математическое моделирование. Пояснительная записка. Расшифровка подписи программирование численных методов пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине

• Название: Расшифровка подписи программирование численных методов пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине
• Анкор: математическое моделирование
• Дата: 09.03.2023
• Размер: 0.67 Mb.
• Имя файла: Пояснительная записка.docx
• Тип: Расшифровка; #977777
• страница: 4 из 9

1.2 Метод Ньютона

Пусть уравнение 2 имеет на интервале единственный корень, причем существует непрерывная на производная . Метод Ньютона служит для уточнения корней нелинейных уравнений в заданном интервале. Его можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если

.

Тогда итерационный процесс осуществляется по формуле:

. 99\* MERGEFORMAT ()
Геометрически этот процесс представлен на рисунке 2. Он означает замену на каждой итерации k графика кривой касательной к ней в точках с координатами .



Рисунок 2 – Геометрическая интерпретация метода Ньютона
Достаточное условие сходимости обеспечивается выбором начальной точки . Начальным приближением служит один из концов отрезка , в зависимости от того, в каком из них выполняется достаточное условие сходимости

. 1010\* MERGEFORMAT ()

При произвольном начальном приближении итерации сходятся, если

. 1111\* MERGEFORMAT ()

Метод Ньютона рекомендуется применять для нахождения простых действительных корней уравнения 2.

Достоинством метода является то, что он обладает скоростью сходимости, близкой к квадратичной.

Недостатки метода:

– не при любом начальном приближении метод Ньютона сходится, а лишь при таком, для которого ;

– если , т.е. касательная к графику почти параллельна оси абсцисс, то и метод расходится;

– если , т.е. касательная к графику почти параллельна оси ординат, то и продвижения к корню не будет.

Последних трудностей можно избежать, применив модификацию метода Ньютона, в которой используется только касательная в точке начального приближения. Рабочая формула при этом имеет вид:

. 1212\* MERGEFORMAT ()

1.3 Решение нелинейного уравнения методом простых итераций

Решите нелинейное уравнение

x⁴-6x²+7 1313\* MERGEFORMAT ()

методом простой итерации:

a) выполните приблизительную оценку корней предложенного уравнения с помощью системы MathCad, графической программы Advanced Grapher или вручную;

б) преобразуйте уравнение вида f (x) = 0 к итерационному виду x = φ(x), гарантировав при этом сходимость метода простой итерации;

в) с помощью программы MeProst уточните один из корней первого уравнения вида f (x)=0 с точностью ε = 10^-3, выбрав подходящий отрезок для построения графической иллюстрации работы метода простой итерации;

г) в пояснительной записке приведите график функции f (x) с указанием выбранных для уточнения корней, результаты уточнения корней программой MeProst, значения корней, требуемое число итераций, погрешность решения и графические иллюстрации процесса сходимости к корню.
Для приблизительной оценки корней нелинейного уравнения 13 построим график функции с помощью программы MathCad (рисунок 3).



Рисунок 3 – График нелинейной функции y = f(x)
Из рисунка 3 видно, что график функции пересекает ось абсцисс в четырех точках, поэтому уравнение имеет четыре корня, один из которых расположен на отрезке

Преобразуем уравнение 13 к виду:

1414\* MERGEFORMAT ()

т.е. для уточнения корня будем использовать итерационную последовательность:

1515\* MERGEFORMAT ()

где – номер итерации.

С помощью программы MeProst выполним уточнение корня. В разделе меню «Ввод» задаем следующие параметры (рисунок 4):

• 
  отрезок, на котором находится уточняемый корень ;
  
• 
  необходимая точность приближения к корню ;
  
• 
  начальное приближение к корню x₀ = 1 ;
  
• 
  максимальное допустимое число итераций Nmax = 100.
  

Рисунок 4 – Ввод параметров в программе MeProst
Чтобы получить наглядное представление о процессе сходимости к корню, выберем пошаговый режим расчета. В открывшемся окне (рисунок 5) видим графики функций (зеленый) и (красный). Очевидно, что корень уравнения 14 определяется как точка пересечения этих двух графиков. Точка начального приближения x0 = 1 показана синим цветом. Чтобы вычислить следующее приближение геометрическим способом, необходимо найти точку пересечения прямой и кривой и ординату этой точки взять в качестве . Последующие приближения определяются аналогично.



Рисунок 5 – Метод простых итераций расходится
В данном случае итерационный процесс сходится; корень уравнения

x = 1,2574 найден с заданной точностью 0,001 за 7 итераций

Погрешность решения |x₇-x₆|=8,8*10^-4