лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
 Скачать 7.21 Mb.
|
|
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 3.1. Говоря «математическое доказательство», мы имеем в виду доказательство математических предложений, или, точнее, доказательство предложений в рамках какой-нибудь математической теории. Дальше будем пользоваться термином «доказательство» в смысле «математическое доказательство». Исходя из такого понимания этого термина, мы различаем содержательные (неформальные) и формальные доказательства, применяющиеся соответственно в содержательных (неформальных) или полуформальных и в формальных математических теориях. В школьном обучении некоторые начальные фрагменты математических теорий (арифметики, алгебры, геометрии, анализа) излагаются содержательно (неформально). Поэтому и доказательства в школь-ной математике строятся как содержательные доказательства, в которых используются обычные рассуждения, а правила логического вывода не фиксируются. Вопрос о том, как мы доказываем, как доказываемое предложение получается из уже известных истинных предложений данной теории, остается в установившейся практике обучения по существу не разъясненным. Часто встречающийся ответ («С помощью рассуждения»), очевидно, ничего не разъясняет (понятие доказательства «разъясняется» с помощью понятия рассуждения, которое само нуждается в разъяснении). Обучение же дедуктивному доказательству без разъяснения применяемой в нем логики (правил вывода) подобно обучению кладке кирпичной стены без всякого упоминания о растворе. Вот почему в результате такого обучения доказательству учащиеся часто строят «доказательства», которые разваливаются так же, как стены, сложенные из кирпича, не скрепленного раствором. Вопрос о разъяснении в процессе обучения математике простейших применяемых неявно в доказательствах правил вывода (схем дедуктивных рассуждений) давно является предметом дискуссии в нашей и зарубежной методической литературе. Речь идет не о том, чтобы в школьном обучении применялись доказательства в полной логической форме с выявленной логикой. Такие доказательства (семантические аналоги формальных доказательств) очень громоздки и непригодны для практики доказательства. Речь идет лишь о том, чтобы показать учащимся на отдельных конкретных примерах, что те доказательства, которые мы обычно строим, являются свернутыми, сокращенными формами доказательства, которые можно преобразовать в полные логические формы выявлением используемых неявно правил вывода (следования). Ясно, что этот вопрос может не выделяться в качестве специальной темы программы, так как он относится не к содержанию, а к методам обучения математике. Методы обучения доказательству, включающие раскрытие логики доказательств, способствуют интенсификации влияния обучения на развитие логики мышления учащихся. Они могут осуществляться по крайней мере на факультативных занятиях или в классах с углубленным изучением математики. Учитель должен уметь развертывать доказательства в полную логическую форму еще и потому, что эта форма поможет ему сравнивать различные содержательные, свернутые доказательства с целью оценки их сложности, поможет ему сформулировать методически целесообразные вопросы для выяснения понимания учащимися способа и хода доказательства. Простейшие правила вывода могут быть выявлены и разъяснены с помощью логического анализа конкретных доказательств с целью выяснения, как доказываемое предложение выводится (следует) из других (посылок). Приведем в качестве примера логический анализ двух различных доказательств предложения «Диагонали прямоугольника равны». Предварительно отметим, что различные доказательства одной и той же теоремы могут отличаться как математическими посылками (  т. е. используемыми в них истинными предложениями данной теории — аксиомами, определениями, ранее доказанными теоремами), так и логикой (используемыми в них правилами вывода, которые в содержательных доказательствах, разумеется, не фиксируются).Математические посылки характеризуют способ доказательства, который, очевидно, зависит от принятой системы изложения теории. Мы рассмотрим два способа доказательства названной выше теоремы: с помощью осевой симметрии и с помощью равных треугольников. Прежде всего сформулируем доказываемое предложение в виде импликации: «Если четырехугольник — прямоугольник, то его диагонали равны» или «Если ABCD — прямоугольник, то |АС|=|BD|» (рис. 11). Сначала приведем два содержательных доказательства в свернутой форме, как они обычно излагаются в школьных учебниках. Доказательство I. Точки D и В симметричны точкам А и С относительно оси MN (рис. 11). (Это непосредственно следует из ранее доказанной теоремы «Серединный перпендикуляр к стороне прямоугольника является его осью симметрии».) Значит, отрезки АС и DB симметричны относительно оси MN. Поэтому |АС|= |DB|. Доказательство II.  BAD=CDA, так как они прямоугольные ( A=D= 90°), |AB|=|CD| как противоположные стороны прямоугольника, и |AD|— общая сторона. Следовательно, |АС|=|BD|»С помощью логического анализа доказательства I мы выявим и разъясним некоторые правила вывода, а затем, используя эти же правила, представим в полную логическую форму и доказательство II. Логический анализ доказательства I. С целью анализа доказательства I выделим участвующие в нем предложения, опуская при этом фигурирующие в тексте доказательства слова «значит», «поэтому» и разбивая сложные предложения на элементарные. Очевидно, можно записать доказательство I в виде последовательности из четырех предложений: 1 «SMN(A)=D». 2. «SMN(C)=B». 3. «SMN([AC]) = [DB]». 4. |АС|= |DB||». Однако эта последовательность предложений еще не является полной записью доказательства. В ней не видно, на основе каких Дедуктивных рассуждений (правил вывода) предложение 4 получается из предшествующих ему. Выясним какими предложениями необходимо его дополнить, чтобы получить полную (развернутую) запись доказательства. Рассмотрим по порядку каждое из предложений 1—4. В силу чего истинно предложение 1? По-видимому, в силу ранее доказанной теоремы, так как мы провели MN как серединный перпендикуляр отрезка АВ. А как установить истинность предложения 2? Из предложения 1 по теореме о серединном перпендикуляре к стороне прямоугольника следует, |