Высш мат. Решение ду. Опред

• Название: Решение ду. Опред
• Анкор: Высш мат
• Дата: 20.12.2021
• Размер: 0.56 Mb.
• Имя файла: matanvse.docx
• Тип: Задача; #311022
• страница: 4 из 7

36.Предельные теоремы в схеме Бернулли: Пуассона, Муавра-Лапласа.

Теорема Пуассона. Пусть вероятность события А при каждом испытании в серии из n независимых испытаний равна , где λ>0- постоянная, независящая от n, тогда вероятность P_n(m) при n→∞ и фиксированном m стремится к ( )

m=(0;n), λ=np.

Итак, если вероятность p события A мала, а число n независимых испытаний велико, можно пользоваться приближенной формулой:

P_n(m)

m=(0;n), λ=np.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Пусть вероятность события А в n независимых испытаниях равна p, 0n(m) удовлетворяет при n→∞ соотношению , где q=1-p, x= При больших n имеет место приближенная локальная формула Муавра-Лапласа: ϕ гдеϕ(x)= .

Функция ϕ , определенная равенством (5) четная, т.е. ϕ(-x)=ϕ (x), поэтому в таблице приложений приведены ее значения только для x>0.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть m– число наступлений события А в серии из n независимых испытаний, p- вероятность наступления события А при каждом испытании, 0n(m₁≤m≤m₂) того, что в этих испытаниях события А появится не менее m₁ и не более m₂ раз удовлетворяет при m→∞ соотношению x₁= x₂=

Другими словами при больших значениях n имеет место приближенная интегральная формула Муавра-Лапласа:

, где Ф(x)= (7)

Функция (7) называется интегралом ошибок, она нечетная, т.е. Ф(-x)=-Ф(x). Ее значения при x≥0 приведены в таблицах приложений.
38. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Следствием из интегральной теоремы Муавра-Лапласа является формула для вычисления вероятности осуществления неравенства

lm/n-pl ,

то есть вероятности того, что отклонение относительной частоты m/n наступления события А от его вероятности p не превышает по абсолютной величине некоторого заданного числа e:

=2Ф

39. Дискретные СВ и з-ны их распределения

Величина, которая может принимать только счётное или конечное множество значений называется дискретной.

Значение ДСВ можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности х1, х2,… хn

Если для каждого хi (i = 1,2,3…) определить соотв-щую вероятность pi= P(X = xi), то мы получим яд распределения данной СВ

X x1 x2 … xi …

pp1 p2 … pn …

Что бы эта таблица была законом распределения дожны выполнятся два требования :

1. рi ≥ 0

2. p1+ p2 +…+ pn +… = ∑ pn = 1

Существует два способа задания ДСВ х:

с помощью функции распределения

с помощью закона распределения (таблицы)

40. Непрерывные случайные величины и законы их распределения

Непрерывной называется случайная величина которая может принимать все значения из некоторого конечного и бесконечного промежутка.

Число возмоных НСВ бесконечно.

Задание НСВ с помощью функции распределеня F(x) не является ед. способом задания. НСВ можно так же задать используя другую функцую, которую называют плотностью вероятностей.(Или дифф. Функция распределения)

Определение: Плотностью вероятностей НСВ X или дифф. Ф-ия распределения – называют функцию F(x) – первую производную от фунции распределения F(x): f(x)=F’(x)

41. функция распределения вероятностей СВ и ее свойства.

способом задания закона распределения вероятностей является и функция распределения.

Функцией распределения св ( интегральная функция распределения) называется функция , которая для любого числа равна вероятности события .

Свойства

Функция ограничена

Функция не убывающая, т.е если , то



Вероятность попадания св Х в промежуток равна

Функция непрерывна слева

42. Дифференциальная функция распределения непрерывной СВ ( плотность распределения СВ), её свойства.

Непрерывной называет случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Пример: продолжительность работы электролампы, дальность полета снаряда.

Задание НСВ с помощью функции распределения F(x) не является единственным способом задания. НСВ можно также задать используя другую функцию, которую называют плотностью вероятностей или дифференциальной функцией распределения.

Плотностью вероятностей НСВ называют функцию f(x)- первую производную от функции распределения F(x) : f(x)=F’(x)

Заметим, что для описания распределения вероятностей ДСВ плотность распределения неприменима.

Свойства плотностей вероятностей:

Функция f(x)≥0 для любых xєR

F(x) –неубывающая функция , следовательно f(x)=F’(x)≥0

Справедливо равенство P(a≤X≤b)=

Действительно P(a≤X≤b)=F(b)-F(a)=

Если f(x)- плотность вероятностей СВ X , то F(x) =

В самом деле так как F(-∞)=0, то

F(x)=F(x)-F(-∞)=

Имеет место соотношение называемое условием нормировки

Действительно

График плотности распределения называется кривой распределения. Отметим особенности, которые присущи любой кривой распределения:

Она всегда лежит в верхней координатной полуплоскости

Площадь, заключенная между этой кривой и осью Ox = 1.
44. Дисперсия случайной величины и её св-ва. Среднее квадратичное отклонение.

Дисперсия СВ – это мат. ожидание квадрата отклонения СВ Х от её мат. ожидание и обознач. : D(X)= M(X- M(X))².

Если Х ДСВ, то D(X)= .

Если Х НСВ, с плотностью распределения f(x),то: D(X)= .

Если НСВ Х принимает значения на отрезке [a,b], то: D(X)=

Среднее квадратичное отклонение: σ(x)=

Св-ва: 1. Дисперсия постоянной величины всегда =0, D(C)=0. Дейс-но: D(C)= M(C-M(C))²= M(C-C)²=0.

2. Постоянный множитель выносится за знак дисперсии, возводится в квадрат: D(kX)=k²D(X).

3.Дисперсия алгебраической суммы 2-х неизвестных величин = сумме их дисперсии т.е.: D(X±Y)= D(X)+D(Y).

4. Упрощенное правило вычисл. дисперсии: D(X)= M(X)²- (M(X))².
45. Биномиальное распределение и его численные характеристики

Это один из основных законов распределения ДСВ.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых А может либо появится либо не появится. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р, а не появления q = 1-p. Рассмотрим в качестве ДСВ Х – число появлений события А в этих испытаниях. Поставим задачу найти закон распределения величины Х. Для её решения требуется определить возможные значения Х и их вероятности. Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появится, либо появится один раз, либо 2 раза, либо 3 раза и т.д., либо n раз. Таким образом, возможные значения СВ Х таковы: х1=0, х2=1, х3=2 … хn+1=n. Остаётся найти вероятности этих возможных значений для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли: Pn(x) = Сnkpkqn-k(9), где k от 0 до n

Формула 9 и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей определяемое формулой Бернулли. Закон назван биномиальным, т.к. правая часть равенства 9 можно рассматривать как общий член разложения Биномо-Ньютона: (p+q)n = Сnnpn+ Сnn-1pn-1q + … + Сnkpkqn-k + Сn0qn

Таким образом, 1-ый член разложения pnопределяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; 2-ой член Сnn-1 = npn-1q определяет вероятность наступления рассматриваемого события n-1 раз; последний член qnопределяет вероятность того, что событие А не появится ни разу.

Покажем биномиальный закон в виде таблицы

X	n	n±1	…	k	…	0
p	pn	npn-1	…	Сnkpkqn-k	…	pk

Теорема 1: математическое ожидание биномиального распределения с параметрами n и p равно произведению np, т.е. M(X) = np

Теорема 2: дисперсия биномиального распределения с параметрами n и p равна произведению npq, т.е. D(X) = npq (σ = )


46.Равномерное и показательное распределение, их числовые характеристики.

Равномерное распределение:

Непрерывная случайная величина, которая принимает значения на отрезке [a;b] с постоянной плотностью распределения- называется распределенной по равномерному закону. Из определения следует, что плотность распределения определяется равенством

Должна удовлетворять двум требованиям

f(x)≥ 0 , C>0

=C(b-a)





Таким образом:

Найдем дисперсию и математическое ожидание и математическое отклонение :




Показательное распределение:

Непрерывная случ вел, которая принимает только не отрицательное значение с плотностью распределения



Называется распределением по показательному закону с параметром лямда, т к

, то приведенное определение корректно.

Ф-ция распределения показательного распределения имеет вид:




47.Нормальное распределение и его числовые характеристики .

Нормальны называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины (НСВ), которое описывается плотностью f(x)= e^- ,мы видим что нормальное распределение определяется двумя параметрами а и 𝜎 .Достаточно знать эти параметры чтобы задать нормальное распределение .Покажем что вероятностный смысл этих параметров таков :а -есть математическое ожидание ,𝜎 –среднее квадратическое отклонение нормального распределения .

а) По опр. математического ожидания НСВ М(Х)= Первое слагаемое равно 0(под знаком интеграла стоит нечётная функция ,приделы интегрирования симметрично относительно начало координат ).Второе слагаемое равно а(интеграл Пуассона ) итак математическое ожидание М(Х)=0+а=а ,т.е математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.

б)По опр. дисперсии НСВучитывая что М(Х)=а имеем D(X)= ;D(X)= ,

Среднее квадратичное отклонение нормального распределение равно параметру 𝜎.


49. Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Статистическое распределение выборки.

МС- это раздел прикладн. матем. непосредственно примыкающий к ТВ.

Основное отличие МС от ТВ состоит в том, что в МС рассматриваются не действия законом распределения и числовым характер. СВ, а приближенные методы отыскания этих законов и характер по результатом эксперементов.

Разработка методов регистрации, анализа, описания эксперемент. данных получаемых в результате наблюдения массовых случ. явлений составляет предмет математической статистики.

Задачи, которые решаются с её помощью принимают ту или иную форму в зависимости от характера вопроса и объема накопленного опытного материала. Если при обработке экспериментального материала, з-н распределения СВ задача обработки результатов состоит в определении так наз. подходов значений или оценок для искомых параметров, т.е таких приближенных значений, которые при массовом применении приводили бы к меньшим погрешностям, чем всякие другие. С задачей отыскания подходящих значений числовых характер. тесно связана задача оценки их точности и надежности. Для решения подобных задач МС выработала ряд специальных приемов.

В МС изучение СВ тесно связано с выполнением ряда независимых опытов в которых она принимает определенные значения. Полученные значения СВ представляют собой простую статистич. совокупность или простой статистический ряд, подлежащий обработке, осмыслению и научному анализу.

Статистическая совокупность представляет собой множество объектов относительно некоторого качественного или количественного признака характериз. эти объекты

Совокупн. состоящая из всех объектов, которые могут быть к ней отнесены наз. генеральной. Теоретически это б.б или приближ. к ∞ совокупность.

Число объектов генеральн. совокупн. наз. её объемом и обознач: N

Множество объектов случайно отобран. из генеральной совокупности наз. выборочной совокупностью или выборкой.

Число объектов выборки наз. её объемом и обознач: n

Юля того, что бы св-во выборки достаточно хорошо отражали св-ва генераль совокупн. выборка должна быть репрезентативной (представительной)

Согласно з-ну больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезент. если её осуществляет случайно каждый объект, считается отобранной случайно из генеральной совокупн. если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

В зависимости от техники отбора объектов из генеральной совокупности выборки делятся на: повторные, бесповторные