Геометрия. Сборник задач по геометрии и алгебре. Ке мерово, 2008 г. Первое издание этого задачника вышло в 1996 году со следующей аннотацией
 Скачать 416.23 Kb.
|
|
векторным пространством? 892. Пусть V множество всех положительных функций на [a, b]. Определим сло- жение двух функций и умножение функции на число равенствами f ? g = f g, ? Ї f = f ? , f, g ? V, ? ? R. Доказать, что V с указанными операциями является векторным пространством над полем R. 893. Пусть F поле, E его подмножество, являющееся полем относительно тех же самых операций (такие подмножества поля F называют его подполями). Доказать, что F является векторным пространством над полем E. 894. Найти базис и размерность поля C над полем R. 895. Пусть m 1 , . . . , m k различные натуральные числа, каждое из которых не делит- ся на квадрат простого числа. Доказать, что числа ? m 1 , . . . , ? m k линейно независимы в пространстве R над Q. 896. Пусть r 1 , . . . , r n различные рациональные числа из интервала (0, 1). Доказать, что в пространстве R над полем Q числа 2 r 1 , . . . , 2 r n линейно независимы. 42 34. Базис векторного пространства Пусть векторы e 1 , . . . , e n и x заданы своими координатами в некотором базисе. Дока- зать, что e 1 , . . . , e n также базис пространства, и найти координаты вектора x в этом базисе: 897. e 1 = (1, 1, 1) , e 2 = (1, 1, 2) , e 3 = (1, 2, 3) , x = (6, 9, 14). 898. e 1 = (2, 1, ?3) , e 2 = (3, 2, ?5) , e 3 = (1, ?1, 1) , x = (6, 2, ?7). 899. e 1 = (1, 2, ?1, ?2) , e 2 = (2, 3, 0, ?1) , e 3 = (1, 2, 1, 4) , e 4 = (1, 3, ?1, 0) , x = (7, 14, ?1, 2) Доказать, что каждая из двух заданных систем векторов является базисом. Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму: 900. a 1 = (1, 2, 1) , a 2 = (2, 3, 3) , a 3 = (3, 8, 2) ; b 1 = (3, 5, 8) , b 2 = (5, 14, 13) , b 3 = (1, 9, 2) 901. a 1 = (1, 1, 1, 1) , a 2 = (1, 2, 1, 1) , a 3 = (1, 1, 2, 1) , a 4 = (1, 3, 2, 3) ; b 1 = (1, 0, 3, 3) , b 2 = (?2, ?3, ?5, ?4) , b 3 = (2, 2, 5, 4) , b 4 = (?2, ?3, ?4, ?4) 902. Доказать, что в пространстве R n [x] многочленов степени 6 n с вещественными коэффициентами системы 1, x, . . . , x n и 1, x?a, (x?a) 2 , . . . , (x?a) n , где a ? R, являются базисами, и найти координаты многочлена f(x) = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n в этих базисах и матрицу перехода от первого базиса ко второму. 903. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если а) поменять местами два вектора первого базиса; б) поменять местами два вектора второго базиса; в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке? Доказать, что системы векторов линейно независимы, и дополнить их до базиса про- странства строк: 904. (2, 2, 7, ?1), (3, ?1, 2, 4), (1, 1, 3, 1). 905. (2, 3, ?4, ?1), (1, ?2, 1, 3). 906. (4, 3, ?1, 1, 1), (2, 1, ?3, 2, ?5), (1, ?3, 0, 1, ?2), (1, 5, 2, ?2, 6). 907. (2, 3, 5, ?4, 1), (1, ?1, 2, 3, 5). 35. Подпространства Выяснить, является ли подпространством соответствующего векторного простран- ства каждая из следующих совокупностей векторов: 908. Векторы плоскости с началом O, концы которых лежат на одной из двух пря- мых, пересекающихся в точке O. 909. Векторы плоскости с началом O, концы которых лежат на данной прямой. 910. Векторы плоскости с началом O, концы которых не лежат на данной прямой. 911. Векторы координатной плоскости, концы которых лежат в первой четверти. 912. Векторы пространства R n , координаты которых целые числа. 913. Ограниченные последовательности комплексных чисел. 914. Последовательности вещественных чисел, имеющие предел. 915. Последовательности вещественных чисел, имеющие предел a. 916. Многочлены четной степени с коэффициентами из поля F . 917. Многочлены с коэффициентами из поля F , не содержащие четных степеней переменной x. 43 Доказать, что следующие совокупности векторов пространства F n , F поле, обра- зуют подпространства, и найти их базисы и размерности: 918. Векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты. 919. Векторы, у которых координаты с четными номерами равны 0. 920. Векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой. 921. Векторы вида (?, ?, ?, ?, . . .), где ? и ? любые элементы F . 922. Векторы, являющиеся решениями однородной системы линейных уравнений. Выяснить, какие из следующих совокупностей матриц порядка n над полем F обра- зуют подпространства в пространстве матриц M n (F ) , найти их базисы и размерности: 923. Все матрицы. 924. Симметрические матрицы. 925. Кососимметрические матрицы. 926. Невырожденные матрицы. 927. Вырожденные матрицы. 928. Матрицы со следом, равным нулю. Пусть R S пространство всех функций, определенных на множестве S и принима- ющих вещественные значения. Выяснить, какие из следующих совокупностей функций f (x) ? R S составляют подпространство: 929. Функции, принимающие значение a в данной точке s ? S. 930. Функции, принимающие значение a во всех точках некоторого подмножества T ? S 931. Функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества S. 932. Функции, имеющие предел a при x ? ? (при S = R). 933. Функции, имеющие не более конечного числа точек разрыва (при S = R). Пусть K ? пространство бесконечных последовательностей с элементами из поля K . Выяснить, какие из следующих совокупностей последовательностей составляют в K ? подпространство: 934. Последовательности, в которых лишь конечное число элементов отлично от нуля. 935. Последовательности, в которых лишь конечное число элементов равно нулю. 936. Последовательности, в которых все элементы отличны от 1. Выяснить, какие из следующих совокупностей многочленов образуют подпростран- ства в пространстве R n [x] , и найти их базисы и размерности: 937. Многочлены, имеющие данный корень ? ? R. 938. Многочлены, имеющие данный корень ? ? C\R. 939. Многочлены, имеющие данные корни ? 1 , . . . , ? k ? R 940. Многочлены, имеющие данный простой корень ? ? R. 941. Доказать, что если подпространство векторного пространства R n [x] для любого k = 0, 1, . . . , m содержит хотя бы один многочлен степени k и не содержит многочленов степени > m, то оно совпадет с R m [x] Пусть R[x 1 , . . . , x m ] пространство многочленов от переменных x 1 , . . . , x m 942. Найти размерность подпространства всех однородных многочленов степени k. 943. Найти размерность подпространства симметрических многочленов, являющих- ся однородными многочленами степени k. Пусть F поле, состоящее из q элементов. Найти: 944. Число векторов в пространстве строк F n 945. Число базисов пространства строк F n 44 946. Число невырожденных матриц порядка n над полем F . 947. Число вырожденных матриц порядка n над полем F . 948. Число k-мерных подпространств пространства строк F n 949. Число решений уравнения AX = 0, где A прямоугольная матрица ранга r с коэффициентами из поля F , X столбец неизвестных высоты n. Найти базис и размерность линейной оболочки следующей системы векторов: 950. (1, 0, 0, ?1), (2, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3). 951. (1, 1, 1, 1, 0), (1, 1, ?1, ?1, ?1), (2, 2, 0, 0, ?1), (1, 1, 5, 5, 2), (1, ?1, ?1, 0, 0). Найти систему линейных уравнений, задающую линейную оболочку, следующей си- стемы векторов: 952. (1, ?1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (2, 0, 1, 1). 953. (1, ?1, 1, ?1, 1), (1, 1, 0, 0, 3), (3, 1, 1, ?1, 7), (0, 2, ?1, 1, 2). Для указанных систем векторов выяснить какое из двух включений имеет место: ha 1 , . . . , a n i ? hb 1 , . . . , b m i , hb 1 , . . . , b m i ? ha 1 , . . . , a n i 954. a 1 = (1, 1, 1) , a 2 = (1, 2, 3) ; b 1 = (1, ?2, ?5) , b 2 = (1, 0, ?1) 955. a 1 = (1, 1, 1, 1) , a 2 = (1, 2, 3, 4) , a 3 = (1, ?1, 1, ?1) ; b 1 = (3, 2, 5, 4) , b 2 = (3, 0, 1, ?2) 36. Сумма подпространств 956. Пусть L 1 и L 2 подпространства конечномерного векторного пространства V . Доказать, что если L 1 ? L 2 , то dim L 1 6 dim L 2 , причем равенство имеет место только при L 1 = L 2 957. Доказать, что если размерность суммы двух подпространств векторного про- странства на единицу больше размерности их пересечения, то сумма равна одному из этих подпространств, а пересечение другому. 958. Пусть V n-мерное векторное пространство. Доказать, что если сумма размер- ностей двух подпространств больше n, то их пересечение содержит ненулевые векторы. Пусть U, V , W подпространства векторного пространства: 959. Можно ли утверждать, что U ? (V + W ) = (U ? V ) + (U ? W )? 960. Доказать, что равенство из предыдущей задачи верно, если V ? U. 961. Доказать, что (U + W ) ? (W + V ) ? (V + U) = [(W + V ) ? U] + [(V + U) ? W ]. 962. Доказать, что dim [(U +V )?W ]+dim (U ?V ) = dim [(V +W )?U]+dim (V ?W ). 963. Доказать, что (U ? V ) + (V ? W ) + (W ? U) ? (U + V ) ? (V + W ) ? (W + U) и разность размерностей этих подпространств является четным числом. Найти размерности суммы и пересечения линейных оболочек L 1 = ha 1 , . . . , a n i , L 2 = hb 1 , . . . , b m i для следующих систем векторов: 964. a 1 = (1, 2, 0, 1) , a 2 = (1, 1, 1, 0) ; b 1 = (1, 0, 1, 0) , b 2 = (1, 3, 0, 1) 965. a 1 = (1, 1, 1, 1) , a 2 = (1, ?1, 1, ?1) , a 3 = (1, 3, 1, 3) ; b 1 = (1, 2, 0, 2) , b 2 = (1, 2, 1, 2) , b 3 = (3, 1, 3, 1) 966. a 1 = (2, ?1, 0, ?2) , a 2 = (3, ?2, 1, 0) , a 3 = (1, ?1, 1, ?1) ; b 1 = (3, ?1, ?1, 0) , b 2 = (0, ?1, 2, 3) , b 3 = (5, ?2, ?1, 0) 45 Найти базисы суммы и пересечения линейных оболочек L 1 = ha 1 , a 2 , a 3 i и L 2 = hb 1 , b 2 , b 3 i : 967. a 1 = (1, 2, 1) , a 2 = (1, 1, ?1) , a 3 = (1, 3, 3) ; b 1 = (1, 2, 2) , b 2 = (2, 3, ?1) , b 3 = (1, 1, ?3) 968. a 1 = (1, 2, 1, ?2) , a 2 = (2, 3, 1, 0) , a 3 = (1, 2, 2, ?3) ; b 1 = (1, 1, 1, 1) , b 2 = (1, 0, 1, ?1) , b 3 = (1, 3, 0, ?4) 969. a 1 = (1, 1, 0, 0) , a 2 = (0, 1, 1, 0) , a 3 = (0, 0, 1, 1) ; b 1 = (1, 0, 1, 0) , b 2 = (0, 2, 1, 1) , b 3 = (1, 2, 1, 2) 970. a 1 = (?1, 6, 4, 7, ?2) , a 2 = (?2, 3, 0, 5, ?2) , a 3 = (?3, 6, 5, 6, ?5) ; b 1 = (1, 1, 2, 1, ?1) , b 2 = (0, ?2, 0, ?1, ?5) , b 3 = (2, 0, 2, 1, ?3) 971. a 1 = (1, 1, 0, 0, ?1) , a 2 = (0, 1, 1, 0, 1) , a 3 = (0, 0, 1, 1, 1) ; b 1 = (1, 0, 1, 0, 1) , b 2 = (0, 2, 1, 1, 0) , b 3 = (1, 2, 1, 2, ?1) 37. Прямая сумма 972. Доказать, что сумма L подпространств L 1 и L 2 тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор x ? L однозначно представляется в виде x = x 1 + x 2 , где x 1 ? L 1 , x 2 ? L 2 973. Пусть подпространства U, V ? R n заданы уравнениями x 1 + x 2 + . . . + x n = 0 , x 1 = x 2 = . . . = x n . Доказать, что R n = U ? V , найти проекции единичных векторов на U параллельно V и на V параллельно U. 974. Пусть U = h(1, 1, 1, 1), (?1, ?2, 0, 1)i, V = h(?1, ?1, 1, ?1), (2, 2, 0, 1)i. Доказать, что R 4 = U ? V , и найти проекцию вектора (4,2,4,4) на U параллельно V . 975. Доказать, что для любого подпространства U ? R n существует такое подпро- странство V , что R n = U ? V 976. Доказать, что пространство матриц M n (R) является прямой суммой подпро- странства симметрических и подпространства кососимметрических матриц, и найти проекции матрицы ? ? ? ? ? ? 1 1 1 · · · 1 0 1 1 · · · 1 0 0 1 · · · 1 · · · · · · · · 0 0 0 · · · 1 ? ? ? ? ? ? . на каждое из этих подпространств параллельно другому подпространству. 977. Пусть U подпространство кососимметрических матриц, V подпространство верхнетреугольных матриц в M n (R) а) Доказать, что U ? V = M n (R) б) Найти проекцию матриц E ij на U и V . 978. Пусть U подпространство симметрических матриц V подпространство верх- ненильтреугольных матриц в M n (R) а) Доказать, что U ? V = M n (R) б) Найти проекцию матрицы E ij на U и V . 979. Пусть F поле из q элементов, U подпространство размерности m в про- странстве |