математическое моделирование. Пояснительная записка. Расшифровка подписи программирование численных методов пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине
![]()
|
ВведениеВ связи с развитием новой вычислительной техники инженерная практика наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых получить весьма сложно или невозможно. В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы математического анализа получили за последние годы широкое развитие и приобрели исключительно важное значение. Новые вычислительные средства вызвали переоценку известных методов решения задач с точки зрения целесообразности их реализации на ЭВМ и стимулировали создание более эффективных, что привело к появлению новой дисциплины – вычислительной математики. Предметом изучения последней являются численные методы решения задач математического анализа: изучение алгоритмов и условий сходимости итерационных методов, определение границ применимости методов, исследования оценок погрешностей методов и вычислений. Главным разделом вычислительной математики является реализация численных методов на ЭВМ, то есть составление программы для требуемого алгоритма и решения с ее помощью конкретной задачи. Любая прикладная задача формируется исходя из определенного физического смысла некоторого процесса (распределение тепла в стержне, описание траектории движения объектов). Прикладная математическая задача может быть сформулирована, например, из описания некоторой экономической модели (задача распределения ресурсов, задача планирования производства, транспортная задача перевозки грузов, оптимальных в заданном смысле). Следовательно, для постановки любой прикладной задачи нужна математическая модель. Поэтому, можно выделить следующие этапы решения задач на ЭВМ: 1) описание математической модели задачи на основе физической или экономической модели; 2) изучение методов решения поставленной математической модели задачи и создание новых методов; 3) выбор метода решения задачи исходя из заданной точности решения и особенностей задачи; 4) составление блок-схемы программы для решения задачи на ЭВМ; 5) отладка программы и оценка полученных результатов; 6) решение задачи на ЭВМ, построение графиков, получение оценки погрешностей, обоснование результатов. В курсовой работе рассматриваются не прикладные, а типовые математические задачи, которые могут возникнуть при переходе от реальных систем к их математическим моделям, поэтому основное внимание уделяется последнему этапу. 1 Решение нелинейных уравненийНелинейными уравнениями называются уравнения вида ![]() где ![]() 1) нелинейная алгебраическая функция вида ![]() 2) трансцендентные функции – тригонометрические, обратные тригонометрические, логарифмические, показательные и гиперболические функции; 3) различные комбинации этих функций, например, ![]() Решением нелинейного уравнения 2 является такая точка ![]() ![]() ![]() Решение нелинейных уравнений разделяется на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений. На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то узнать, сколько их, и затем определить интервалы, в каждом из которых находится единственный корень. Первый способ отделения корней – графический. Исходя из уравнения 2, можно построить график функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Второй способ отделения корней нелинейных уравнений – аналитический. Он основывается на следующих трех теоремах. Теорема 1. Если функция ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 2. Если функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 3. Если функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() На втором этапе на каждом из этих интервалов для поиска корня используются численные итерационные методы уточнения корней, например методы половинного деления, простых итераций или Ньютона. |