лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
 Скачать 7.21 Mb.
|
 А»), то, исходя из приведенных выше синонимов для «следует», можно утверждать, что каждое из предложений «A» и «В» выражает необходимое и достаточное условие для другого. Таким образом, обороты речи: «A равносильно В», «A необходимо и достаточно для В», «В необходимо и достаточно для A» — применяются в качестве синонимов.Встречаются случаи, когда из «А» следует «В», но из «В» не следует «А», т. е. предложения «А» и «В» неравносильны. В этом случае «А» — достаточное, но не необходимое условие для «В», а «В» — необходимое, но недостаточное условие для «А». Математические предложения часто формулируются с помощью оборота «если..., то», т. е. в виде импликаций. Если импликацией «Если Р, то Q» выражается некоторая теорема, то первый член импликации «Р», т. е. предложение, записанное между словами «если» и «то», называется условием, а второй член импликации «Q», т. е. предложение, записанное после слова «то», — заключением теоремы. Для импликации «Если Р, то Q» (1) определим еще три импликации следующим образом: а) Если в (1) поменять местами «/>» и «Q», то получим предложение «Если Q, то Р»(2) называемое обратным по отношению к предложению (1). б) Если в (1) заменить «Р» и «Q» их отрицаниями «Р» и «Q» соответственно, получим предложение «Если Р, то Q»(3) называемое противоположным по отношению к предложению (1). в) Если в (1) произвести одновременно преобразования, указанные в а) и б), получим предложение «Если Q, то Р»(4) называемое контрапозитивным (противоположно-обратным, или обратным противоположному) по отношению к предложению (1). Легко установить (хотя бы с помощью истинностных таблиц или непосредственными рассуждениями), что предложения (1) и (4), (2) и (3) равносильны:  Таким образом, если предложение «Если Р, то Q» — теорема некоторой теории, то равносильное ему предложение «Если Q, то Р» тоже принадлежит этой теории (истинно), причем, если первое доказано, второе уже не требует специального доказательства. Так, предложение «Если многоугольник правильный, то около него можно описать окружность» — геометрическая теорема. Поэтому и контрапозитивное предложение «Если около многоугольника нельзя описать окружность, то многоугольник неправильный» тоже геометрическая теорема, причем она уже не нуждается в доказательстве, если первое доказано. Если предложение «Если Р, то Q» — теорема некоторой теории, то обратное предложение «Если Q, то Р» может и не быть теоремой этой теории. Это хорошо известно из школьной математики, где встречаются примеры, когда предложение, обратное некоторой теореме, также является теоремой (обратной теоремой), и много примеров, когда обратное предложение не является теоремой. В приведенном выше примере обратное предложение «Если около многоугольника можно описать окружность, то этот многоугольник правильный» не является теоремой (это легко установить с помощью контрпримера, т. е. неправильного многоугольника, например равнобедренной трапеции или прямоугольника). 2.6. В обучении математике часто приходится формулировать отрицания предложений сложной логической структуры. Обычно это Делается интуитивно, без явного применения каких-либо логических правил и при этом часто допускаются ошибки. Правила построения и преобразования отрицаний предложений сложной логической структуры (сведение отрицаний к элементарным формулам) основаны на нескольких легко разъясняемых учащимся равносильностях, выражающих известные и широко применяемые законы логики: (1) «Неверно, что не А» равносильно «А»  (закон двойного отрицания позволяет заменить предложение «Неверно, что не А» предложением «А»). (2) «Неверно, что А и В» равносильно «Не А или не В»  (3) «Неверно, что А или В» равносильно «Не Л и не В»  (законы де Моргана позволяют заменить предложение «Неверно, что А и В» предложением «Не А или не В» и предложение «Неверно, что А или В» предложением «Не А и не В»). (4) «Неверно, что если А, то В» равносильно «А и не В»  (закон отрицания импликации позволяет заменить предложение «Неверно, что если А, то В» предложением «А и не В»). (5)«Неверно, что для всякого х (имеет место) А» равносильно «Существует ли такое, что не (имеет место) А»  (6) «Неверно, что существует х такое, что (имеет место) А» равносильно «Для всякого х не (имеет место) А» |