Решить интегральное уравнение значит найти такую функцию, которая

• Название: Решить интегральное уравнение значит найти такую функцию, которая
• Дата: 18.11.2022
• Размер: 445.79 Kb.
• Имя файла: 1.docx
• Тип: Документы; #797302
• страница: 2 из 8




j1

kt, S 

ft;

j

i

j

j

j

i

j

ij
Обозначим

 S

  

n



j1

kS, S 

fS.

i
fS 

f_i,

kS, S

^  k ;



i
 

n



j1

k_ij _j 

^fi^




i 1  n,

_⁝ _

где n– число линейных алгебраических уравнений.



n

_i   _ k_ij _j 

j1

f_i ;

n
D  

1  k

• 
  k
  

21



n1
 k

 k


11

12
1  k



n2
 k

  k


2 n

1n

22
  k _.

 

nn
 1  k

D   0 : cистема имеет решение при любых f_iи имеется решение интегрального уравнения при любых f(t).
Резольвента Фредгольма

j

j
Пусть мы получили (S_j). Подставляем в исходное уравнение:

 t 

n

 _

j1

kt, S

 S 

ft.

Или иначе можно считать, что мы получили решение уравнения в следующем обобщенном виде:

 t 

_{ft  } Qt, S₁ , S₂ … S_n,   _,

n
D 

где Q- результат вычисления решения одним из методов.

b

При n:

Qt, S₁ … S_n,   

_ Dt, S,   fSdS.

a

n
При непрерывном ядре k(t,S)и свободном члене f(t):

Резольвента

D  

D .

Rt, S,   

Dt, S,  

D  ^.

Конечное решение интегрального уравнения записывается в очень компактной форме:

 t 

_b

ft   _ Rt, S,   fSdS.

a

Резольвента не зависит от свободного члена, а определяется только ядром. Резольвента используется в ситуациях, когда исследуется отклик одного и того же объекта на много различных воздействий (f(S)).
D(t, s,  )

R ;

D( )

D( ) 

1  K


21
 K

. . . .

11
. . . .

 K


1n

2 n
 K

 ( )n

K  

K

11

K

 

K

12
21 22

. . . .

. . . .

1n


K

K
2 n _

nn

nn
n            
            

n1
 K

. . . .

1  K


K

K
n1 n2

. . . .

K  

где

 ( )ⁿF( ) ,
F( ) - определитель матрицы - степенная функция с максимально

возможной степенью n. Cледовательно ее можно разложить в ряд Тейлора:

F( )  F(0) 

F' (0) _{ }

1!

F"(0) _{ 2}

2!

 ... 

F( n ) (0)


n!

 n ;

_F( 𝑙 )

dF( 𝑙 ) ( )

(0)  , при ^

d 𝑙

 0 .

При дифференцировании определителя он превращается в сумму определителей, но порядок его уменьшается на единицу.

K

K
 


 K

K

 
_ 11 12

1n 12 13

K

1

K

K

K
_ 21

22 2 n 22 23

K

 0

K

 

K



K

K

 

0

K

K

 
31 32 33 32 33

K

11



1
K   0

K

0
21

31

1n


K

K
2 n


33
K  
K  



11

K

K
21

31

12


1

0

22

K

K
K   0 
32

K
 


K
_ 11
23 _ 11

K

K

 

K

 

K
13 _ 11

K

K

 
12 _

K

K

 
32 33 31 33 21 22

K

 

K

1
_ ^{3 3 K} 1 2 <sup> 

K</sup> 1 2

.