математическое моделирование. Пояснительная записка. Расшифровка подписи программирование численных методов пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине

• Название: Расшифровка подписи программирование численных методов пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине
• Анкор: математическое моделирование
• Дата: 09.03.2023
• Размер: 0.67 Mb.
• Имя файла: Пояснительная записка.docx
• Тип: Расшифровка; #977777
• страница: 6 из 9

2.2 Интерполяционные формулы Ньютона

Если таблица, для которой построена формула Лагранжа, задана для равноотстоящих узлов , то формула Лагранжа упрощается.

Обозначим . Тогда

;

.

С учетом введенных обозначений формула Лагранжа запишется в виде:

1919\* MERGEFORMAT ()

Запишем формулу Лагранжа в случае, если :



Получили формулу линейной интерполяции вида:

, 2020\* MERGEFORMAT ()

где – табличные разности первого порядка.

При получаем формулу квадратичной интерполяции вида:

, 2121\* MERGEFORMAT ()

где – табличные разности второго порядка.

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона будет иметь вид:

. 2222\* MERGEFORMAT ()

Остаточный член формулы имеет вид:

,

где   ,  – точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку x.

Первая интерполяционная формула рекомендуется для интерполяции в начале таблицы.

Вторая интерполяционная формула Ньютона используется при вычислении функции для значений , близких к концу таблицы и для продолжения таблицы. Обозначим через , тогда

.

Тогда получим следующую формулу Ньютона:

. 2323\* MERGEFORMAT ()

Погрешность формулы 23



имеет тот же смысл, что и в первой формуле Ньютона.

2.3 Интерполяция кубическими сплайнами

Кубическим сплайном называется функция , которая:

• 
  на каждом отрезке является многочленом третьей степени;
  
• 
  имеет непрерывные первую и вторую производные на всем отрезке [a, b];
  
• 
  в точках x_i выполняются равенства и ;
  
• 
  имеет граничные условия вида .
  

По количеству точек, учитываемых при аппроксимации функции, кубические сплайны можно разделить на локальные и глобальные.

Локальные сплайны используют производные , вычисляемые по трем заданным точкам, ближайшим к точке x, в которой необходимо вычислить значение функции.

Глобальные сплайны используют массив вторых производных по всем узловым точкам , который рассчитывается заранее путем решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Пусть имеется таблица значений , где i изменяется от 0 до n.

Получается n+1 узел, причем сетка узлов неравномерная, тогда на интервале для нахождения значения сплайна в некоторой введенной точке необходимо проверить, принадлежит ли данная точка интервалу значений исходной таблицы.

1. Если принадлежит, то формула вычисления значения сплайна в точке имеет вид:

, 2424\* MERGEFORMAT ()

где    – расстояние между соседними узлами;

– значения функции в узловых точках;

– значения вторых производных.

Вторые производные m_i находятся из трехдиагональной СЛАУ:

. 2525\* MERGEFORMAT ()

Всего в системе 25  n–1 уравнение и n+1 неизвестная: . Система не полностью определяет m_i. Сводим ее к трехдиагональной СЛАУ заданием граничных условий. Для нормального сплайна , . Теперь в СЛАУ n–1 неизвестная и она является трехдиагональной. Такая система решается методом прогонки.

2. Асимптотическое поведение сплайна вне интервала описывается формулами:

• 
  линейная экстраполяция при (влево):
  

; 2626\* MERGEFORMAT ()

• 
  линейная экстраполяция при (вправо):
  

. 2727\* MERGEFORMAT ()