Высш мат. Решение ду. Опред

• Название: Решение ду. Опред
• Анкор: Высш мат
• Дата: 20.12.2021
• Размер: 0.56 Mb.
• Имя файла: matanvse.docx
• Тип: Задача; #311022
• страница: 2 из 7

11. ЛНДУ 2-го порядка со специальной правой частью

Рассмотрим ЛНДУ 2-го порядка yʺ +pyʹ +qy = f(x)(1), где p и q – действительные числа, f(x) – непрерывная функция.

Общее решение ЛНДУ y = ỹ(x) + Y(x), где ỹ(x) – частное решение неоднородного уравнения, а Y(x) – общее решение соответствующего однородного уравнения. Рассмотрим вопрос о нахождении ỹ(x).

Рассмотрим различные виды правой части уравнения 1.

f(x) = P_n(x) e^ax , где P_n(x) – многочлен степени n

n = 0, то P₀(x) = A

n = 1, то P₁(x) = Ax + B

n = 2, то P₂(x) = Ax² + Bx + C

если a не является корнем характеристического уравнения, то ỹ(x) = Q_n(x) e^ax, где Q_n(x) – многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами

б) если а является корнем характеристического уравнения, то ỹ(x) = x^rQ_n(x) e^ax, где r – кратность корня характеристического уравнения (для ДУ 2-го порядка r = 1, либо r = 2)

II. f(x) = e^ax (P_n(x) cos bx + Q_m(x) sin bx)

а) если (a+bi) – не является корнем характеристического уравнения то ỹ(x) = e^ax(S_n(x) cosbx + T_n(x) sinbx), где N = max {n, m}

б) если (a-bi) – является корнем характеристического уравнения то ỹ(x) = x^re^ax(S_n(x) cosbx + T_n(x) sinbx), где r – кратность корня характеристического уравнения.

12.Двойные интегралы, их свойства и вычисление в декартовых координатах.

Двойным интегралом от ф-ции f(x;у) по области τ наз. Предел к которому стремится интегральная сумма , при неограниченном увеличении числа n-малых площадок и при условии, что каждая из них стягивается в точку. Таким образом двойной ин-л:

Св-ва:1)постоянный множитель можно выносить за знак ин-ла: 2)двойной ин-л от алгебраической суммы равен алг.сумме каждого слагаемого в отдельности.



3)если в обл.интегрирования τ имеет место неравенство: f(x;y) ≥0, то 4)если в область интегрирования имеет место нер-во:f(x;y)≥q(x;y), то 5) если обл. инт-ия τ разбита на , то

6)т-ма о среднем значении.

Пусть ф-ция f(x;y) непрерывна в замкнутой ограниченой области τ, тогда в области τ сущ. точка укккккккккккккккккккккк такая, что . (1) Значение ф-ций f( опред. из равенства (1) наз. cредним значением функции f(x;y) в области τ.

Вычисление в декартовых координатах.

Т-ма: Пусть ф-ция f(x;y) задана и непрерывна в замкнутой прямоугольной D,тогда имеет место неравенство: Пусть любая прямая параллельна оси Оу пересекает границу обл. D не более, чем в 2ух точках, тогда справедлива

ф-ла:

Рассмотрим обл.D, которая определяется неравенствами:с≤y≤d, и пусть любая прямая параллельна оси Ох пересекает границу области не более, чем в 2х точках, тогда двойной интеграл:
13.Тройные интергалы, их св-ва и вычисление в декартовых системах.

Тройной интеграл (x;y;z)*dx*dy*dz= ( ; ) = (x;y;z)dv (1).

dv= dx*dy*dz –элемент объема.

Теорема(существования). Если функция u=f(x;y;z) неопределенна в ограниченной замкнуто области V,то предел интегралной суммы (1) при n→∞ и max →0 существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек ( ; ) в них.

Свойства:

* f(x;y;z)dv=c * (x;y;z)dv, c-const.

(x;y;z) (x;y;z))dv= (x;y;z) (x;y;z))dv

(x;y;z)dv= f(x;y;z)dv+ f(x;y;z)dv

(x;y;z)dv≥0если в области V функция f(x;y;z)≥0.

Если в области интегрирования f(x;y;z)≥φ (x;y;z) то и (x;y;z)dv≥ (x;y;z)dv.

dv= V т.к. в случае f(x;y;z)=1 любая интегральная сумма имеет вид =V и численно равна объему тела.

Оценка тройного интеграла:

m*V=≤ (x;y;z)dv≤M*V, где m,M соответственно наим. и наиб. Значения функции f(x;y;z) в области V.

7.Теорема о среднем: (x;y;z)dv=f( , , )*V, где V –объем тела.

Тройной интеграл вычисляется в декартовых системах с помощью формулы: (x;y;z)dxdydz= (x;y;z)dz

14. Приложения двойных и тройных интегралов

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

-Объём цилиндрического тела:



где .

-Площадь плоской фигуры области D:



-Масса плоской фигуры:



Где x,y)- переменная плотности.

ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

-Объём тела:

Объём обл. или - в дек. Координатах

- в цилиндрических координатах

- в сферических координатах

-Масса тела:

где γ(x,y,z)- объёмная плотность распред. Массы в т. М(х,y,z).


15. Криволинейный интеграл первого рода его свойства, вычисление, применение

На плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ, определяющаяся функцией f(x;y). Разобьем кривую на точки . Выберем на каждой дуге произвольную точку ( )и составим сумму

- интегральная сумма для данной функции по кривой АВ

Конечный предел интегральных сумм называют криволинейным интегралом от функции по кривой АВ (первого рода)

=

Теорема
если функция непрерывна в каждой точке кривой, то криволинейный интеграл существует

свойства

1 =

2 =

3 =

4 = +

5 ,

6 =
Вычисление

Параметрическое

=

Явное

=

Полярное

=
Применение

Вычисление длины кривой, площади цилиндрической поверхности и массы кривой


17.Формула Остроградского-Грина

Связь между двойным интегралом по области D и криволиней­ным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроградского Грина, которая широко при меняется в математиче­ском анализе.

Теорема: Если функции Р(х; у) и Q(x; у) непрерывны вместе со своими частными производными dP/dy и dQ/dx в области D, то имеет место формула : ∫∫((dQ/dx)-(dP/dy))dxdy=∫Pdx+Qdy

19.Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд

(1) – числовой ряд.

ТЕОРЕМА. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. . (2)

Доказательство. Пусть дан сходящийся ряд , имеющий сумму S. Рассмотрим его частичные суммы ; . Отсюда . Следовательно,

.

Но и , т.е. при .

. Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ. ( Достаточное условие расходимости ряда) Если или не существует, то ряд расходится.

Условие (2) является необходимым для сходимости ряда (1), но недостаточное. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых выполняется условие (2).

Примером может служить ряд (3).

, однако ряд расходится.

Рассмотрим так называемый гармонический ряд:

(4)

Как известно, . Отсюда следует, что при любом имеет место неравенство . Логарифмируя это неравенство по основанию , получим:

1,

т.е.

Подставляя в полученное нерав-во поочередно , получим:

,

,



…………..



Сложив почленно эти неравенства, получим . Поскольку , получаем , т.е. гармонический ряд (4) расходится.

20.Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

Признак сравнения
пусть даны два ряда (1) и (2). Eсли выполняется неравенство , то:

если ряд 2 сходится, то и ряд 1 сходится;

если ряд 1 расходится, то и ряд 2 расходится.
Предельный признак сравнения
Если существует предел отличный от нуля, то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Признак Даламбера
если существует предел , то при L<1 ряд сходится, приL>1 – расходится.

Радикальный признак Коши

Если существует предел , то при L<1 ряд сходится, приL>1 – расходится.

Интегральный признак Коши

Если члены ряда могут быть представлены как значения монотонно убывающей функции, то:

если сходится, то и ряд сходится;
если расходится, то и ряд расходится.
22. Знакочередующиеся РЯДЫ. Признак Лейбница

Знакочередующи­мся рядом называется ряд вида

a₁-a₂+a₃-a₄+…+(-1)ⁿ⁺¹a_n+…=∑(-1)ⁿ⁺¹a_n (1)

где n > 0 для всех n принадлежащих N

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости.

Теорема.1 (признак Лейбница). 3накочередующийся ряд (1) сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает,

т. е. аl > а2 > аЗ > ... > а_n> ... ;

2. Общий член ряда стремится к нулю: Iim a_n = 0.

При этом сумма S ряда (1) не превосходит первого члена а1, а остаток ряда удолетворяет неравенству 0
Док: рассм сначала частичную сумму четного числа(2m) членов ряда(1)

S=u1-(u2-u3)-(u4-u5)-…-(u2m-2 -u2m-1)-u2m. Легко видеть, что S2m
Рассм. теперь частичные суммы нечетного числа (2m+1) членов ряда (1). Очевидно, что S2m+1=s2m+u2m+1. Отсюда следует, что limS2m+1= limS2m+o=S. Итак, limSn=S как при четном ,так и при нечетном n. Следовательно, ряд (1) сходится.