г9 класс поурочные. Решение задач Цели
 Скачать 1.53 Mb.
|
|
окружность Основные вопросы программы: окружность и круг, касательная к окружности и ее свойства; окружность, описанная около треугольника; окружность, вписанная в треугольник. Задачи 1. Хорда АВ окружности радиуса 4 см видна из центра под углом 90°. Найдите: 1) хорду АВ и расстояние от центра окружности до этой хорды; 2) углы треугольника АВС, где С – точка, расположенная на большой дуге АВ окружности так, что АС : СВ = 5 : 4; 3) хорду ВС. 2. Две взаимно перпендикулярные хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке K, причем АK = 6 см, ВK = 32 см, KD = 24 см. Найдите: 1) хорды ВD и СD; 2) расстояние от точки А до прямой ВD; 3) радиус данной окружности. 3. Треугольник АВС с углом В, равным 135°, вписан в окружность с центром О и радиусом R = 10 см. Найдите: 1) сторону АВ; 2) сторону АВ и SАВС, если известно, что угол АСВ равен 30°. 4. Точки М, D и K лежат на окружности, угол DМK равен 45°, хорда DK = 12 см. Найдите: 1) радиус данной окружности; 2) угол МКD, если известно, что DМ = 6 см. 5. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, равен 3 см, KВ = 4 см, где K – точка касания окружности с боковой стороной. Найдите: 1) сторону АС; 2) угол ВАС; 3) радиус окружности, описанной около треугольника АВС. 6. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность, касающаяся сторон АВ и ВС в точках М и Н. 1) Докажите, что треугольник МВН треугольнику АВС. 2) Найдите угол ВАС и радиус окружности, если АВ = 2 м, МН = 1 м. Четырехугольники. Многоугольники Основные вопросы программы: параллелограмм и его свойства; признаки параллелограмма; прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства; трапеция, многоугольник, правильные многоугольники. Задачи 1. На рисунке 1 АЕFС – прямоугольник; АС = 10 см, АЕ = 3 см, ВМ = АМ. 1) Докажите, что МN – средняя линия треугольника АВС. 2) Найдите SАМNС. 3) Найдите SАВС. Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 2. В параллелограмме АВСD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е; АВ = а; АD = b. Найдите: 1) отрезки ВЕ и ЕС; 2) отрезки ВK и KD и SАВЕ, если K – точка пересечения АЕ и ВD, а угол А равен 60°. 3. На рисунке 2 АВСD – параллелограмм, угол 1 равен углу 2. 1) Докажите, что четырехугольник ВFDK – параллелограмм, и найдите его площадь и периметр, если KF = 10 см, ВD = 6 см, KОD = 150°. 2) Каким условиям должны удовлетворять отрезки KF и ВD, чтобы параллелограмм ВFDK был прямоугольником (ромбом, квадратом)? 4. Меньшая диагональ параллелограмма перпендикулярна к его стороне, а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большую сторону на отрезки, равные 9 см и 16 см. найдите: 1) стороны и высоту параллелограмма, проведенную из вершины тупого угла; 2) диагонали параллелограмма; 3) площадь параллелограмма. 5. В параллелограмме АВСD проведена биссектриса АK угла А, точка K делит сторону ВС на отрезки ВK = 4 см и KС = 2 см. Расстояние между параллельными прямыми АD и ВС равно 2 см. Найдите: 1) углы параллелограмма; 2) площадь треугольника АВС; 3) радиус окружности, описанной около треугольника DКС. 6. На рисунке 3 точки М, N, Р и Q – середины сторон четырехугольника АВСD, АС = 10 см, ВD = 18 см. 1) Докажите, что MNPQ – параллелограмм, и найдите его периметр. 2) Найдите площади четырехугольников АВСD и MNPQ, если угол ВОС равен 60°. 7. В равнобедренную трапецию, основания которой равны 2 см и 8 см, вписана окружность. Найдите: 1) боковую сторону трапеции; 2) радиус вписанной окружности; 3) площадь трапеции. 8. В равнобедренной трапеции с основаниями АD и ВС угол D равен 60°, ВС = 12 см, а угол ВСА равен 30°. 1) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. 2) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АСD. 3) Найдите площадь трапеции АВСD. 9. В ромб, сторона которого равна диагонали и равна а, вписана окружность, а в эту окружность вписан правильный треугольник. Найдите: 1) радиус окружности; 2) сторону треугольника; 3) площади ромба, круга и правильного треугольника. 10. Каждый угол правильного п-угольника А1А2… Ап равен 150°. 1) Найдите число сторон этого многоугольника. 2) Найдите А2А3А10. 3) Докажите, что треугольник А1А3В подобен треугольнику А6А10В, где В – точка пересечения диагоналей А1А6 и А3А10 этого многоугольника. 11. Внешний угол правильного п-угольника А1А2… Ап в три раза меньше угла этого многоугольника. 1) Найдите число сторон этого многоугольника. 2) Найдите А3А1А6. 3) Докажите, что четырехугольник А1А3А4А8 – равнобедренная трапеция. Векторы. метод координат. движения Основные вопросы программы: вектор, длина вектора, сложение векторов и его свойства, умножение вектора на число и его свойства, коллинеарные векторы, прямоугольные координаты точек на плоскости, формула расстояния между двумя точками плоскости с заданными координатами, координаты середины отрезка, уравнения окружности и прямой, применение векторов и метода координат к доказательству теорем и решению задач. Движения. Задачи 1. Четырехугольник АВСD задан координатами своих вершин: А (–3; –2), В (–1; 2), С (2; 2), D (4; –2). 1) Найдите координаты середин сторон этого четырехугольника. 2) Докажите, что середины сторон четырехугольника АВСD являются вершинами ромба, и найдите площадь этого ромба. 2. Дан четырехугольник АВСD. 1) Определите вид четырехугольника АВСD, если , и выразите вектор через векторы и . 2) Выразите векторы через векторы и , если М, N, Р и Q – середины сторон АВ, ВС, СD и АD. 3) Определите вид четырехугольника МNPQ. 3. Дан правильный шестиугольник АВСDЕF со стороной а. Найдите скалярное произведение векторов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 4. Найдите косинусы углов треугольника АВС, если А (1; 3), В (8; 2), С (5; –1). 5. В параллелограмме АВСD диагональ ВD равна стороне ВС, точка М – середина стороны ВС, отрезок DМ перпендикулярен к диагонали АС. Найдите углы параллелограмма. 6. Две окружности радиуса r с центрами О1 и О2 касаются друг друга в точке М. На первой окружности отмечена точка А, а на второй – точка В так, что хорды АМ и ВМ взаимно перпендикулярны. Докажите, что: 1) при параллельном переносе на вектор отрезок АС отображается на отрезок ВМ; 2) АВ = 2r. 7. На сторонах правильного треугольника построены квадраты. Докажите, что центры этих квадратов являются вершинами правильного треугольника. Литература 1. Геометрия. 7–9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян [и др.]. – М. : Просвещение, 2009. 2. Бурмистрова, Н. В. Проверочные работы с элементами тестирования по геометрии / Н. В. Бурмистрова, Н. Г. Старостенкова. – М. : Лицей, 1998. 3. Саврасова, С. М. Упражнения по планиметрии на готовых чертежах / С. М. Саврасова, Г. А. Ястребинецкий. – М. : Просвещение, 1987. |