г9 класс поурочные. Решение задач Цели

• Название: Решение задач Цели
• Дата: 03.06.2022
• Размер: 1.53 Mb.
• Имя файла: г9 класс поурочные .doc
• Тип: Урок; #567420
• страница: 11 из 13

IV. Итоги урока.

1. Объясните, как измеряются объемы тел.

2. Сформулируйте основные свойства объемов.

3. Объясните, в чем заключается принцип Кавальери.

4. Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда?

5. Сформулируйте свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда.

6. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда?

Домашнее задание: изучить материал пунктов 122–123; сделать чертеж (рис. 357) и записать в тетрадях решение задач №№ 1193 (а), 1196, 1198.
Урок 4
Пирамида

Цели: познакомить учащихся с понятием пирамиды (ее основания, боковые грани, вершины пирамиды, боковые ребера пирамиды); дать определение правильной пирамиды, апофемы пирамиды; вывести формулу объема пирамиды; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Что называется призмой? Прямой призмой? Правильной?

2. Объясните, что такое параллелепипед? Дайте определение прямого параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда.

3. Сформулируйте свойство четырех диагоналей параллеле-
пипеда.

4. Сформулируйте основные свойства объемов.

5. Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда?

6. Сформулируйте свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда.

7. Чему равен объем куба? Объем прямоугольного параллелепипеда?

8. Какой формулой выражается объем призмы?

9. Проверить решение домашней задачи № 1196.

Решение

a = 8 см, b = 12 см, с = 18 см.

V = a ∙ b ∙ c = 8 ∙ 12 ∙ 18 (см³).

По условию объем куба равен объему прямоугольного параллелепипеда. Значит, V_куба = a³ = 8 ∙ 12 ∙ 18 (см³). Отсюда ребро куба равно

a = = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12 (см);

a = 12 см.

Ответ: 12 см.

II. Работа учащихся по учебнику.

1. Учащиеся самостоятельно изучают материал пункта 124 «Пирамида» по учебнику (с. 319–321).

2. Затем учитель на моделях различных пирамид объясняет учащимся, что такое пирамида, основание пирамиды, боковые грани пирамиды, вершина пирамиды, боковые ребра пирамиды.

3. Треугольную пирамиду часто называют тетраэдром.

4. На доске и в тетрадях строятся изображения пирамиды; проводится высота пирамиды и апофема (рис. 353).

5. В тетрадях учащиеся записывают определения:

а) Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью ее основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.

б) Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

в) Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

6. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту .

III. Выполнение упражнений. Решение задач.

1. Решить устно задачу № 1201, используя модель тетраэдра.

Ответ: нет.

2. Решить задачу № 1202 (а) на доске и в тетрадях.

Решение

Прямая MN принадлежит плоскости ВСD, которая пересекается с плоскостью АВС по ВС. Продолжим ВС до пересечения с прямой MN в точке х. Точка х принадлежит и прямой MN, и плоскости АВС, так как точка х лежит на прямой ВС, принадлежащей плоскости АВС.

3. Решить задачу № 1203 самостоятельно.

Затем по готовому чертежу на доске проверяется построение сечения.

Решение

По условию МА = NА. Проводим отрезок AL, так как точки L и A принадлежат одной плоскости MNL. Проводим отрезок АK, так как точки K и А принадлежат одной плоскости MKN. Искомое сечение – треугольник AKL.

4. Решить задачу № 1204.

Решение объясняет учитель, привлекая к обсуждению построения сечения учащихся.

Решение

1) Проводим прямую MN, продолжаем АВ до пересечения с прямой MN в точке х.

2) Точка х принадлежит плоскости АВС, и точка K принадлежит плоскости АВС, тогда проводим прямую хK, пересекающую прямые ВС и АС в точке Р и Н соответственно.

3) Проводим отрезки МР, NН и РН.

Четырехугольник РМNН – искомое сечение.

5. Решить задачу № 1206.

Решение

Докажем, что

,

где Р – периметр основания; l – апофема правильной пирамиды.

Найдем сумму площадей боковых граней правильной пирамиды. Так как боковыми гранями правильной пирамиды являются равные равнобедренные треугольники и площадь треугольника равна a ∙ l, то сумма площадей всех треугольников равна

,

где а – сторона основания правильной пирамиды, n – количество сторон основания, l – апофема.

Значит, площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна

S = Pl.

6. Решить задачу № 1241.

Дано: АВСDK – пирамида; АВСD – параллелограмм; АD = 5 м; DС = 4 м; ВD = 3 м; KО = h = 2 м. Найти: .

Решение

1) Δ АВD = Δ СDВ (III признак, по трем сторонам). По формуле Герона найдем площадь треугольника:

,

где p = – полупериметр.

p = = 6 (м);

S = = 6 (м²).

S_АВD = S_СDВ = 6 м², тогда площадь основания равна

S_осн = 2 ∙ 6 = 12 (м²).

Другой способ: треугольник со сторонами 3 м, 4 м и 5 м будет прямоугольным, тогда

S_АВD = ∙ 3 ∙ 4 = 6 (м²),

то S_осн = 2 ∙ 6 = 12 (м²).

2) KО ОD; ВО = ОD = 3 : 2 = 1,5 (м).

По теореме Пифагора из Δ KОD найдем KD : KD² = KО² + ОD²

KD = = 2,5 (м).

Значит, KD = KВ = 2,5 м.

3) Воспользуемся выводом задачи 953 (с. 240 учебника): «Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей» – и найдем диагональ АС параллелограмма АВСD:

АС² + ВD² = 2АD²+ 2DС²;

АС² + 3² = 2 ∙ 5² + 2 ∙ 4²;

АС² + 9 = 50 + 32;

АС² = 73;

АС = (м).

4) AO = OC = (м), по теореме Пифагора из Δ АОK найдем АK:

AK² = AO² + KO²;

AK = (м);

AK = KC = м.

5) По условию KО ОD и ОD DС, значит, KD DС (если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то прямая перпендикулярна и наклонной). Значит, Δ KDС – прямоугольный.

S_KDС = KD ∙ CD = ∙ 2,5 ∙ 4 = 5 (м²).

Δ KDС = Δ KВА (по двум катетам), тогда S_КDС = S_КВА = 5 м².

6) По теореме Пифагора можно было бы из Δ KDС найти KС (другой способ):

KC = =
= (м).

7) По формуле Герона найдем площадь Δ АKD:

p = .

S = =

= =

= =

= =

= (см²).

8) S_АKD = S_ВKС = см², так как Δ АKD = Δ ВKС (по трем сторонам).

9) = S_АBCD + 2S_KDC + 2S_АKD = 12 + 10 + 2 = 22 + 2 (см²).

Ответ: 22 + 2 (см²).

7. Решить задачу № 1242.

Решение

V = S_осн ∙ h;

площадь правильного (равностороннего) треугольника находится по формуле

,

где а – сторона треугольника (задача 489 на с. 132 учебника).

а = 13 см, тогда

(см²).

h = 12 см. Найдем объем правильной треугольной пирамиды:

V = ∙ 12 = 169 (см³).

Ответ: 169 см³.

IV. Итоги урока. Выставление оценок.

Домашнее задание: изучить материал пункта 124; повторить пункты 118–123; ответить на вопросы 1–14 на с. 335–336 учебника; решить задачи № 1202 (б), № 1211 (а), № 1207.

Урок 5
Цилиндр

Цели: ввести понятие цилиндра (ось цилиндра, его высота, основания цилиндра); ввести понятие цилиндрической поверхности, образующих цилиндра; доказать теорему об объеме цилиндра и теорему о площади боковой поверхности цилиндра; научить применять эти теоремы при решении задач.

Ход урока

I. Объяснение нового материала.

1. Возьмем прямоугольник АВСD и будем вращать его вокруг одной из сторон, например, вокруг стороны АВ (рис. 360). В результате получится тело, которое называется цилиндром.

Учитель показывает модель цилиндра.

2. На доске и в тетрадях строится изображение цилиндра и его частей (рис. 360 на с. 327). Прямая АВ называется осью цилиндра, а отрезок АВ – его высотой. При вращении сторон АD и ВС образуются два равных круга – они называются основаниями цилиндра, а их радиус называется радиусом цилиндра. При вращении стороны СD образуется поверхность, состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра. Ее называют цилиндрической поверхностью или боковой поверхностью цилиндра, а отрезки, из которых она составлена, – образующими цилиндра. Таким образом, цилиндр – это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.

3. Рассмотреть решение задачи № 1213 (рис. 366, с. 331 учебника). Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать, что объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

, где S – площадь основания; h – высота цилиндра.

4. Ввести понятие развертки боковой поверхности цилиндра, используя рисунок учебника (рис. 361).

Записать в тетрадях: площадь боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки, то есть

,

где r – радиус основания цилиндра, h – высота цилиндра.

II. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1214 (б; в) на доске и в тетрадях.

б) Дано: V = 120 см³; h = 3,6 см. Найти r.

Решение

V = Sh, отсюда

S = (см²).

S_круга = πr²,

отсюда r = (см).

Ответ: см.

в) Дано: r = h; V = 8π см³. Найти h.

V = Sh = πr² ∙ h = π ∙ h² ∙ h = πh³,

тогда 8π = πh³,

отсюда h³ = 8, h = = 2.

Ответ: 2.

2. Решить задачу № 1216.

Учащиеся решают задачу самостоятельно, а затем проверяется решение.

Решение

Дано: диаметр d = 1 м; h = с (длина окружности основания). Найдите S_бок.

Длина окружности равна с = 2πr = πd; по условию h = c, тогда h = πd =
= π ∙ 1 м = π (м).

S_бок = 2πr ∙ h = πd ∙ h = π ∙ 1 ∙ π = π² (м²).

Ответ: π² м².

3. Решить задачу № 1217. Задача практического характера.

Решение

h = 4 м; d = 20 см. Найти S_бок.

S_бок = 2πrh = πdh = π ∙ 0,2 ∙ 4 = 0,8π (м²).

Найдем 2,5 % от 0,8 π².

2,5 % = 0,025; тогда 0,8π ∙ 0,025 = 0,02π (м²).

Всего пойдет жести

0,8π + 0,02π = 0,82π (м²) ≈ 0,82 ∙ 3,14 ≈ 2,58 (м²).

Ответ: ≈ 2,58 м².

4. Решить задачу № 1245.

Решение

Плотность свинца ρ = 11,4 г/см³; h = 25 м = 2500 см.

ρ = ; найдем объем свинцовой трубы:

V = S_осн ∙ h = πr²h.

Основание свинцовой трубы представляет собой кольцо. Найдем площадь кольца по формуле

,

где R₁ = + 4 = 10,5 (мм), R₂ = 6,5 мм.

S_кольца = π (10,5² – 6,5²) = π (10,5 – 6,5) (10,5 = 6,5) =

= π ∙ 4 ∙ 17 = 68π (мм²) = 0,68π (см²).

Объем свинцовой трубы равен

V = 0,68π ∙ 2500 = 1700π (см³) ≈ 5338 (см³) ≈ 5340 см³.

m = ρV = 11,4 ∙ 5340 ≈ 60,876 (кг) ≈ 61 кг.

Ответ: 61 кг.

5. Решить задачу № 1246. (Учитель объясняет решение.)

Решение

По условию задачи h > r на 12 см, тогда h = r + 12 см.

= 288π см². Найти r и h.

= 2S_осн + S_бок = 2 ∙ πr² + 2πrh =

= 2πr² + 2πr ∙ (r + 12) = 2πr² + 2πr² + 24πr = 4πr² + 24πr.

По условию S_полн = 288π (см²), тогда 4πr² + 24πr = 288π; разделим обе части равенства на 4π, получим

r² = 6r – 72 = 0.

r₁ = 6; r₂ = – 12 – не удовлетворяет условию задачи.

Значит, радиус цилиндра равен 6 см, а высота цилиндра 6 + 12 =
= 18 (см).

Ответ: 6 см; 18 см.

6. Решить задачу № 1247.

Решение По условию АВСD – квадрат; АС = d; Sквадрата = Sбок. цилиндра Найти: Sоснования.

Обозначим сторону квадрата х, тогда из Δ АDС по теореме Пифагора найдем d² = x² + x² = 2x²; x² = ,

отсюда x = . AB = AD = .

Площадь квадрата S_{квадрата} = ,

значит, S_бок = .

Мы знаем, что S_бок = 2πrh; h = AB = ;

тогда = 2πr ∙ ;

отсюда найдем r = , r = .

Площадь основания цилиндра равна

S = πr² = π ∙ .

Ответ: .

III. Итоги урока.

Ответить на вопросы:

1. Какое тело называется цилиндром? Что такое ось, высота, основания, радиус, боковая поверхность, образующие цилиндра?

2. Какой формулой выражается объем цилиндра?

3. Какой формулой выражается площадь боковой поверхности цилиндра?

Домашнее задание: изучить материал пункта 125, решить задачи № 1214 (а) и № 1244.

Урок 6
Конус

Цели: познакомить учащихся с понятием конуса, его элементами; вывести формулу, выражающую объем конуса и формулу площади боковой поверхности конуса; учить решать задачи; способствовать развитию логического мышления учащихся.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Двое учащихся решают на доске задачи № 1214 (а) и № 1244, заданные на дом.

2. С остальными учащимися проводится работа по ответам на вопросы 15–18 (с. 336 учебника).

Решение задачи № 1214 (а).

Дано: r = 2 см; h = 3 см. Найти: V.

V = Sh = πr²h = π ∙ (2 )² ∙ 3 = 24π (см³).

Ответ: см³.

Решение задачи № 1244.

Дано: d = 4 мм = 0,4 см; m = 6,8 кг; с = 2,6 г/см³.

Найти: h (длину провода).

с = ; V = ; V = ≈ 2615 (см³); r = 0,2 см.

V_цил = S_осн ∙ h = πr²h,

отсюда

h = ≈ 20820 (см) ≈ 208 м.

Ответ: ≈ 208 м.