г9 класс поурочные. Решение задач Цели
 Скачать 1.53 Mb.
|
|
II. Изучение нового материала. Учитель демонстрирует модели конуса, лейку в виде конуса; можно свернуть из бумаги кулек в виде конуса. 1. Возьмем прямоугольный треугольник АВС и будем вращать его вокруг катета АВ (рис. 362, с. 328 учебника). В результате получится тело, которое называется конусом Учитель показывает на доске изображение конуса, учащиеся рисуют конус в тетради. 2. Прямая АВ называется осью конуса, а отрезок АВ – его высотой. При вращении катета ВС образуется круг, он называется основанием конуса. При вращении гипотенузы АС образуется поверхность, состоящая из отрезков с общим концом А (рис. 362). Ее называют конической поверхностью или боковой поверхностью конуса, а отрезки, из которых она составлена, – образующими конуса. Таким образом, конус – это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью. 3. Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать (см. задачу № 1219), что объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. , где r – радиус основания, h – его высота. 4. Ввести понятие развертки боковой поверхности конуса (рис. 363 а, б). Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса, то есть равен l, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то есть равна 2πr. 5. Площадь Sбок боковой поверхности конуса равна площади ее развертки, то есть , где α – градусная мера дуги сектора (рис. 363, б). Длина дуги окружности с градусной мерой и радиусом l равна . С другой стороны, длина дуги равна 2πr, то есть = 2πr, поэтому Sбок = = 2πr ∙ = πrl. Итак, площадь боковой поверхности конуса с образующей l и радиусом основания r выражается формулой . III. Выполнение упражнений. 1. Решить задачу № 1220 (б, в). Учащиеся решают самостоятельно, потом решение задачи проверяется. Решение б) Дано: r = 4 см; V = 48 π см3. Найти h. V = πr2h; отсюда h = = 9 (см). Ответ: 9 см. в) Дано: h = m; V = р. Найти r. V = πr2h; найдем r2 = , тогда r = . Ответ: . 2. Решить задачу № 1221 на доске и в тетрадях. Решение Sосн = Q, Sбок = P. Найти V. 1) Sосн = πr2 = Q, отсюда r = . 2) Sбок = πrl = P, отсюда l = . 3) По теореме Пифагора из Δ АВС найдем h2 = l2 – r2 = . Значит, h = . 4) Найдем объем конуса V = πr2h = Q ∙ . Ответ: . 3. Решить задачу № 1222. Решение. По условию Sполн. конуса = 45π дм2; α = 60°. Найти V. V = πr2h. Sполн. конуса = Sосн + Sбок = πr2 + ∙ α = πr2 + = πr2 + . Получили, что Sбок = , с другой стороны, Sбок = πrl, тогда приравняем эти два равенства, получим = πrl; разделим обе части на πl, получим = r, отсюда l = 6r. По условию Sполн = 45π дм2, значит, 45π = πr2 + ; 45π = πr2 + 6πr2; 45π = 7πr2, отсюда r2 = . Из Δ АВС по теореме Пифагора найдем h2 = l2 – r2 = (6r)2 – r2 = 36r2 – r2 = 35r2 = = 225. h = = 15; h = 15 дм. Найдем объем конуса (дм3). Ответ: дм3. 4. Решить задачу № 1248. Учитель объясняет решение задачи. Решение В тетрадях учащиеся записывают следующую теорему: «Объемы двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров».
= k3. Следовательно, , отсюда V = = 375 (см3). Ответ: 375 см3. 5. Решить задачу № 1249. Решение По условию h = 12 см, V = 324 π см3. Найти α дугу развертки боковой поверхности конуса. 1) V = πr2h; 324π = πr2 ∙ 12; 324 = 4r2; r2 = 81; r = 9 (см). 2) Sбок = ∙ α = πrl, отсюда, сократив обе части равенства на πl, получим = r, тогда = 9, значит, α = . 3) l2 = h2 + r2, то l = = 15 (см). 4) α = = 216°. Ответ: α = 216°. 6. Решить задачу № 1250. Решение По условию α = 120°. Радиус развертки боковой поверхности конуса равен образующей конуса, то есть l = r1 = 9 см, где r1 – радиус сектора. 1) Sбок = ∙ α = ∙ 120° = 27π (см2). 2) С другой стороны, Sбок = πrl, значит, 27π = π ∙ r ∙ 9, отсюда r = 3 см (это радиус конуса). 3) Sосн = πr2 = π ∙ 32 = 9π (см2). 4) h2 = l2 – r2, то h = = = = = 6 (см). Ответ: 9π см2; 6 см. IV. Итоги урока. Домашнее задание: изучить материал пункта 126; ответить на вопросы 19–22 (с. 336 учебника); решить задачу № 1220 (а); записать в тетрадь решение задачи № 1219 (с. 332 –333 учебника). Урок 7 Сфера и шар Цели: ввести понятие сферы, центра сферы, радиуса сферы, диаметра; дать определение шара; научить учащихся изображать шар; рассмотреть доказательство теоремы об объеме шара и площади сферы; развивать умение решать задачи. Ход урока I. Проверочная работа (10 мин). Учащиеся на отдельных листочках отвечают на вопросы, выполняют построения, а затем сдают учителю работы на проверку. Вариант 1 1. Объясните, какое тело называется цилиндром; что такое ось, высота, основание, радиус, боковая поверхность, образующие цилиндра. Выполните построение цилиндра. 2. Какой формулой выражается объем цилиндра? Запишите формулу. 3. Объясните, как получается и что представляет собой развертка боковой поверхности цилиндра. 4. Запишите формулу площади боковой поверхности цилиндра. Вариант 2 1. Объясните, какое тело называется конусом; что такое ось, высота, основание, боковая поверхность, образующие конуса. Выполните построение конуса. 2. Какой формулой выражается объем конуса? Запишите формулу. 3. Объясните, как получается и что представляет собой развертка боковой поверхности конуса. 4. Запишите формулу площади боковой поверхности конуса. II. Работа с учебником. 1. Учащиеся самостоятельно изучают материал пункта 127 «Сфера и шар» (с. 330–331). затем учитель показывает на доске изображение сферы и шара (рис. 364, 365), а учащиеся в тетрадях выполняют построение сферы и шара. 2. В тетрадях учащиеся записывают: а) Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы. б) Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. в) Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. г) Объем шара радиуса R равен πR3. д) Площадь сферы радиуса R равна 4πR2. III. Закрепление изученного материала. 1. Решить задачу № 1226 (б; в). Учащиеся решают самостоятельно. Решение б) Дано: V = 113,04 см3. Найти R и S. V = πR3, отсюда, R3 = , значит, R = . R = ≈ ≈ ≈ 3 (см). R ≈ 3 см. S = 4πR2 ≈ 4π ∙ 32 ≈ 36π (см2). S ≈ 36π см2. Ответ: ≈ 3 см; ≈ 36π см2. в) Дано: S = 64π (см2). Найти R и V. S = 4πR2, отсюда R2 = , то R = ; R = = 4 (см); R = 4 см. (см3). Ответ: 4 см; π см3. 2. Решить задачу № 1227 на доске и в тетрадях. Решение Диаметр Луны составляет (приближенно) четвертую часть диаметра Земли, то есть dЗемли = 4dЛуны, тогда радиус земли в 4 раза больше радиуса луны, то есть R1 = 4R2. Найдем объем луны . Найдем объем земли . Значит, объем земли в 64 раза больше объема луны. Ответ: в 64 раза. 3. Решить задачу № 1229. Учащиеся решают самостоятельно. затем проверяется решение задачи. Решение По условию R = 10 см. По формуле S = 4πR2 найдем площадь сферы (покрышки футбольного мяча). S = 4π ∙ 102 = 400π (см2) ≈ 400 ∙ 3,14 ≈ 1256 (см2). 8 % = 0,08 от 1256 равно 1256 ∙ 0,08 = 100,48 (см2). На покрышку футбольного мяча необходимо кожи: 1256 + 100,48 = 1356,48 ≈ 1357. Ответ: ≈ 1357 см2. 4. Задача № 1228 практического содержания.
Положим две ложки мороженого в виде полушарий, тогда вместе они составляют шар диаметром 5 см, то есть радиусом 2,5 сантиметра. Найдем объем шара (объем мороженого): Vшара = πR3 = π ∙ (2,5)3 = π ∙ 6,25 ∙ 2,5 = (4π ∙ 6,25) ∙ = = 25π ∙ ≈ 25π ∙ 0,8 (см3). Значение выражения 25π ∙ 0,8 меньше значения выражения 25π. Поэтому объем шара (объем мороженого) меньше объема конуса (объема стаканчика для мороженого). Значит, мороженое, если оно растает, не переполнит стаканчик. Ответ: нет. 5. Решить задачу № 1231 на доске и в тетрадях. Решение Отношение объемов двух шаров равно кубу коэффициента подобия, так как любые шары – это подобные тела. = k3. По условию = 8 = 23, отсюда k = 2. Аналогично теореме «отношение площадей двух подобных треугольников (фигур) равно квадрату коэффициента подобия» (см. пункт 58 на с. 139 учебника) имеем, что отношение площадей поверхностей двух подобных тел равно квадрату коэффициента подобия. = k2. так как k = 2, то = 22 = 4, то есть S1 : S2 = 4 : 1. Ответ: 4 : 1. IV. Итоги урока. Домашнее задание: изучить материал пункта 127, ответить на вопросы 23–26, записать в тетради решение задач №№ 1224, 1225 (с. 333–335 учебника). Об аксиомах и планиметрии (2 часа) При завершении курса планиметрии в конце 9 класса два урока отводятся на ознакомление учащихся с аксиоматическим методом, в частности с системой аксиом, которые положены в основу изученного курса геометрии. На первом уроке желательно провести с учащимися беседу об аксиоматическом методе в геометрии. В связи с этим необходимо напомнить им некоторые факты о возникновении и развитии геометрии. Для этой беседы рекомендуется использовать приложения 1 и 3 учебника: «Об аксиомах планиметрии» и «Некоторые сведения о развитии геометрии», а также дополнительную литературу. В зависимости от уровня подготовки класса на втором уроке можно разобрать один или два примера теорем, которые в курсе были доказаны на основе наглядных представлений, и доказать их с использованием принятых в учебнике аксиом. Один из таких примеров (теорема, выражающая первый признак равенства треугольников) разобран в приложении 1 учебника. Решение задач при повторении курса геометрии необходимо сконцентрировать внимание учащихся на узловых вопросах программы. Основные факты планиметрии и применяемые в ней методы можно сгруппировать по следующим темам: 1. «Треугольник» (2 часа). 2. «Окружность» (2 часа). 3. «Четырехугольники, многоугольники» (2 часа). 4. «Векторы, метод координат, движения» (2 часа). Рассмотрение этих вопросов может включать обобщение и систематизацию сведений об основных свойствах геометрических фигур, доказательство отдельных теорем, решение комплексных задач. При повторении полезно обращать внимание учащихся на различные методы геометрических доказательств. В зависимости от подготовки класса повторение можно проводить по всем или отдельным вопросам рассматриваемой темы. Для организации итогового повторения можно воспользоваться подбором задач по указанным выше темам Треугольник Основные вопросы программы: равенство и подобие треугольников, сумма углов треугольника, равнобедренный треугольник, прямоугольный треугольник, площадь треугольника. Задачи 1. В треугольниках АВС и DЕK АВ = DЕ, АС = DK, ВР = ЕМ, где Р и М – середины сторон АС и DK. 1) Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику DЕK. 2) Найдите SАВС, если ЕМ = 3 см, DK = 4 см, ЕМK = 135°. 2. В треугольниках АВС и А1В1С1 АС = А1С1, ВС = В1С1, ВD = В1D1, где ВD и В1D1 – высоты треугольников, причем точки D и D1 лежат на отрезках АС и А1С1. 1) Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1. 2) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника В1D1С1, если известно, что ВD = 6 см, DС = 8 см. 3) Найдите угол А1С1В1, если ВD = 6 см, DС = 8 см. 3. На рисунке дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, DЕ АВ.
4. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СD к гипотенузе АВ, СD = а, АD = b. найдите: 1) ВС; 2) радиус окружности, вписанной в треугольник АВС; 3) отношение площадей треугольников АDС и АСВ. 5. В треугольнике АВС АВ = 14 см, АС = 15 см, ВС = 13 см. найдите: 1) длину меньшей высоты треугольника; 2) площадь треугольника АDС, если АD – биссектриса треугольника АВС; 3) медиану АЕ треугольника АВС. 6. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник АВС по сторонам АВ и АС и высоте, проведенной к АС. 7. Площадь треугольника АВС равна Q. Найдите площадь треугольника АОВ1, где О – точка пересечения медиан треугольника АВС, а В1 – середина стороны АС. 8. С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник АВС по основанию АС и углу В и биссектрису ВD внешнего угла этого треугольника при вершине В. |