математическое моделирование. Пояснительная записка. Расшифровка подписи программирование численных методов пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине

• Название: Расшифровка подписи программирование численных методов пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине
• Анкор: математическое моделирование
• Дата: 09.03.2023
• Размер: 0.67 Mb.
• Имя файла: Пояснительная записка.docx
• Тип: Расшифровка; #977777
• страница: 2 из 9

Введение

В связи с развитием новой вычислительной техники инженерная практика наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых получить весьма сложно или невозможно. В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы математического анализа получили за последние годы широкое развитие и приобрели исключительно важное значение.

Новые вычислительные средства вызвали переоценку известных методов решения задач с точки зрения целесообразности их реализации на ЭВМ и стимулировали создание более эффективных, что привело к появлению новой дисциплины – вычислительной математики. Предметом изучения последней являются численные методы решения задач математического анализа: изучение алгоритмов и условий сходимости итерационных методов, определение границ применимости методов, исследования оценок погрешностей методов и вычислений. Главным разделом вычислительной математики является реализация численных методов на ЭВМ, то есть составление программы для требуемого алгоритма и решения с ее помощью конкретной задачи.

Любая прикладная задача формируется исходя из определенного физического смысла некоторого процесса (распределение тепла в стержне, описание траектории движения объектов). Прикладная математическая задача может быть сформулирована, например, из описания некоторой экономической модели (задача распределения ресурсов, задача планирования производства, транспортная задача перевозки грузов, оптимальных в заданном смысле). Следовательно, для постановки любой прикладной задачи нужна математическая модель. Поэтому, можно выделить следующие этапы решения задач на ЭВМ:

1) описание математической модели задачи на основе физической или экономической модели;

2) изучение методов решения поставленной математической модели задачи и создание новых методов;

3) выбор метода решения задачи исходя из заданной точности решения и особенностей задачи;

4) составление блок-схемы программы для решения задачи на ЭВМ;

5) отладка программы и оценка полученных результатов;

6) решение задачи на ЭВМ, построение графиков, получение оценки погрешностей, обоснование результатов.

В курсовой работе рассматриваются не прикладные, а типовые математические задачи, которые могут возникнуть при переходе от реальных систем к их математическим моделям, поэтому основное внимание уделяется последнему этапу.

1 Решение нелинейных уравнений

Нелинейными уравнениями называются уравнения вида

, 22\* MERGEFORMAT ()

где – нелинейная функция, которая может относиться к трем типам:

1) нелинейная алгебраическая функция вида

;

2) трансцендентные функции – тригонометрические, обратные тригонометрические, логарифмические, показательные и гиперболические функции;

3) различные комбинации этих функций, например, .

Решением нелинейного уравнения 2 является такая точка , которая при подстановке в уравнение 2 обращает его в тождество. На практике не всегда удается подобрать такое решение. В этом случае решение уравнения 2 находят с применением приближенных (численных) методов. Тогда решением будет являться такая точка , при подстановке которой в уравнение 2 последнее будет выполняться с определенной степенью точности, т.е. , где  – малая величина. Нахождение таких решений и составляет основу численных методов и вычислительной математики.

Решение нелинейных уравнений разделяется на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений.

На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то узнать, сколько их, и затем определить интервалы, в каждом из которых находится единственный корень.

Первый способ отделения корней – графический. Исходя из уравнения 2, можно построить график функции . Тогда точка пересечения графика с осью абсцисс является приближенным значением корня. Если f(x) имеет сложный вид, то ее можно представить в виде разности двух функций . Так как , то выполняется равенство . Если построить два графика , , то абсцисса точки их пересечения будет приближенным значением корня уравнения.

Второй способ отделения корней нелинейных уравнений – аналитический. Он основывается на следующих трех теоремах.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и меняет на концах отрезка знак (т.е. ), то на содержится хотя бы один корень.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке , выполняется условие вида и производная сохраняет знак на , то на отрезке имеется единственный корень.

Теорема 3. Если функция является многочленом n-ой степени и на концах отрезка меняет знак, то на имеется нечетное количество корней (если производная сохраняет знак на , то корень единственный). Если на концах отрезка функция не меняет знак, то уравнение 2 либо не имеет корней на , либо имеет четное количество корней.

При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции . Для этого необходимо вычислить критические точки , в которых первая производная равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности . На каждом из них определяется знак производной , где . Затем выделяются те интервалы монотонности, на которых функция меняет знак.

На втором этапе на каждом из этих интервалов для поиска корня используются численные итерационные методы уточнения корней, например методы половинного деления, простых итераций или Ньютона.