математическое моделирование. Пояснительная записка. Расшифровка подписи программирование численных методов пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине
 Скачать 0.67 Mb.
|
1.1 Метод простых итерацийПусть известно, что нелинейное уравнение 2 имеет на отрезке  единственный вещественный корень  . Требуется найти этот корень с заданной точностью. Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение к виду . 33\* MERGEFORMAT ()Выберем произвольно приближенное значение корня  и вычислим  . Найденное значение  подставим в правую часть соотношения (2) и вычислим  . Продолжая процесс вычислений дальше, получим числовую последовательность  . Если существует предел этой последовательности, то он и является корнем уравнения 3. В самом деле, пусть  . Тогда, переходя к пределу в равенстве 3 и учитывая непрерывность функции  на отрезке , получим  или  .Корень можно вычислить с заданной точностью по итерационной формуле  44\* MERGEFORMAT ()Достаточное условие, при котором итерационный процесс сходится, определяет следующая теорема: пусть функция  определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения  и выполняется условие , 55\* MERGEFORMAT ()тогда процесс итераций 4 сходится независимо от начального значения и предельное значение  является единственным корнем уравнения 3 на .Геометрическая интерпретация метода простых итераций заключается в следующем: если построить два графика функций  и  , то абсцисса точки их пересечения будет корнем  . Построим итерационный процесс. Зададим  . Вычислим  – первое приближение и  – второе приближение. В первом случае (рисунок 1, а) процесс сходящийся ( ), во втором (рисунок 1, б) – расходящийся ( ).  а б Рисунок 1 – Сходящийся (а) и расходящийся (б) итерационные процессы Часто, если итерационный процесс расходится из-за невыполнения условия 5, нелинейное уравнение можно привести к виду, допускающему сходящиеся итерации. Выполнения условия сходимости можно добиться путем перехода от исходного уравнения  к эквивалентному виду следующим образом: сначала умножить обе части уравнения (1) на  , а затем прибавить к обеим частям x, тогда  . Обозначив  , получим уравнение 3. Константа с выбирается так, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости итерационного процесса 5, т.е. 66\* MERGEFORMAT ()Условие 6 равносильно двойному неравенству  , поэтому константа выбирается из соотношений:  Метод простых итераций и почти все другие итерационные методы имеют два достоинства: 1) являются универсальными и самоисправляющимися, то есть любая неточность на каком-либо шаге итераций отражается не на конечном результате, а лишь на количестве итераций. Подобные ошибки устойчивы даже по отношению к грубым ошибкам (сбоям ЭВМ), если только ошибка не выбрасывает очередное приближение за пределы области сходимости; 2) позволяют достигнуть любой заданной точности при любом начальном приближении .Недостатки методов: – трудность приведения уравнения 2 к виду 3. – если начальное приближение  находится далеко от корня, то число итераций при этом увеличивается, а объем вычислений возрастает.Процесс итераций заканчивается при выполнении двух критериев: 1) Когда два последних приближения отличается между собой по модулю на заданную величину :  . 77\* MERGEFORMAT ()Одного критерия 7 недостаточно, так как в случае крутизны графика, данное условие будет выполнено, но  может находиться далеко от корня;2) Когда последнее вычисленное приближение к корню удовлетворяет уравнению с заданной точностью:  . 88\* MERGEFORMAT ()Отдельно критерия 8 бывает недостаточно, так как при пологой функции  условие может быть выполнено, но может быть далеко от корня. |