно верно (истинно), о предложении (2) — что оно неверно (ложно). В каком же смысле понимают в них словосочетание «если..., то»? Если понимать его в смысле импликации, то обе импликации, (1) и (2), выражают высказывательные формы. При этом (1) обращается в истинное высказывание при любом значении х, т. е. высказывание  истинно, а (2) представляет собой высказывательную форму, обращающуюся при одних значениях переменной х (например, 0, 1, 2, 3) в истинное высказывание, при других («—3») — в ложное, т. е. высказывание |