математическое моделирование. Пояснительная записка. Расшифровка подписи программирование численных методов пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине

• Название: Расшифровка подписи программирование численных методов пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине
• Анкор: математическое моделирование
• Дата: 09.03.2023
• Размер: 0.67 Mb.
• Имя файла: Пояснительная записка.docx
• Тип: Расшифровка; #977777
• страница: 5 из 9

1.4 Решение нелинейного уравнения методом Ньютона

Решите нелинейное уравнение

e^x – sin x – 3 = 0 1616\* MERGEFORMAT ()

методом Ньютона:

a) выполните приблизительную оценку корней уравнения с помощью системы MathCad, графической программы Advanced Grapher или вручную;

б) с помощью программы Newton уточните один из корней первого уравнения вида f (x)=0 с точностью ε = 10^-3, выбрав подходящий отрезок для построения графической иллюстрации работы метода Ньютона;

в) в пояснительной записке приведите график функции f(x) с указанием выбранных для уточнения корней, результаты уточнения корней программой Newton, значения корней, требуемое число итераций, погрешность решения и графические иллюстрации процесса сходимости к корню.
Для приблизительной оценки корней нелинейного уравнения 16 построим график функции с помощью программы MathCad (рисунок 7).



Рисунок 7 – График нелинейной функции y = f(x)
Как видно из рисунка 7, график функции пересекает ось абсцисс в одной точках, поэтому предложенное уравнение имеет един корня. будем уточнять второй корень, находящийся на отрезке .

С помощью программы Newton выполним уточнение выбранного корня. Для этого в разделе меню «Ввод» задаем следующие параметры (рисунок 8):

• 
  отрезок построения касательных к графику функции
  
• 
  необходимая точность приближения к корню ;
  
• 
  начальное приближение к корню х=1;
  
• 
  максимальное допустимое число итераций Nmax=100.
  

Рисунок 8 – Ввод параметров в программе Newton

Чтобы получить наглядное представление о процессе сходимости к корню, выберем пошаговый режим расчета.



Рисунок 10 – Третья итерация метода Ньютона
Как видно из рисунка 10, корень уравнения x = 1,382 найден с заданной точностью за N=3 итераций, погрешность решения составляет 5,9E-5

2 Интерполяция функций

Задача интерполяции функций возникает в тех случаях, когда:

функция задана в виде таблицы, и необходимо знать значения функции для промежуточных значений аргументов, расположенных в таблице между узлами , а также для аргументов, расположенных вне таблицы;

известна лишь таблица функции и требуется определить ее аналитическое выражение;

известно аналитическое выражение функции, но оно имеет очень сложный вид, вследствие чего возникает необходимость представления этой функции в более простом виде. Например, при вычислении определенных интегралов вида можно заменить подынтегральную функцию некоторой приближенной функцией в виде многочлена. Тогда

.

Построив интерполяционный многочлен любого вида, также можно расширить таблицу как влево, так и вправо, вычисляя построенный многочлен в точках, не принадлежащих таблице (задача экстраполяции). Кроме того, построив интерполяционный многочлен, можно уплотнить таблицу, определяя значения функции для промежуточных аргументов между узловыми точками.

2.1 Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть задана система точек , в которых известны значения функции (см. таблицу 1).

Таблица 1 – Экспериментальные значения функции

Номер точки	0	1	…	n
			…
			…

Установим зависимость одного ряда чисел от другого и построим новую функцию, которая с определенной степенью точности будет приближена к заданной.

Рассмотрим пример построения интерполяционного многочлена Лагранжа по заданной системе точек (в общем случае для неравноотстоящих аргументов). Построим некоторый многочлен таким образом, чтобы его значения совпали со значениями функции, заданными в таблице, для тех же аргументов, то есть . Лагранж предложил строить многочлен степени n в виде:

1717\* MERGEFORMAT ()

Здесь в каждом слагаемом коэффициенту a_i соответствует разность . Найдем неизвестные коэффициенты , называемые коэффициентами Лагранжа, используя условие :

При :

;

.

Следовательно, коэффициент a₀ вычисляется по следующей формуле:

.

При :

;

.

Следовательно, коэффициент a₁ вычисляется по формуле:

.

Значения остальных коэффициентов вычисляются аналогично.

С учетом найденных коэффициентов интерполяционный многочлен Лагранжа запишется в виде

. 1818\* MERGEFORMAT ()

Погрешность формулы 18 определяется остаточным членом:

,

где  – точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку x.