|
Лаборатория. УМК_Высшая математика (Шарова А.Б.). Протокол 3 Председатель Ректор чоувпо веип, профессор Решетников М. М. Учебнометодический комплекс
6.1. Основы теории вероятностей
6.1.1.Случайные события и их вероятности
Случайные события. Совместные и несовместные события. Элементарные события. Противоположные события. Равновозможные события. Пространство элементарных событий
Классическое определение вероятности
Статистическое определение вероятности
Геометрические вероятности
Условные вероятности
Независимые события. Теоремы о сложении и умножении вероятностей
Формула полной вероятности
Формула Байеса
6.1.2.Последовательность независимых испытаний
Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли
Локальная теорема Муавра-Лапласа
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Теорема Пуассона
6.1.3.Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов. Аксиоматика Колмогорова
σ-алгебра событий. Вероятностное пространство.
Аксиоматическое построение теории вероятностей
6.1.4.Случайные величины и функции распределения
Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины. Случайные величины с дискретным и абсолютно непрерывным распределением
Функция распределения случайной величины, ее свойства
Примеры дискретных распределений
Плотность, ее свойства
Примеры абсолютно непрерывных распределений
Понятие случайного вектора. Независимые случайные величины
6.1.5.Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание и его свойства
Дисперсия и ее свойства
Ковариация и коэффициент корреляции
Моменты
Неравенства Маркова и Чебышева
6.1.6.Функции от случайных величин
6.1.7.Виды сходимости последовательности случайных величин. Закон больших чисел
6.1.8.Центральная предельная теорема
6.1.9. Цепи Маркова. Определение. Матрица перехода
6.1.10. Понятие случайного процесса. Примеры
6.2. Введение в статистику
Задачи математической статистики. Понятие случайной выборки, генеральной совокупности, функции правдоподобия. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Выборочное среднее и выборочная дисперсия
Понятие оценки. Виды оценок
Точечные оценки. Свойства несмещенности, состоятельности и эффективности. Отыскание оценок методом моментов. Метод максимального правдоподобия.
Интервальные оценки. Доверительные интервалы и области.
Лемма Фишера и ее применение
Статистическая проверка гипотез. Общее понятие о статистической проверке гипотез. Простые и сложные гипотезы. Критерий и критическая область. Ошибки первого и второго рода. Параметрические и непараметрические критерии. Примеры
Элементы корреляционного анализа
Элементы регрессионного анализа
Раздел 7. Элементы линейной алгебры
Системы линейных уравнений. Понятие матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Системы двух и трех линейных уравнений. Система n линейных уравнений с n неизвестными
Действия с матрицами: линейные операции, умножение, транспонирование
Понятие обратной матрицы
Понятие определителя. Вычисление определителя матрицы 2x2 и 3x3
Вычисление определителя матрицы произвольного порядка
Правило Крамера. Метод Гаусса
Обратная матрица
Матричные уравнения
Раздел 8. Элементы векторной алгебры
Скалярные и векторные величины.
Понятие векторного пространства
Линейные операции над векторами.
Проекция вектора на ось и ее свойства
Правые и левые тройки векторов. Смешанное произведение
Понятие базиса.
Декартова система координат
Полярные и другие координаты. Преобразования координат
Понятие линейного (векторного) пространства. n-мерное векторное пространство
Вектор как элемент линейного пространства. Примеры
Раздел 9. Элементы теории дифференциальных уравнений
Понятие дифференциального уравнения и его решения. Уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные)
Понятие о дифференциальных уравнениях второго порядка и уравнениях, содержащих частные производные
Раздел 10. Немного об основаниях геометрии
Аксиомы геометрии
Системы аксиом
Непротиворечивость, полнота, независимость, замкнутость аксиоматической системы
Понятие о евклидовой и неевклидовых геометриях
1.3 Программа курса с распределением по часам
№
п/п
|
Наименование разделов и тем
|
Всего часов
|
Аудиторные занятия
|
Самостоятельная
работа
|
|
|
|
Лекции
|
Практики
|
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
| Введение
Элементы теории множеств
Отношения и графы
Элементы комбинаторики Введение в математический анализ. Элементы функционального анализа
Основы теории вероятностей и мат.статистики
Элементы линейной алгебры
Элементы векторной алгебры
Элементы теории дифференциальных уравнений
Элементы аналитической геометрии
Всего часов: 300
Из них контрольная работа:
|
22
16
10
12
96
104
16
8
10
6
300
|
8
6
4
4
38
34
2
2
2
2
102
|
4
4
2
2
18
18
4
4
4
2
62
|
10
6
4
6
40
52
10
2
4
2
136
20
|
2. Методические указания преподавателю
Работа по подготовке преподавателя к проведению занятия начинается с анализа учебной программы дисциплины.
При анализе программы следует обращать внимание на следующие моменты:
Особенности и содержание курса и разделов.
Программа курса достаточно традиционна и является отражением интересной и драматической истории математической науки. Поэтому в процессе изложения целесообразно уделять внимание вопросам истории и сути конкретных математических дискуссий, итоги которых и легли в основу классической последовательности изложения тем в курсе высшей математики.
2. Связь между отдельными темами.
Ключевым и сквозным понятием курса является понятие пространства, отображения и, как частный случай последнего, функции. Эти понятия обсуждаются как число теоретически при рассмотрении первых разделов математического анализа и теории вероятностей, так и с позиций физики при переходе к обсуждению основ дифференциального исчисления, а затем и психологии при рассмотрении отдельных вопросов математической и прикладной статистики
3. Логика структурирования материала в программе. Структура учебной программы позволяет дать представление студентам о математической базе основных понятий, используемых в математическом моделировании и статистической обработке психологических экспериментов, обосновании основных статистических методов.
Технология преподавания отдельных тем. Подавляющее большинство тем данного курса преподается в форме лекций, которые проводятся методами проблемного изложения материала, содержащего в основном утверждения различной сложности (теоремы, леммы) и их доказательство. Кроме этого, учебным планом по многим темам предусмотрены семинарские занятия, которые проводятся в формах активного обучения.
Поскольку данный курс представляет собой цикл лекций и семинаров подготовка к проведению занятий должна обеспечивать именно эти формы обучения.
При подготовке к изложению материала курса преподаватель должен учитывать, что курс является в основном изложением теоретических основ и для понимания требует практических примеров.
При проведении семинарских занятий необходимо использовать методы и приемы, повышающие познавательную активность студентов. Поэтому целесообразно использовать задачи на основе психологических экспериментов, а также задачи интересные с житейской точки зрения.
3. Методические указания студенту по организации самостоятельной работы
Изучение курса требует систематической самостоятельной работы студента, поэтому с первых занятий рекомендуется:
- работа с конспектами лекций
- выполнение теоретических заданий, данных в ходе лекций для закрепления полученных знаний, проверки правильности понимания основных понятий, а также формирования умения проводить рассуждения и доказательства
- самостоятельное изучение вопросов курса по учебникам
- конспектирование учебной литературы
- систематическое выполнение домашних работ
- участие в консультационных занятиях и своевременный разбор тем и понятий, оставшихся непонятыми
Требования к освоению курса
Студенты должны иметь представление:
- об основных понятиях дискретной математики, теории множеств, математической логики, математического анализа, алгебры, теории вероятностей и математической статистики, линейной и векторной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений в пределах программы данного курса
- об основах и связи с теорией вероятностей, математическим анализом и другими разделами курса основных понятий и методов математической статистки
- о понятии функции и функциональной зависимости
- о ключевой роли понятия функции распределения в постановке статистических задач
Студенты должны знать:
- понятие отображения, функции и ее графика
- основные определения дискретной математики, теории множеств, математической логики, математического анализа, алгебры, теории вероятностей и математической статистики, линейной и векторной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений в пределах программы данного курса
- понятие функции распределения, ее свойств и графика
- понятие статистической гипотезы, статистики и статистического критерия
Студенты должны уметь:
- решать элементарные задачи из основных разделов курса (математическая логика, дискретная математика, теория множеств, алгебра, математический анализ, теория вероятностей, математическая статистика, теория обыкновенных дифференциальных уравнений) в пределах программы данного курса
- охарактеризовать данную функцию и построить ее график
- сформулировать статистическую задачу, связанную с данным экспериментом и представить схему ее решения
- поставить задачу о наличии зависимости между рассматриваемыми величинами и составить схему выявления ее наличия и характера
Введение
Высказывания
Практические занятия
Е.В.Галкин Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера § 9 задания 243-246, §2 15-17
Домашние задания
Е.В.Галкин Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера § 9 задания 247-256 §2 24-27
Метод математической индукции
Практические занятия
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел 1, §1 задания 1-4
Домашние задания
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел 1, §1, задания 8-10
Вещественные числа
Практические занятия
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел 1, §1, задания 21-25
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике Гл.5 § 1 задания 673 1-6
Домашние задания
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел 1, §1, задания 26-30
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике Гл.5 § 1 задания 682 1-3
Комплексные числа
Практические занятия
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике Гл.4 § 3 задания 630-640, 651-655
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.10 § 1 задания
10.1.1.-10.1.10, § 2 10.2.3-10.2.8
Домашние задания
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике Гл.4 § 3 задания 642-645,657, 658
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.10 § 1 задания
10.1.11-10.1.12, 10.1.15-10.1.19 § 2 10.2.27, 10.2.28
Элементы теории множеств
Практические занятия
Е.В.Галкин Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера § 4 задания 62-64, 81-82
Домашние задания
Е.В.Галкин Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера § 4 задание 65, 84-86
Отношения и графы
Практические занятия
Е.В.Галкин Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера § 6 114-119, 156-160
Домашние задания
Е.В.Галкин Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера § 6 120-125, 160-167
Элементы комбинаторики
Практические занятия
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.2, гл.6 § 1 задания 6.1.1. – 6.1.38
Е.В.Галкин Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера § 6 114-119, 156-160
Домашние задания
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.2, гл.6 §1 задания 6.1.61 – 6.1.74
Е.В.Галкин Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера § 6 130-140, 161-167
Введение в математический анализ. Элементы функционального анализа
Понятие функции
Практические занятия
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел1
§3 задания 151-160, 224-230, §4 253-258
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике Глава 5 § 1 задания 673-687
Домашние задания
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел 1
§3 задания 178-182 §4 266-273, 296-310
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике Глава 5 § 1 задания 695-700
Предел функции. Предел последовательности
Практические занятия
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел 1 § 5 задания 4-1-407, 411-413
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике Глава 5 § 3 734-746, 763-770, 782-785
Домашние задания
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел 1 § 5
задания 435-442
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике Глава 5 § 6 796-804
Непрерывность функции
Практические занятия
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел 1 § 7 , задания 674-680
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике 5 § 8 задания 814-820
Домашние задания
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел 1 § 7
Задания 701-708
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике глава 5 § 8 задания 815-825
Производная и дифференциал
Практические занятия
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел 2§ 1
Задания 828-833, 845-857, 925-935, § 4 1085-1090, § 9 1318-1334
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике глава 6 § 1 задания 848-860, §2 874-880, § 5 835-840 § 6 980-990
Домашние задания
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел 2 § 12 задания 1471-1478, 1510-1520
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике глава 6 § 8 задания 1008-1015
Интеграл
Практические занятия
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел III § 1, задания 1628-1650, отдел IV §1 2206-2218
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике глава 8 §1 1264-1272, 1281-1290, §2 1332-1340 §4 1360-1370 глава 9 § 1 1593-1600, §7 1748-1751
Домашние задания
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел III § 1, задания 1628-1650, отдел IV §1 2216, 2239-2244, отдел VII § 2 3741-3746
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике глава 9 § 1 1600-1624, §7 1752-1753
Функция нескольких переменных
Практические занятия
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел VI § 2 3213-3226?В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике Глава 11 § 1 1844, 1850, §2 1858-1870 глава 13 § 1 2292-2297
Домашние задания
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел VIII §1 3924-3930В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике глава 1 Глава 11 § 2 , 1874-1878, глава 3 § 1 2304-2307
Ряды
Практические занятия
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике гл.14§1 задания 2422-2461,
§3 2470-2472, §4 2492-2450
Домашние задания
Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу Отдел V, §12546-25502556-2563, §4 2812-2817
Основы теории вероятностей и мат.статистики
Понятие события, определение вероятности события, условная вероятность. вероятностное пространство, схема Бернулли
Практические занятия
А.А.Гусак, Е.А.Бричникова Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач
Глава 1 §§ 1.1-1.10 задания 1-5
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.2, гл.6 §2 задания
Задания 6.2.2-6.2.14, 6.2.32-6.2.34; §36.3.1-6.3.10, 6.3.17-6.3.20; §4 6.4.1-6.4.15; §5 6/5/1-6/5/10
Домашние задания
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.2, гл.6 §2 задания
6.2.28-6.2.31, 6.2.35, 6.2.39-6.2.42 ; §3 6.3.11-6.3.15, 6.3.23-6.3.29; §4 6.4.29-6.4.25; §5
6.5.15-6.5.23
А.А.Гусак, Е.А.Бричникова Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач
Глава 1 §§ 1.1-1.10 задания 6-7
Понятие случайной величины. Закон распределения, функция распределения, числовые характеристики случайных величин, Неравенства Маркова и Чебышева
Практические занятия
А.А.Гусак, Е.А.Бричникова Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач
Глава 2 §§ 2.1-2.8 задания 1-5, глава 3 §§ 3.1-3.5 задания 1-2, глава 4 § 4.1 задания 1-4
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.2, гл.6 §8 задания
6.8.1-6.8.10 ; §.9 6.9.1-6.9.4, 6.9.8-6.9.13; §10 6.10.3-6.10.8, 6.10.15-6.10.20;§11 6.11.5-6.11—96.11.17-6.11.22
Домашние задания
А.А.Гусак, Е.А.Бричникова Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач
Глава 2 §§ 2.1-2.8 задания 6-8, глава 4 § 4.1 задания 5-7
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.2, гл.6 §8 задания
6.8.32-6.8.39 ; §.9 6.9.14-6.9.22 ;§10 6.10.24-6.10.30, 6.10.34-6.10.37 ;§116.11.30-6.11.34 , 6.11.49-6.11.52
Случайные вектора. Независимость случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции
Практические занятия
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.2, гл.6 §12 задания
6.12.2-6.12.5, 6.12.9-6.12.12, 6.12.18-6.12.20
Домашние задания
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.2, гл.6 §12 задания
6.12.40-6.12.44, 6.12.52-6.12.53
Элементы математической статистики
Практические занятия
А.Н.Бородин Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики
Задачи 19.1, 19.2, 21.1, 23.1, 23.2, 24.1, 25.1, 25.2
Домашние задания
А.Н.Бородин Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики
Задачи 19.3, 21.2, 23.3, 24,2, 25.3
Элементы линейной алгебры
Матрицы и определители
Практические занятия
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.1 §1 задания
1.1.1.-1.1.36
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.1 §2 задания
1.2.1-1.2.30
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.1 §3 задания
1.3.1-1.3.8
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.1 §4 задания1.4.1-1.4.5, 1.4.15-1.4.18
Домашние задания
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.1 §1 задания
1.1.88-1.1.107
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.1 §2 задания
1.2.59-1.2.78
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.1 §3 задания
1.3.17-1.3.18, 1.3.32-1.3.40
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.1 §4 задания
1.4.37-1.4.42, 1.4.50-1.4.55
Системы линейных уравнений
Практические занятия
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике Гл.4, §2 задания
611. 613. 624, 628
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.2 §2 задания
2.2.4-2.2.8
Домашние задания
В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике Гл.4, §2 задания
616-622, 623-628
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.2 §2 задания
2.2.18-2.2.22
Элементы векторной алгебры
Практические занятия
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.3 §1 задания
3.1.1-3.1.5
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.3 §2 задания
3.2.1-3.2.8
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.3 §3 задания
3.3.1-3.3.5
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.3 §4 задания
3.4.1-3.4.5
Домашние задания
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.3 §1 задания
3.1.29-3.1.35
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.3 §2 задания
3.2.16-3.2.20
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.3 §3 задания
3.3.12-3.3.15
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.3 §4 задания
3.4.14-3.4.20
Элементы теории дифференциальных уравнений
Практические занятия
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.2, гл2 §1 задания
2.1.1 – 2.1.22
Домашние задания
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.2, гл.2 §1 задания
2.1.85 – 2.1.92
Элементы аналитической геометрии
Практические занятия
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.4 §1 задания
4.1.1.-4.1.11
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.4 §2 задания
4.2.1.-4.2.10
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т1, гл.5 §1 задания
5.1.1-5.1.10
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.5 §2 задания
5.2.1-5.2.5
Домашние задания
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.4 §1 задания
4.1.34-4.1.45, 4.1.82-4.1.85
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.4 §2 задания
4.2.37-4.2.45
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т1, гл.5 §1 задания
5.1.34-5.1.38
К.Н.Лунгу, В.П.Норин и др. Сборник задач по высшей математике , т.1, гл.5 §2 задания
5.2.6-5.2.10
3.1 Вопросы к зачету (1 курс 1 семестр)
Раздел 1. Введение
1.Высказывания и утверждения. Операции над высказываниями. Высказывание, зависящее от параметра
2.Предикаты. Кванторы. Логика предикатов
3. Исчисление предикатов
4.Понятие аксиомы, теоремы, леммы. Утверждения и доказательства. Необходимое и достаточное условие. Прямая и обратная теоремы
5.Аксиома индукции и следствие из нее. Метод математической индукции
6.Действительные числа. Расширенная числовая прямая. Модуль вещественного числа
7.Комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи
8.Комплексная плоскость Арифметические операции над комплексными числами
9.Корень из комплексного числа. Корни из единицы.
|
|
|
Скачать 204 Kb.