г9 класс поурочные. Решение задач Цели

• Название: Решение задач Цели
• Дата: 03.06.2022
• Размер: 1.53 Mb.
• Имя файла: г9 класс поурочные .doc
• Тип: Урок; #567420
• страница: 10 из 13

Ход урока

I. Изучение нового материала.

Материал пунктов 118 и 119 рекомендуется изложить в виде небольшой лекции с применением разнообразных иллюстративных средств (плакаты, таблицы, рисунки, разнообразные геометрические тела); для демонстрации графического материала использовать графопроектор.

1. До сих пор мы занимались планиметрией – изучали свойства плоских геометрических фигур, то есть фигур, целиком расположенных в некоторой плоскости. Но окружающие нас предметы в большинстве своем не являются плоскими. Любой реальный предмет занимает какую-то часть пространства.

2. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией. Это слово происходит от греческих слов «стерео» – объемный, пространственный и «метрео» – измерять.

3. В стереометрии наряду с простейшими фигурами – точками, прямыми и плоскостями – рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками.

4. Рассмотрим простейший многогранник – куб (рис. 335, а) и модель куба.

Сколько граней, ребер и вершин имеет куб?

5. Познакомить учащихся с другими геометрическими телами:

1) шаром (рис. 335, б), такую же форму имеет футбольный мяч;

2) цилиндром (рис. 335, в), эту форму имеет консервная банка.

6. Ввести понятие границы геометрического тела; понятие секущей плоскости тела; понятие сечения тела (рис. 336).

7. Изображение геометрических тел на чертеже (рис. 337, а, б, в).

На доске и в тетрадях учащиеся выполняют рисунки параллелепипеда, пирамиды, конуса, цилиндра.

8. Вспомним понятие многоугольника в планиметрии (рис. 338, а б). На модели прямоугольного параллелепипеда определим количество граней, ребер, вершин.

Форму прямоугольного параллелепипеда имеют коробки, комнаты и многие другие предметы.

9. Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Это тело также называют многогранником (рассмотреть по учебнику рис. 339).

Тетраэдр составлен из четырех треугольников; по-гречески «тетра» – четыре.

Октаэдр составлен из восьми треугольников; по-гречески «окто» – восемь.

10. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости. гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, а гранями тетраэдра и октаэдра – треугольники. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер –вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника (рис. 339, а).

11. Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми (рис. 339 и рис. 340).

Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

II. Закрепление изученного материала.

решение задач.

1. Решить устно задачу № 1184 (б) и (в), используя модели тетраэдра и октаэдра.

Ответ: б) тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины; в) октаэдр имеет 8 граней, 12 ребер и 6 вершин.

2. Решить задачу № 1188 на доске и в тетрадях.

Учитель объясняет построение сечения параллелепипеда плоскостью сначала по рисунку учебника (рис. 355 а; б, с. 321), а затем выполняет построение сечения на доске; учащиеся строят сечение в тетрадях. Перед построением сечения в тетрадях записывают следующие правила:

1) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

2) если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

3) отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны.

III. Итоги урока.

– Объясните, что такое многогранник; что такое грани, ребра, вершины и диагонали многогранника. Приведите примеры многогранников.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 118 и 119; решить задачу № 1188 (разобрать построение сечения параллелепипеда плоскостью по учебнику на с. 322, используя рис. 356, а и б; выполнить построение сечения в тетрадях).

Урок 2
Призма. Параллелепипед

Цели: ввести понятие призмы и ее элементов; дать определение прямой и наклонной призмы, определение высоты призмы; ввести понятие параллелепипеда, понятие прямого и прямоугольного параллелепипеда; научить строить призмы и параллелепипеды.

Ход урока

I. Устная работа.

Проверить усвоение предшествующего материала в процессе решения устных задач по готовым чертежам на доске и с использованием моделей геометрических тел.

Ответить на вопросы:

1. Какой раздел геометрии называется стереометрией?

2. Что рассматривается в стереометрии?

3. Какие поверхности называются многогранниками? Приведите примеры простейших многогранников.

4. Какая плоскость называется секущей плоскостью геометрического тела?

5. Что называется сечением тела?

6. Объясните, что такое многогранник; что такое грани, ребра, вершины и диагонали многогранника. Приведите примеры многогранников.

Учитель показывает модели различных геометрических тел и многогранников, а учащиеся должны назвать их.

II. Объяснение нового материала.

1. Используя рисунок учебника (рис. 341, с. 311), учитель объясняет построение многогранника, называемого призмой.

2. В тетрадях ученики записывают определения:

1) две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек;

2) две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. Ввести определение n-угольной призмы, оснований призмы, боковых ребер призмы.

4. Призмы бывают прямыми и наклонными.

Введем понятие перпендикулярности прямой и плоскости, используя рисунок учебника (рис. 342, с. 312).

Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой (рис. 343, а); в противном случае призма называется наклонной (рис. 343, б). Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной (рис. 343, в).

Учитель демонстрирует учащимся модели различных призм.

5. Определение высоты призмы (рис. 344).

6. Определение параллелепипеда.

Четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом (рис. 345). Все шесть граней параллелепипеда – параллелограммы.

Если параллелепипед прямой, то есть его боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований, то боковые грани – прямоугольники. Если же и основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то этот параллелепипед – прямоугольный.

Учитель показывает учащимся модели прямого и прямоугольного параллелепипедов.

7. Записать в тетрадях свойство диагоналей параллелепипеда: «Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам».

Доказательство этого утверждения основано на следующем факте: «если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны».

Доказательство свойства диагоналей параллелепипеда учащиеся проводят устно по готовым чертежам на доске с помощью учителя (рис. 346, а, б, в, заранее выполнить на доске).

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1185.

Решение

а) Число вершин призмы определяется количеством вершин многоугольника, лежащего в основаниях призмы. Так как призма имеет два основания, то n-угольная призма имеет 2n вершин (четное число). Например: треугольная призма имеет 2 ∙ 3 = 6 вершин; четырехугольная призма имеет 2 ∙ 4 = 8 вершин; пятиугольная призма имеет 2 ∙ 5 = 10 вершин.

б) Число ребер призмы равно сумме ребер двух оснований призмы и боковых ребер призмы, количество которых определяется числом вершин многоугольника, расположенного в основании призмы, то есть n-угольная призма имеет число ребер, равное 2n + n = 3n кратно 3.

2. Решить задачу № 1186.

Решение

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна сумме площадей ее боковых граней. Пусть a, b, c, d… m – стороны основания призмы; h – ее боковое ребро.

У прямой призмы все боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований, то есть боковые грани – прямоугольники. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Тогда

S_{бок. пов.} = ah + bh + ch + dh + ... + mh = h ∙ (a + b + c + d + ... + m) = Ph,

где P – периметр основания, h – боковое ребро.

3. Устно решить задачу № 1187, используя модель параллелепипеда.

Ответ:а) нет; б) нет; в) нет; г) да; д) нет.

IV. Итоги урока.

1. Объясните, как построить многогранник, называемый n-угольной призмой; что такое основания, боковые грани, боковые ребра и высота призмы.

2. Какая призма называется: а) прямой; б) правильной?

3. Объясните, что такое параллелепипед; какие многоугольники являются гранями: а) параллелепипеда; б) прямого параллелепипеда; в) прямоугольного параллелепипеда.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 120 и 121; выполнить рисунки (рис. 346, а, б, в) и записать в тетрадях доказательство свойства диагоналей параллелепипеда.
Урок 3
Объем тела. Свойства прямоугольного
параллелепипеда

Цели: повторить понятие площади плоских фигур, ввести понятие объема тела, единиц измерения объемов тел; изучить основные свойства объемов и прямоугольного параллелепипеда; познакомить учащихся с принципом Кавальери; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Проверить по тетрадям решение учащимися задач № 1190 (б) и № 1234 (б).

2. По готовому на доске чертежу параллелепипеда построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через:

а) точки D, С и В₁;

б) точки В, K и L, где K – середина ребра АА₁, а L – середина СС₁.

(Это задача № 1235 на с. 337 учебника.)

Решение

а) проводим отрезок СВ₁, затем строим прямую DА₁, параллельную В₁С. Параллелограмм СDА₁В₁ – искомое сечение.

б) По условию АK = KА₁ и СL = C₁L. Проводим отрезки KВ и BL. Проводим отрезок D₁L, параллельный отрезку KВ.

Соединяем отрезком точки K и D₁, принадлежащие одной плоскости АDD₁А₁. параллелограмм KВLD₁ – искомое сечение.

II. Изучение нового материала.

1. Повторить понятие площади плоской фигуры.

2. Понятие объема тела вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром и обозначается так: 1 см³. Аналогично определяются кубический метр (м³), кубический миллиметр (мм³) и т. д.

3. Прочитать по учебнику текст (с. 314 и 315) и записать в тетрадях основные свойства объемов:

1) Равные тела имеют равные объемы.

2) Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел (рис. 347):

V = V₁ + V₂.

4. Разобрать по рисунку учебника (рис. 348) принцип Кавальери.

5. Когда мы говорим о размерах комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, то обычно употребляем слова «длина», «ширина» и «высота», имея в виду длины трех ребер с общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются общим названием: измерения прямоугольного параллелепипеда (рис. 349, с. 317 учебника).

6. У прямоугольника два измерения – длина и ширина. При этом, как мы знаем, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений (по теореме Пифагора для прямоугольника). Оказывается, что аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. (Используя рисунок 349, провести доказательство этого свойства. рисунок 349 заранее начертить на доске.)

Доказательство записывать на доске и в тетрадях:

АС₁² = АС² + СС₁²;

АС² = АВ² + АD²;

СС₁ = ВВ₁ = АА₁,

следовательно, АС₁² = АВ² + АD² + АА₁².

7. Еще одно свойство прямоугольного параллелепипеда. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его измерений. Аналогично объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Кавальери (прочитать доказательство по учебнику на с. 317–319, используя рисунок 350).

8. В прямоугольном параллелепипеде с измерениями a, b, c, изображенном на рисунке учебника (рис. 350, б), площадь S основания равна ас, а высота h равна боковому ребру: h = b.

Поэтому формулу V = a ∙ b ∙ c можно записать в виде

,

то есть объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

III. Выполнение упражнений и решение задач.

1. Решить задачу № 1193 (б; в).

Задачу № 1193 (в) решить на доске и в тетрадях.

Решение

a = ; b = 7; с = 9. Найти диагональ d.

d² = a² + b² + c²

(свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда).

d² = ( )² + 7² + 9² = 39 + 49 + 81 = 169;

d = = 13.

Ответ: 13.

Задачу № 1193 (б) учащиеся решают самостоятельно.

Решение

а = 8; b = 9; с = 12. Найти d.

d² = a² + b² + c² = 8² + 9² + 12² = 64 + 81 + 144 = 289;

d₁ = = 17;

d₂ = – = –17 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 17.

2. Решить задачу № 1194 на доске и в тетрадях.

Решение

Ребро куба равно а. Найти диагональ этого куба.

d² = a² + a² + a² = 3a²;

d = = a.

Ответ: a.

3. Решить задачу № 1195.

Решение

1) V = V₁ + V₂.

2) V₁ – V₁ = V₁; тогда V = V₁ + V₂.

4. Объем куба равен кубу его стороны, то есть

.

Найдите объем куба со стороной, равной 3 см; 2 дм.

5. Разобрать по учебнику решение задачи № 1198 (с. 323, используя рис. 357).

Записать в тетрадях: «Объем призмы равен произведению площади основания на высоту».

.

6. Решить задачу № 1197.

Учитель объясняет решение задачи.

Решение

АС₁ = 13 см; ВD = 12 см; ВС₁ = 11 см.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда x, y, z.

Применим теорему Пифагора:

1) Для Δ АВD имеем

х² + y² = 12². (1)

2) Для Δ ВСС₁ имеем

y² + z² = 11². (2)

3) По свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда имеем

х² + у² + z² = 13². (3)

4) Подставим в равенство (3) равенство (1), получим 12² + z² = 13²,

отсюда z² = 13² – 12²,

тогда z = = 5;

z = 5.

5) Подставим в равенство (2) значение z = 5, найдем

y² + 5² = 11²;

_у² <sub>= 121 – 25 = 96;

у = ;

у = .</sub>

6) Подставим значение y² = 96 в равенство (1), получим

х² + 96 = 144;

х² = 144 – 96 = 48;

;

.

7) Найдем объем

V = x ∙ y ∙ z = 4 ∙ 4 ∙ 5 = 80 =
= 80 = 80 = 240 (см³).

Ответ: 240 см³.