математическое моделирование. Пояснительная записка. Расшифровка подписи программирование численных методов пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине
 Скачать 0.67 Mb.
|
3.2 Решение ОДУ методом ЭйлераРешите ОДУ первого порядка (задачу Коши)  (39) методом Эйлера: а) изучите устройство и работу шаблона МЭ в среде математического моделирования MathCAD и получите методом Эйлера таблицу значений неизвестной функции y(x); б) аппроксимируйте полученные данные кубическим сплайном и постройте приближенный график функции y(x) в программе Splacc. Вводим исходные данные в шаблон МЭ.mcd и по формуле 32 определяем значение y1 (листинг 1).  Листинг 1 – Первый шаг метода Эйлера Подставляя найденное значение y1 в формулу 33, вычисляем следующее значение функции y2 (листинг 2).  Листинг 2 – Второй шаг метода Эйлера Остальные значения функции  вычисляются аналогично до тех пор, пока не будет достигнут правый конец отрезка интегрирования  (листинг 3). Листинг 3 – Последний шаг метода Эйлера Полученные значения неизвестной функции представлены в таблице 4.Таблица 4 – Значения функции
Аппроксимируем таблично заданную функцию кубическим сплайном с помощью программы Splacc. График сплайна показан на рисунке 12. Как видно из рисунка, решение ОДУ Error: Reference source not found – парабола.  Рисунок 12 – Интерполяция численного решения ОДУ кубическим сплайном 3.3 Решение ОДУ методом Эйлера-КошиРешите ОДУ первого порядка (задачу Коши)   3737\* MERGEFORMAT () методом Эйлера-Коши: а) изучите устройство и работу шаблона МЭК в среде математического моделирования MathCAD и получите методом Эйлера-Коши таблицу значений неизвестной функции y(x); б) аппроксимируйте полученные данные многочленом Лагранжа и постройте приближенный график функции y(x) в программе Lagr; Вводим исходные данные в шаблон МЭК.mcd и определяем значение y1 (листинг 4).  Листинг 4 – Первый и второй шаг метода Эйлера-Коши Остальные значения функции вычисляются аналогично по шаблону МЭК до тех пор, пока не будет достигнут правый конец отрезка интегрирования  (листинг 5). Листинг 5 – Последний шаг метода Эйлера-КошиПолученные значения неизвестной функции представлены в таблице 5.Таблица 5 – Значения функции
Аппроксимируем таблично заданную функцию многочленом Лагранжа 18 с помощью программы Lagr. График многочлена приведен на рисунке 13. Как следует из рисунка, в данном случае решение ОДУ 37 имеет нелинейный характер.  Рисунок 13 – Интерполяция численного решения ОДУ многочленом Лагранжа ЗаключениеЕсли построена математическая модель физического процесса или явления, то его можно решить различными методами с применением информационных технологий. Первый метод – аналитический, который дает решение математической модели физической задачи либо в виде компактной формулы, либо в виде разложения в ряды или интегралы по полному набору собственных функций какого-нибудь оператора. Задача классического математика состоит в применении известных и разработке новых математических способов для решения математической модели реального процесса или явления, чаще всего представленного в виде дифференциального, интегрального уравнения, системы дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений. Аналитическое решение математической модели явления или процесса математики находят, применив различные приближения, т.е. на самом деле решают упрощенную задачу (модель). Корректность решения зависит от используемого приближения. В большинстве случаев отсутствуют универсальные способы решения многих математических задач. Нет общих (универсальных) способов решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для задач нелинейной оптики, а также решения интегральных уравнений замедления нейтронов и диффузии гамма квантов. Любая задача имеет геометрические условия (плоскость, шар, цилиндр, эллипсоид и т.д.), которые записываются в виде начальных и граничных условий для дифференциальных или геометрических областей в интегральных уравнениях. Усложнение геометрии задачи вызывает непреодолимые трудности в нахождении аналитических решений. Достоинство аналитических методов состоит в том, что полученная аналитическая формула даже для упрощенной модели удовлетворительно характеризует суть явлений. Аналитические решения позволяют понять и наглядно представить основные закономерности особенно при изучении нового явления или процесса. Поэтому при математическом моделировании явлений на первом этапе используют аналитический способ первоначального анализа математической модели. Исследование объекта или явления обычно начинается с поиска возможных аналитических решений упрощенной математической модели. Полученные аналитические решения часто используются как тестовые модели для сравнения результатов решения математической модели, полученных с помощью численного метода и математических пакетов. Численный метод, или метод прямого программирования связан с разработкой метода вычисления сформулированной математической задачи (создания или использования готового вычислительного алгоритма задачи). Дискретный аналог математической модели – это разностные уравнения, представляющие собой совокупность цепочек алгебраических формул, по которым ведутся вычисления, и логических условий, позволяющих установить нужную последовательность применения этих формул. Использование численных моделей позволяет исправить часть недостатков аналитического метода, в частности: Численное моделирование позволяет иногда решать математические модели реального процесса со сложной геометрией. Имеется возможность решения более реальных математических моделей, моделирующие явление или процесс, т.е. решение нелинейных дифференциальных, систем дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных уравнений. Численный метод – это приближенный метод решения, поэтому одним из существенных недостатков данного метода является оценка погрешности. Аналитическая оценка погрешности является чаще всего сложной процедурой, чем сам процесс решения, в некоторых случаях она просто невозможна. В этих случаях для оценки погрешности используют вычислительный эксперимент или сравнение с аналитическими решениями и реальным натурным экспериментом. Если сравнивать удобство использования и эффективность работы предложенных преподавателем программ и их коммерческих аналогов (например, системы математического моделирования Mathcad, Matlab, Maple и т.д.), то можно сказать следующее: неоспоримым преимуществом систем математического моделирования таких как Mathcad, Matlab, Maple является их универсальность; системы позволяют решать очень широкий круг прикладных задач, в которых требуется применение разнообразных численных методов; наличие встроенной возможности писать программные модули делает эти системы незаменимым помощником в численном моделировании. Предложенные программы узко специализированы. Я бы отметил неудобство при вводе данных. Нет возможности экспорта данных из файла. Например, получены данные эксперимента в виде таблицы Excel – ее нужно «руками» перенести в программу. Если при вводе допущена ошибка – нужно набирать все по новой. Примеров конкретных инженерных задач, в которых могут потребоваться изученные численные методы - множество. моделирование движения транспорта, работы светофоров; задачи логистики при транспортировке грузов; задачи оптимизации расходов, транспортные задачи. проектирование узлов машин и т.д. Библиографический списокВержбицкий, В. М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения / В. М. Вержбицкий. – М.: Оникс 21 век, 2005. – 636 с. – Текст : непосредственный. Вержбицкий, В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения / В. М. Вержбицкий. – М.: Оникс 21 век, 2005. – 400 с. – Текст : непосредственный. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008. – 432 с. – Текст : непосредственный. Ракитин, В. И. Практическое руководство по методам вычислений / В. И. Ракитин – М.: Высшая школа, 1998. – 374 с. – Текст : непосредственный. |