математическое моделирование. Пояснительная записка. Расшифровка подписи программирование численных методов пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине
![]()
|
1.1 Метод простых итерацийПусть известно, что нелинейное уравнение 2 имеет на отрезке ![]() ![]() ![]() Выберем произвольно приближенное значение корня ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() и учитывая непрерывность функции ![]() ![]() ![]() ![]() Корень можно вычислить с заданной точностью по итерационной формуле ![]() Достаточное условие, при котором итерационный процесс сходится, определяет следующая теорема: пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() тогда процесс итераций 4 сходится независимо от начального значения ![]() ![]() ![]() Геометрическая интерпретация метода простых итераций заключается в следующем: если построить два графика функций ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() а б Рисунок 1 – Сходящийся (а) и расходящийся (б) итерационные процессы Часто, если итерационный процесс расходится из-за невыполнения условия 5, нелинейное уравнение можно привести к виду, допускающему сходящиеся итерации. Выполнения условия сходимости можно добиться путем перехода от исходного уравнения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Условие 6 равносильно двойному неравенству ![]() поэтому константа выбирается из соотношений: ![]() Метод простых итераций и почти все другие итерационные методы имеют два достоинства: 1) являются универсальными и самоисправляющимися, то есть любая неточность на каком-либо шаге итераций отражается не на конечном результате, а лишь на количестве итераций. Подобные ошибки устойчивы даже по отношению к грубым ошибкам (сбоям ЭВМ), если только ошибка не выбрасывает очередное приближение за пределы области сходимости; 2) позволяют достигнуть любой заданной точности при любом начальном приближении ![]() Недостатки методов: – трудность приведения уравнения 2 к виду 3. – если начальное приближение ![]() Процесс итераций заканчивается при выполнении двух критериев: 1) Когда два последних приближения отличается между собой по модулю на заданную величину : ![]() Одного критерия 7 недостаточно, так как в случае крутизны графика, данное условие будет выполнено, но ![]() 2) Когда последнее вычисленное приближение к корню удовлетворяет уравнению с заданной точностью: ![]() Отдельно критерия 8 бывает недостаточно, так как при пологой функции ![]() ![]() |