г9 класс поурочные. Решение задач Цели
 Скачать 1.53 Mb.
|
|
III. Закрепление изученного материала (решение задач). 1. Решить задачу № 1016 на доске и в тетрадях. Решение sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = ; cos 120° = cos (180° – 60°) = –cos 60° = ; tg 120° = ; sin 135° = sin (180° – 45°) = sin 45° = ; cos 135° = cos (180° – 45°) = –cos 45° = ; tg 135° = = –1. 2. Решить задачу № 1018 (в). Решение ОА = 5, α = 150°; точка А (х; у) имеет координаты x = OA cos α = 5 ∙ cos 150° = 5 ∙ cos (180° – 30°) = –5 ∙ cos 30° = ; y = OA sin = 5 ∙ sin 150° = 5 ∙ sin (180° – 30°) = 5 ∙ sin 30° = = 2,5. A . Ответ: x = ; y = 2,5. 3. Решить задачу № 1019 (в). Решение A ( ; 1); x = , y = 1. Решим сначала задачу в общем виде. Если известны координаты х и у точки А и х 0, то из равенств у = ОА ∙ sin , х = ОА ∙ cos , разделив первое из них почленно на второе, получаем , то есть = tg , а из этого равенства можно с помощью таблиц или микрокалькулятора найти значение . x = ОАcosα , y = OA sin α = ОА cos α, 1 = ОАcos α , тогда tg α = ; tg 30° = , а так как – < 0, то угол расположен во II четверти, значит, α– тупойугол. Находим его: α = 180° – 30° = 150°. Ответ: 150°. IV. Итоги урока. Задание на дом: изучить материал пунктов 93–95; повторить материал пунктов 52, 66 и 67; решить задачи №№ 1017 (в), 1018 (б), 1019 (г). Урок 3 Решение задач Цели: закрепить знания учащихся в ходе решения задач; развивать умения и навыки при решении задач. Ход урока I. Фронтальное повторение теоретического материала. Использовать настенную таблицу «Тригонометрические функции». 1. Объясните, что такое синус и косинус угла αиз промежутка 0°≤ α ≤ 180°. 2. Что называется тангенсом угла α? для какого значения α тангенс не определен и почему? 3. Записать основное тригонометрическое тождество. 4. Написать формулы приведения. 5. Написать формулы, выражающие координаты точки А с неотрицательной ординатой через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью ОХ. II. Решение задач. 1. Решить задачу 1. Найти tg , если: а) cos α = ; б) sin α = 1. 2. Решить задачу 2. Постройте β, если: а) cos β = ; б) sin β = . 3. Решить задачу № 1018 (г). решение ОА = 1; α = 180°; х = ОА cos α; х = 1 · cos 180° = –1; х = –1 y = ОА sin α = 1 · sin 180° = 1 · 0 = 0; у = 0. Ответ: х = –1; у = 0. III. Самостоятельная работа контролирующего характера. Вариант I Решить задачи №№ 1015 (а), 1017 (б), 1018 (а), 1019 (а). Вариант II Решить задачи №№ 1015 (в), 1017 (а), 1018 (д), 1019 (б). IV. Итоги урока. Домашнее задание: повторить материал пунктов 93–95; повторить материал п. 52 «Площадь треугольника»; решить задачи №№ 468, 471, 469. Урок 4 Теорема о площади треугольника. Теорема синусов Цели: доказать теорему о площади треугольника и теорему синусов; показать применение этих теорем при решении задач. Ход урока I. Проверка опорных знаний учащихся. Провести математический диктант (10 мин). Вариант I 1. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 7 см, а высота равна 4 см. 2. Найдите синус угла, если его косинус равен . 3. Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,3. 4. Начертите треугольник АВС с тупым углом С. Проведите высоту треугольника из вершины В. 5. Луч ОС образует с положительной полуосью абсцисс угол 60°. Найдите координаты точки С, если ОС = 6 дм. 6. Определите, каким – остроугольным, прямоугольным или тупоугольным – является треугольник, два угла которого равны 43° и 48°. 7. Точка С единичной полуокружности имеет координаты . Найдите угол, который образует луч ОС с положительной полуосью ОХ. Вариант II 1. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 10 дм, а высота равна 5 дм. 2. Найдите косинус угла, если его синус равен . 3. Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,7. 4. Начертите треугольник СDЕ с тупым углом Е. Проведите высоту треугольника из вершины С. 5. Луч ОВ образует с положительной полуосью абсцисс угол 30°. Найдите координаты точки В, если ОВ = 8 дм. 6. Определите, каким – остроугольным, прямоугольным или тупоугольным – является треугольник, два угла которого равны 35° и 56°. 7. Точка А единичной полуокружности имеет координаты . найдите угол, который образует луч ОА с положительной полуосью ОХ. II. Объяснение нового материала. 1. Доказательство теоремы о площади треугольника можно организовать в форме беседы по вопросам: 1) чему равна площадь любого треугольника? 2) какие формулы применяются для вычисления координат точки? 3) По рисунку 292 учебника провести доказательство теоремы о площади треугольника. 2. Устно решить задачу: найти площадь треугольника АВС, если АВ = 12 см, АС = 8 см, А = 30°. 3. Доказать теорему синусов, используя теорему о площади треугольника. III. Закрепление изученного материала (решение задач). 1. Решить задачу № 1020 (б) на доске и в тетрадях. Решение S = АВ · ВС sin B = ∙ 18 ∙ 3 sin 45° = 9 ∙ 3 ∙ = 27 (cм2). Ответ: 27 cм2. 2. Решить задачу № 1022. Решение S = 60 см2; S = АВ· AС sin A; 60 = AB · 15 sin 30°; 60 = АВ · ; АВ = 60 : = 16 (см). Ответ: 16 см. 3. Решить задачу № 1026. Решение Используем теорему синусов: ; B = 180° – (60° + 75°) = 45°; ; AB = ≈ 15 (см). SΔABC = АC · AB sin A = · 12· 15 sin 75° ≈ 87 (см2). Ответ: АВ ≈ 15 см; SАВС = 87 см2. IV. Итоги урока. Домашнее задание: изучить материал пунктов 96 и 97; повторить материал п. 89; решить задачи №№ 1020 (а, в), 1023. Урок 5 Теорема косинусов Цели: доказать теорему косинусов и научить учащихся применять ее при решении задач. Ход урока I. Проверка домашнего задания. 1. Сформулировать и доказать теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними). 2. Сформулировать и доказать теорему синусов. 3. Проверить решение задачи № 1023. II. Изучение нового материала. 1. Записать формулу расстояния между двумя точками: точки М1 (х1; у1), М2 (х2; у2), d = М1М2 = . 2. Доказать теорему косинусов, используя рисунок 293 учебника. 3. Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то cos А = = cos 90° = 0 и по формуле а2 = b2 + с2 – 2bс ∙ cos А получаем а2 = b2 + с2, то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 4. Обсудить с учащимися, какие три элемента треугольника нужно знать, чтобы вычислить четвертый элемент (сторону или угол), используя: 1) теорему синусов; 2) теорему косинусов. III. Решение задач. 1. Решить задачу 1. Найдите сторону АВ треугольника АВС, если ВС = 3 см, АС = 5 см, С = 60°. Решение АВ2 = ВС2 + АС2 – 2 ∙ ВС ∙ АС ∙ cos С = 32 + 52 – 2 ∙ 3 ∙ 5 cos 60° = 9 + + 25 – 15 = 19; АВ = см. Ответ: см. 2. Решить задачу 2. Найдите сторону b треугольника АВС, если а = 4, с = и В = = 135°. Решение По теореме косинусов находим b: b = = = ≈ 5,7. Ответ: ≈ 5,7. 3. Решить задачу 3. Найдите угол А треугольника АВС, если АВ = = АС = 1 м, ВС = м. Решение Пользуясь теоремой косинусов, получаем: а2 = b2 + с2 – 2bс ∙ cos А; cos А = ; АС = b = 1 м; АВ = с = 1 м; ВС = а = м. cos А = ; cos А = , тогда А = 120°. Ответ: 120°. 4. Решить задачу № 1031. Решение а) а = 5; b = 4; с = 4. Найдем cos А = . Так как > 0, но меньше 1, то самый большой угол А в треугольнике будет острым. Следовательно, треугольник является остроугольным. Ответ: остроугольный. б) а = 17; b = 8; с = 15. cos А = = 0; сos А = 0, значит, А = 90°. Ответ: прямоугольный. в) а = 9; b = 5; с = 6. cos А = . Так как –1 < < 0, то А – тупой. Ответ: тупоугольный треугольник. IV. итоги урока. Задание на дом: выучить материал пунктов 96–98; решить задачи №№ 1027, 1032. Урок 6 Решение треугольников Цели: познакомить учащихся с методами решения треугольников; закрепить знание учащимися теорем синусов и косинусов, научить применять эти теоремы в ходе решения задач. Ход урока I. Проверка изученного материала. Учащиеся на отдельных листочках доказывают изученные теоремы и сдают учителю. Вариант I Сформулируйте и докажите теорему косинусов. Вариант II Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника. Вариант III Сформулируйте и докажите теорему синусов. II. Изучение нового материала. 1. Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (то есть трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник. 2. При решении треугольников используют теоремы синусов и косинусов, причем при вычислении углов треугольника предпочтительнее использовать теорему косинусов, а не теорему синусов. Например, зная три стороны треугольника, для вычисления первого угла применяем теорему косинусов, а для вычисления второго угла можно использовать как ту, так и другую теоремы. Но поскольку синус угла равен синусу смежного с ним угла, то нахождение синуса угла еще не позволяет определить сам угол – он может быть острым или тупым. Если же вычислить косинус угла, то по его знаку и величине угол определяется однозначно. 3. Рассмотрим три задачи на решение треугольника: 1) решение треугольника по двум сторонам и углу между ними; 2) решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам; 3) решение треугольника по трем сторонам. При этом будем пользоваться следующими обозначениями для сторон треугольника АВС: АВ = с; ВС = а; СА = b. 4. В тетрадях учащиеся оформляют таблицу-памятку:
III. Решение задач. 1. По рисунку 294 учащиеся самостоятельно разбирают решение примера на странице 259 учебника. 2. Решить задачу № 1025 (б, в, г, ж, и) на доске и в тетрадях, используя таблицы Брадиса и микрокалькуляторы. 3. Решить задачу № 1021 на доске и в тетрадях. 4. Совместно с учащимися разобрать и зафиксировать в тетрадях решение задачи № 1033 по рисунку 297. 5. Решить задачи № 1060 (в), 1061 (в) и 1062. IV. Итог урока. Задание на дом: изучить материалы пунктов 96–99; решить задачи №№ 1025 (а, д, е, з), 1060 (г), 1028. Урок 7 Измерительные работы Цель: познакомить учащихся с измерительными работами на местности, основанными на использовании теорем синусов и косинусов. Ход урока I. Проверка опорных знаний учащихся. Учащиеся отвечают на вопросы 2–10 на странице 271 учебника. II. работа по учебнику. 1. Тригонометрические формулы используются при проведении различных измерительных работ на местности. В 8 классе учащиеся определяли высоту предмета и расстояние до недоступной точки на основе теоремы подобия треугольников. В 9 классе эти же задачи решают с применением тригонометрических функций. 2. Учащиеся самостоятельно читают материал пункта 100 учебника. 3. Обсуждение прочитанного материала, используются рисунки 295 и 296 учебника. III. Решение задач. 1. Решить задачу № 1036 по рисунку 298. 2. Решить задачу № 1037 (использовать рисунок 296 учебника). 3. Решить задачу № 1038 по рисунку 299. IV. Итоги урока. Домашнее задание: повторить материал пунктов 93–100; решить задачи № 1034, 1064. Урок 8 Решение задач Цели: систематизировать, повторить и обобщить изученный материал; научить применять полученные знания к решению задач. Ход урока I. Повторение и обобщение изученного материала. 1. Сформулировать теорему о площади треугольника. 2. Сформулировать теорему синусов. 3. Сформулировать теорему косинусов. 4. Объяснить применение теоремы косинусов при решении треугольников. 5. В какой задаче на решение треугольников можно применять только теорему синусов? 6. Рассказать решение задачи по нахождению высоты предмета и расстояния до недоступной точки с помощью тригонометрических функций. 7. Формулы приведения (записать на доске). II. Решение задач. 1. Решить задачу № 1059 на доске и в тетрадях. Пусть АВСD – выпуклый четырехугольник, О – точка пересечения его диагоналей, AOB = . Тогда SАВСD = SАОВ + SВОС + SСОD + SАОD. Найдем площадь каждого из четырех треугольников, пользуясь теоремой о площади треугольника. Учитывая, что sin (180° – ) = sin и АС = = АО + ОС, ВD = ВО + ОD, получаем: SАВСD = AC ∙ BD ∙ sin . 2. Решить задачу № 1063. Решение SАВС = SАВD + SАСDили воспользуемся формулой площади треугольника: bc ∙ sin = xc ∙ sin + xb ∙ sin , где x = AD. Отсюда, учитывая, что sin = 2sin ∙ cos , находим х: х = . |