лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
 Скачать 7.21 Mb.
|
|
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 2.1. Каждая математическая теория представляет собой множество предложений, описывающее какую-то структуру (если эта теория излагается содержательно в определенной конкретной интерпретации, как это имеет место в школьном обучении) или какой-то аксиоматизируемый класс структур (если она излагается абстрактно (полуформально или формально) вне всякой интерпретации). Принадлежность предложения к некоторой математической теории определяется двумя признаками: (а) предложение записано (или сформулировано) на языке дан ной теории, состоит из математических (принадлежащих языку теории) и логических терминов или символов и не содержит никаких других терминов или символов; (б) предложение истинно, т. е. является или исходным истинным предложением (аксиомой) данной теории, или его истинность устанавливается доказательством с помощью уже известных (исходных или ранее доказанных) истинных предложений. Например, предложение «Сумма углов всякого треугольника равна 180°» является геометрическим предложением, принадлежит теории евклидовой геометрии, потому что: (а) оно записано на языке геометрии (хотя одновременно на русском языке), т. е. состоит из геометрических («сумма углов», «треугольник», «180°») и логических («всякого», «равна») терминов или символов; (б) оно истинно, так как доказывается в рамках евклидовой геометрии, т. е. на основе ее аксиом или других уже доказанных предложений этой теории. Аналогично предложение  принадлежит алгебраической теории, описывающей структуру (Q, +), потому что: (а) оно записано на языке этой теории, состоит из символов, обозначающих понятия этой теории: a, b — переменные для элементов из Q, «+» — знак операции сложения в Q, «  » — знак принадлежности элемента (или значения переменной) к множеству, «=» — логический символ, «для любых» — логический термин, и никаких других терминов или символов не содержит;(б) оно истинно, обычно принимается за одну из аксиом, характеризующих групповую структуру (Q, +). Такие же предложения, как «Прямая имеет вид туго натянутой нити», (1) «Сумма углов треугольника не равна 180°», (2) «a+ Ь = b для любых a, b Q», (3)не принадлежат соответствующим математическим теориям: (1) и (2) не принадлежат евклидовой геометрии, (3) не принадлежит теории структуры (Q,+). Действительно, (1) не принадлежит никакой геометрической теории, так как содержит такие термины, как «имеет вид», «туго натянутая нить», не обозначающие геометрические понятия, т. е. предложение (1) не сформулировано на языке геометрии. Это предложение, однако, выполняет некоторую дидактическую функцию, она указывает ту конкретную реальную интерпретацию, в которой строится школьная геометрия. В этой геометрии прямой действительно приписывается вид туго натянутой нити, так изображается прямая на рисунках, хотя этот вид прямой никакого участия в дедуктивном развертывании геометрической теории не принимает. Это чрезвычайно важно, и нужно подчеркивать в процессе обучения, что в доказательствах геометрических теорем мы имеем право пользоваться только геометрическими предложениями, причем такими, истинность которых ранее уже установлена (или принята без доказательства). Предложение (2) записано на геометрическом языке, но не принадлежит теории евклидовой геометрии, так как оно противоречит предложению этой теории («Сумма углов треугольника равна 180°») и поэтому ложно (не выражает свойство структуры евклидовой плоскости). Если предложение (2) включить в евклидову геометрию, например, в качестве новой аксиомы, мы получили бы противоречивую теорию, ничего не описывающую, не имеющую никакой модели. Предложение (3) записано на языке теории, описывающей структуру (Q, +), но оно ложно. Чтобы установить это, достаточен один контрпример, т. е. установить истинность отрицания предложения (3): «Существуют а, Ь Q такие, что а + b  b,например 3 + 4 4.(Установление ложности общего предложения с помощью контрпримера — весьма полезное упражнение на различных этапах обучения.) 2.2. С каждым математическим предложением связаны содержание (выраженное в нем математическое содержание) и логическая форма (или структура). Представление, что можно ограничиться в обучении математике лишь раскрытием содержания каждого математического предложения, ошибочно. Содержание неразрывно связано с формой, и нельзя осмыслить первое без понимания второй. Так как одна из центральных задач обучения математике состоит в обучении установлению истинности математических предложений (чаще всего с помощью доказательства), а истинностные значения этих предложений зависят от их логической структуры, то естественно считать одной из задач методики преподавания математики раскрытие логической структуры математических предложений. Раскрыть логическую структуру сложного (составного) предложения — значит показать, из каких элементарных предложений сконструировано данное сложное предложение и как оно составлено из них, т. е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок (слов или сочетаний слов) «не» , «и», «или» , «если...,то» , «тогда и только тогда» , «для всякого» , «существует» (и некоторых синонимических выражений), обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений образуются другие. Всякое математическое (и не только математическое) предложение либо элементарное, т. е. не расчленяется на части, каждая из которых в свою очередь есть предложение, либо построено из элементарных, определенным образом соединенных между собой логическими связками. Совокупность и порядок логических связок, с помощью которых сложное предложение образовано из элементарных, составляет логическую структуру (или логическую форму) этого сложного предложения. Р  аскрытие логической структуры математических предложений было бы бесполезным без разъяснения точного смысла используемых логических связок. Такое разъяснение необходимо потому, что, как показывают многочисленные исследования, применение, даже многократное, перечисленных выше слов само по себе еще не обеспечивает правильного понимания их смысла. Не только школьники, но и некоторые взрослые, много тысяч раз применявшие в своих рассуждениях союз «или», отвечают отрицательно, например, на вопрос:«Истинно ли предложение «3  5» («3 < 5» или «3 = 5»)?» Без понимания точного смысла логических связок не может быть достигнуто и правильное понимание точного смысла всей логико-математической конструкции, т. е. математического предложения, образованного с их участием, а следовательно, и выраженного в нем математического содержания.Приведем пример. Пусть даны треугольник ABC и точка D на стороне АС (рис. 10). Предложения |