Высш мат. Решение ду. Опред
 Скачать 0.56 Mb.
|
|
43. математическое ожидание случайной величины и его свойства Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:  ,где  .Очевидно, математическое ожидание случайной величины  не изменится, если таблицу значений этой случайной величины пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю.Математическое ожидание  случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины .Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Свойства математического ожидания 1. Теорема. Математическое ожидание постоянной величины  равно этой величине.Доказательство. Постоянную величину можно рассматривать как случайную дискретную величину, принимающую лишь одно возможное значение с вероятностью . Поэтому .2. Теорема. Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин и равно разности их математических ожиданий: 3. Теорема. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин и равно произведению их математических ожиданий:  48. свойства и график плотности нормально распределенной СВ вероятность попадания в интервал Так как нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины, то это распределение можно задать в виде плотности распределения вероятности. Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности f(x) имеет вид где аи —некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.Функция распределения F(x) в рассматриваемом случае принимает вид  Параметр а- есть математическое ожидание НСВХ, имеющей нормальное распределение, - среднее квадратическое отклонение, тогда дисперсия равна Выясним геометрический смысл параметров распределения а и . Для этого исследуем поведение функции f(x). График функции f(x) называется нормальной кривой. Рассмотрим свойства функции f(x): 1°. Областью определения функции f(x) является вся числовая ось. 2°. Функция f{x) может принимать только положительные значения, т. е. f(x}>0. 3°. Предел функции f(x) при неограниченном возрастании |х| равен нулю, т. е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика функции. 4°. Функция f{x) имеет в точке х =a максимум, равный 5°. График функции f(x) симметричен относительно прямой х = а. 6°. Нормальная кривая в точках х = а + имеет перегиб, На основании доказанных свойств построим график плотности нормального распределения f(x).
При изменении параметра а форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание (параметр а) уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо .
При изменении параметра изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции f(x) убывает, и наоборот. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра кривая приближается к оси Ох и растягивается вдоль нее, а с уменьшением кривая стягивается к прямой х=а .
Использование формул f(x) и F(x) для практических расчетов затруднительно. Но решение задач по этим формулам можно упростить, если от нормального распределения с произвольными параметрами а и перейти к нормальному распределению с параметрами а=0, = 1. Функция плотности нормального распределения f(x) с параметрами а=0, =1 называетсяплотностью стандартной нормальной случайной величины и ее график имеет вид:  Значения функции Ф(u) необходимо взять из таблицы приложений "Таблица значений функции Ф(х)" . |
