математическое моделирование. Пояснительная записка. Расшифровка подписи программирование численных методов пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине

• Название: Расшифровка подписи программирование численных методов пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине
• Анкор: математическое моделирование
• Дата: 09.03.2023
• Размер: 0.67 Mb.
• Имя файла: Пояснительная записка.docx
• Тип: Расшифровка; #977777
• страница: 8 из 9

3 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике.

Методы их решения подразделяются на два класса:

аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций;

численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их численных значений.

Применение аналитических методов позволяет исследовать полученные решения методами математического анализа и сделать соответствующие выводы о свойствах моделируемого явления или процесса. К сожалению, с помощью таких методов можно решать достаточно ограниченный круг реальных задач. Численные методы позволяют получить с определенной точностью приближенное решение практически любой задачи.

Решить дифференциальное уравнение

2828\* MERGEFORMAT ()

численным методом означает, что для заданной последовательности аргументов и числа , не определяя аналитического вида функции , найти значения , удовлетворяющие начальным условиям:

.

3.1 Метод Эйлера.

Этот метод является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других численных методов.

Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) с начальными условиями (задача Коши):

2929\* MERGEFORMAT ()

и удовлетворяются условия существования и единственности решения.

Требуется найти решение задачи Коши 29 на отрезке . Найдем решение в виде таблицы . Для этого разобьем отрезок на n равных частей и построим последовательность

,

где – шаг интегрирования.

Проинтегрируем исходное уравнение на отрезке :



Полученное соотношение можно переписать как

. 3030\* MERGEFORMAT ()

Если считать подынтегральную функцию постоянной на участке и равной значению в начальной точке этого интервала , то получим

.

Подставляя полученный результат в формулу 30, получим основную расчетную формулу метода Эйлера:

. 3131\* MERGEFORMAT ()

Вычисление значений осуществляется с использованием формулы 31 следующим образом. По заданным начальным условиям и y₀, полагая в выражении 31, вычисляется значение

. 3232\* MERGEFORMAT ()

Далее, определяя значение аргумента x по формуле , используя найденное значение y₁ и полагая в формуле 31 , вычисляем следующее приближенное значение интегральной кривой как

. 3333\* MERGEFORMAT ()

Поступая аналогичным образом при , определяем все остальные значения y_k, в том числе последнее значение

, 3434\* MERGEFORMAT ()

которое соответствует значению аргумента .

Таким образом, соединяя на координатной плоскости точки отрезками прямых в качестве приближенного представления искомой интегральной кривой , получаем ломанную линию с вершинами в точках .

Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений.

Пусть задана система двух уравнений первого порядка:

3535\* MERGEFORMAT ()

с начальными условиями

.

Необходимо найти решение этой задачи Коши. Проводя аналогичные рассуждения, получаем расчетные формулы вида:

3636\* MERGEFORMAT ()

где h – шаг интегрирования.

При расчетах полагается, что и . В результате применения расчетной схемы 36 получается приближенное представление интегральных кривых и в форме двух ломанных Эйлера, построенных по полученным таблицам . Точность метода Эйлера .