|
Решение По правилу правой руки можно определить направления напряженностей, созданных горизонтальными и вертикальными участками проводника. Напряженности н в и
Дано:
1.73 мТл
2.3 мТл
м/c
q=1.6 Кл
m=9.1
F=?
Рис. 2. Направление основных векторов и траектория движения.
Решение:
На электрон действуют поля, оба вектора магнитной индукции перпендикулярны начальной скорости, причём . Электрон движется равномерно. Для магнитных полей действует принцип суперпозиции. В первом поле электрон вращается по окружности (
), во втором - по окружности (
). Очевидно, что . Таким образом, электрон вращается по эллипсу с большой осью и малой осью , угол между эллипсом и плоскостью первоначального движения электрона составляет
Запишем закон Ньютона:
Направление силы будет в плоскости движения электрона.
Модуль силы можно посчитать по формуле
Ответ:
2.10.
Постановка задачи. Электрон влетел в однородное электрическое поле, напряженность которого изменяется по гармоническому закону амплитудой 100 В/см и частотой 1 МГц. Начальная скорость частицы направлена перпендикулярно направлению силовых линий поля. Определить уравнение траектории частицы и длину пути, если электрон обладал начальной кинетической энергией 10 эВ и толщина области поля составляет 10 см. Построить траекторию движения электрона.
Дано:
= В/м
γ=
=10эВ=1.6
l=0.1 м
q=1.6 Кл
m=9.1
=?
Решение:
Скорость частицы направлена перпендикулярно силовым линиям, движение по направлению скорости равномерно.
По вертикальной оси на частицу действует сила:
Отсюда найдём ускорение:
Изначально частица не двигалась по вертикали, значит, траектория выражается формулой:
Выразим эту координату через x:
Запишем закон изменения напряжённости:
Выразим время через x:
Таким образом, получим:
Скорость можно выразить через энергию:
Поскольку частота синусоидального колебания меньше, чем время прохождения области с электрическим полем, траектория частицы очень сильно зависят от начальной фазы.
Рис. 2. Траектория движения частицы при условии нулевой начальной фазы
Ответ:
3.1.
Постановка задачи. Тело совершает колебания по закону см. Определите амплитуду смещения, скорости, ускорения, если масса тела 1 кг, начальная фаза равна нулю. Найдите полную энергию тела. Построить фазовую траекторию.
Дано:
см
m=1 кг
=0
E=?
Решение:
Амплитуда смещения достигается, когда синус равен 1. Таким образом, .
Чтобы найти амплитуду скорости, найдём уравнение скорости. Для этого возьмём производную от смещения.
Амплитуда скорости максимальна, когда косинус равен 1. Таким образом, = .
Чтобы найти амплитуду ускорения, найдём уравнение ускорения. Для этого возьмём производную от скорости.
Амплитуда ускорения максимальна, когда синус равен -1. Таким образом, = .
Найдём полную энергию тела. Воспользуемся формулой кинетической энергии при максимальной скорости (также нельзя забывать, что скорость измеряется в см/c)
Чтобы найти фазовую траекторию, воспользуемся формулами:
Поделим обе части на их амплитуды и возведём в квадрат:
Сложим обе части:
В результате фазовой траекторией будет являться эллипс с радиусами 5 и .
Рис. 3. Фазовая траектория заданного колебания
Ответ: ; = ; =
3.2.
Постановка задачи. Тело совершает колебания по закону см. Определите амплитуду смещения, скорости, ускорения, если масса тела 2 кг, начальная фаза равна нулю. Найдите полную энергию тела. Построить фазовую траекторию.
Дано:
см
m=2 кг
=0
E=?
Решение:
Амплитуда смещения достигается, когда синус равен 1. Таким образом, .
Чтобы найти амплитуду скорости, найдём уравнение скорости. Для этого возьмём производную от смещения.
Амплитуда скорости максимальна, когда косинус равен 1. Таким образом, = .
Чтобы найти амплитуду ускорения, найдём уравнение ускорения. Для этого возьмём производную от скорости.
Амплитуда ускорения максимальна, когда синус равен -1. Таким образом, = .
Найдём полную энергию тела. Воспользуемся формулой кинетической энергии при максимальной скорости (также нельзя забывать, что скорость измеряется в см/c)
Чтобы найти фазовую траекторию, воспользуемся формулами:
Поделим обе части на их амплитуды и возведём в квадрат:
Сложим обе части:
В результате фазовой траекторией будет являться эллипс с радиусами 50 и .
Рис. 3. Фазовая траектория заданного колебания
Ответ: ; = ; =
3.3.
Постановка задачи. Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре дано в виде А. Индуктивность катушки 1 Гн. Найдите 1) период колебаний, 2) емкость конденсатора, 3) максимальную разность потенциалов на обкладках конденсатора, 4) максимальную энергию электрического поля, 5) максимальную энергию магнитного поля.
Дано:
L=1 Гн
T=?C=?U=?
Решение:
Запишем формулу Томпсона:
Циклическая частота и период связаны формулой:
Отсюда найдём период:
Найдём ёмкость конденсатора:
Выразим разность потенциалов через формулу силы тока:
Найдём максимальную энергию магнитного поля:
По закону сохранения энергии:
Ответ:
3.4.
Постановка задачи. Материальная точка совершает колебания по закону синуса с амплитудой 10 см, частотой 2 Гц и начальной фазой 30 градусов. Полная энергия колеблющейся точки 0.077 Дж. Через какой промежуток времени от начала движения кинетическая энергия станет равной потенциальной?
Дано:
=0.077 Дж
Решение:
Запишем уравнение скорости тела:
Когда кинетическая энергия равна полной, скорость максимальна и равна:
Таким образом, можно выразить массу:
В момент, когда кинетическая энергия равна потенциальной, кинетическая энергия равна половине полной энергии.
Приравняв это к уравнению скорости, получим:
Время не может быть отрицательным, поэтому самое меньшее удовлетворяющее условиям время будет при:
Ответ:
3.5.
Постановка задачи. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями см и см. Найдите уравнение траектории точки. Определите скорость и ускорение точки в момент времени 0.5 с. Построить траекторию движения точки.
Дано:
см
см
t=0.5 с
y(x)=? =? a=?
Решение:
По условию:
Траектория точки – эллипс с радиусами 3 и 2.
Рис. 3. Траектория движения точки - эллипс
Для нахождения скорости возьмём производную от координаты:
Для нахождения ускорения возьмём производную от скорости:
Ответ:
3.6.
Постановка задачи. Колебательный контур имеет индуктивность 1.6 мГн, емкость конденсатора 0.04 мкФ и максимальную разность потенциалов на обкладках конденсатора 200 В. Чему равна максимальная сила тока в контуре? Активное сопротивление контура мало.
Дано:
L=1.6
C=4
U=200 В
I=?
Решение:
По закону сохранения энергии полная энергия электрического и магнитного поля равны:
Ответ:
3.7.
Постановка задачи. Определите амплитуду гармонических колебаний материальной точки, если полная энергия колеблющейся точки 0.04 Дж, а максимальная сила, действующая на точку, равна 2 Н.
Дано:
F=2 Н
W=0.04 Дж
=?
Решение:
Запишем уравнение для силы:
И для энергии:
Таким образом, выразим А:
Ответ:
3.8.
Постановка задачи. Колебательный контур имеет индуктивность 0.1 Гн, емкость конденсатора 0.9 мкФ. Сколько времени проходит от момента, когда конденсатор полностью разряжен, до момента, когда его энергия вдвое превышает энергию катушки? Активное сопротивление контура рано нулю.
Дано:
L=0.1 Гн
C=
t=?
Решение:
Запишем формулу Томпсона:
Запишем формулу напряжения:
Полная энергия колебательного контура:
Энергия конденсатора вдвое превышает энергию катушки:
Ответ:
3.9.
Постановка задачи. Тело совершает гармонические колебания по закону см. Чему равна максимальная сила, действующая на точку и полную энергию, если масса тела 10 г?
Дано:
m=0.01 кг
F=? W=?
Решение:
Запишем уравнение для силы:
И для энергии:
Ответ:
3.10
Постановка задачи. На доске лежит груз массой 10 кг. Доска совершает гармонические колебания по закону косинуса в вертикальном направлении с периодом 0.5 с и амплитудой 2 см. Определите величину давления груза на доску в момент времени 2 с и полную энергию колеблющегося груза. Начальная фаза колебаний равна нулю.
Дано:
m=10 кг
T=0.5 с
A=0.02 м
t=2 с
P=? W=?
Решение:
Допустим, направление оси y совпадает с направлением силы тяжести.
Запишем уравнение колебания доски:
Запишем уравнение для ускорения доски, взяв вторую производную координаты:
Величина давления груза в векторной форме:
Перейдём к скалярной форме, рассчитав скаляры и их знаки
Запишем уравнение полной энергии:
Ответ:
4.1.
Постановка задачи. Груз массой 0.5 кг подвешен к пружине, жесткость которой 32 Н/м, и совершает затухающие колебания. Определите период затухающих колебаний, если за время двух колебаний амплитуда уменьшилась в 3 раза.
Дано:
m=0.5 кг
k= 32 Н/м
N=3
n=2
T=?
Решение:
Запишем две формулы для затухающего колебания:
При этом:
Таким образом, при подстановке получим следующие уравнения:
Выразим γ из первого уравнения:
Подставим во второе:
Ответ:
4.2.
Постановка задачи. Маятник длиной l = 5 м совершает малые колебания, так что амплитуда их уменьшилась в два раза за 100 периодов. Найдите добротность Q колебаний, логарифмический декремент λ и коэффициент затухания γ.
Дано:
N=2
n=100
l=5 м
Q=? λ=? γ=?
Решение:
Формула периода математического маятника:
Запишем формулу изменения амплитуды у затухающего колебания:
Поскольку:
То получим:
Теперь выразим логарифмический декремент.
Выразим добротность:
Ответ:
4.3.
Постановка задачи. Колебательный контур имеет индуктивность 0.23 Гн, емкость конденсатора 7 мкФ. Сопротивление контура 40 Ом. Конденсатор заряжен 0.56 мКл. Найдите: а) период колебаний, б) логарифмический декремент затухания колебаний λ. Напишите уравнение зависимости разности потенциалов на обкладках конденсатора от времени.
Дано:
L=0.23 Гн
C=7
R=40 Ом
q=5.6
T=? λ=? U(t)=?
Решение:
Из свойств колебательного контура найдём коэффициент затухания:
Также выразим собственную циклическую частоту:
Теперь можно найти период:
Теперь найдём логарифмический декремент:
Запишем закон изменения напряжения на обкладках конденсатора:
Найдём максимальное напряжение:
Таким образом:
Ответ:
4.4. Постановка задачи.
Чему равен логарифмический декремент затухания колебаний и добротность системы, если амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в 10 раз за 50 колебаний?
Дано:
n=50;
N=10;
λ=? Q=?
Решение:
Запишем формулу изменения амплитуды у затухающего колебания:
Поскольку:
То получим:
Теперь выразим логарифмический декремент.
Выразим добротность:
Ответ:
4.5. Постановка задачи.
Колебательный контур имеет индуктивность 25 мГн, емкость конденсатора 10 мкФ. Определите сопротивление контура, если амплитуда тока уменьшилась в е раз за 16 колебаний?
Дано:
L=0.025 Гн
C= Ф
N=e
n=16
R=?
Решение:
Из свойств колебательного контура выразим коэффициент затухания:
Также выразим собственную циклическую частоту:
Запишем формулу изменения амплитуды у затухающего колебания:
Поскольку:
То получим:
Далее выразим период:
Таким образом:
Ответ:
4.6. Постановка задачи.
Колебательный контур с собственной частотой f0 = 100 кГц имеет добротность Q = 100. Рассчитайте емкость и индуктивность контура, если сопротивление, включенное в контур R = 5 Ом.
Дано:
R= 5 Ом
Q=100
= Гц
C=? L=?
Решение:
Запишем уравнение собственной циклической частоты:
Запишем уравнение добротности:
Подставив в первое уравнение:
Ответ:
4.7.
Постановка задачи. Энергия затухающих колебаний маятника, происходящих в некоторой среде, за время 2 мин уменьшилась в 100 раз. Определите коэффициент сопротивления, если масса маятника 100 г.
Дано:
m=0.1 кг
t=120 с
N=100
r=?
Решение:
Запишем формулу коэффициента сопротивления для пружинного маятника:
Запишем формулу изменения амплитуды у затухающего колебания:
Таким образом:
Ответ:
4.8.
Постановка задачи.
На колеблющийся шарик массы m на пружинке жесткостью k действует сила трения . Подсчитайте тепло, выделяющееся в среднем за один период колебаний, предполагая, что добротность колебаний велика. Насколько уменьшается амплитуда колебаний за один период колебаний маятника?
Дано:
k,m, λ, , n=1
Q=? A=?
Решение:
Выделившееся тепло совпадает с работой, поэтому можно записать так:
Вместо вычисления интеграла можно воспользоваться условием, что добротность велика. Значит, можно считать амплитуду колебаний неизменной за один период. Таким образом:
Тогда интеграл достаточно легко считается, и мы получаем:
Пусть среднее значение энергии колебания осциллятора W. Тогда закон сохранения энергии можно записать в виде:
Мы использовали тот факт, что средняя энергия мало меняется во время колебаний. Так как
Мы получаем:
Следовательно, амплитуда колебаний меняется по закону:
Ответ:
4.9.
Постановка задачи. Колебательный контур имеет индуктивность 0.005, емкость конденсатора 0.2 мкФ. При каком логарифмическом декременте и омическом сопротивлении цепи энергия уменьшится на порядок за три полных колебания?
Дано:
L=0.005 Гн
C= 2
N=3
S=? R=?
Решение:
Выразим время трёх полных колебаний через период:
Разность потенциалов со временем изменяется по формуле:
Отсюда выведем:
С другой стороны,
По формуле Томпсона:
Ответ:
4.10.
Постановка задачи. Измерены три последовательных амплитуды затухающих колебаний пружинного маятника 8.6, -4.1, 4.3 мм. Каково среднее положение осциллятора и логарифмический декремент затухания колебаний λ?
Дано:
A(0)=8.6 мм
A(T)=-4.1 мм
A(2T)=4.3 мм
=? λ=?
Решение:
Запишем формулу изменения амплитуды у затухающего колебания:
Выразим логарифмический декремент через разные измерения амплитуды. Учтём – изменение амплитуды из-за того, что координата ненулевая.
Ответ:
5.1.
Постановка задачи. Найдите усредненные значения кинетической и потенциальной энергии гармонического осциллятора под действием внешней гармонической силы в режиме установившихся колебаний. Как они соотносятся между собой при различных значениях частоты вынуждающих колебаний?
Решение:
В режиме установившихся колебаний смещение тела будет определяться по формуле:
Причём частота равна частоте вынужденных колебаний.
Выразим кинетическую энергию:
Среднее значение кинетической энергии таким образом равно:
И потенциальную энергию:
Среднее значение потенциальной энергии таким образом равно:
Таким образом, средние значения как кинетической, так и потенциальной энергии растут от частоты вынужденных колебаний, но между собой эквивалентны.
Ответ:
5.2.
Постановка задачи. При какой скорости поезда рессоры его вагонов будут особенно сильно колебаться под действием толчков колес о стыки рельс, если длина рельс 12.5 м, нагрузка на рессору 5.5 тонн и если рессора прогибается на 16 мм при нагрузке в 1 тонну?
Дано:
l=12.5 м
=5.5 т
∆x=0.016 м
=1 т
=?
|
|
|
Скачать 0.76 Mb.