Геометрия. Сборник задач по геометрии и алгебре. Ке мерово, 2008 г. Первое издание этого задачника вышло в 1996 году со следующей аннотацией
 Скачать 416.23 Kb.
|
|
L и M. 1069. Доказать, что сумма квадратов длин проекций векторов любого ортонорми- рованного базиса евклидова пространства на k-мерное подпространство равна k. 43. Процесс ортогонализации С помощью процесса ортогонализации построить ортогональный базис линейной обо- лочки системы векторов евклидова пространства: 1070. (1, 2, 2, ?1), (1, 1, ?5, 3), (3, 2, 8, ?7). 1071. (1, 1, ?1, ?2), (5, 8, ?2, ?3), (3, 9, 3, 8). 1072. (2, 1, 3, ?1), (7, 4, 3, ?3), (1, 1, ?6, 0), (5, 7, 7, 8). 1073. Пусть L подпространство евклидова пространства V , L ? ортогональное дополнение к L. Доказать следующие свойства ортогонального дополнения: а) V = L ? L ? ; б) (L ? ) ? = L ; в) (L 1 + L 2 ) ? = L ? 1 ? L ? 2 ; г) (L 1 ? L 2 ) ? = L ? 1 + L ? 2 ; д) V ? = 0 , 0 ? = V Найти базис ортогонального дополнения линейной оболочки системы векторов ев- клидова пространства: 1074. (1, 0, 2, 1), (2, 1, 2, 3), (0, 1, ?2, 1). 1075. (1, 1, 1, 1), (?1, 1, ?1, 1), (2, 0, 2, 0). 1076. Доказать, что системы линейных уравнений, задающих линейное подпростран- ство в R n и его ортогональное дополнение, связаны следующим образом: коэффициенты линейно независимой системы, задающей одно из этих подпространств, являются ко- ординатами векторов базиса другого подпространства. Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение к подпространству, заданно- му системой уравнений: 1077. 2x 1 + x 2 + 3x 3 ? x 4 = 0, 3x 1 + 2x 2 ? 2x 4 = 0, 3x 1 + x 2 + 4x 3 ? x 4 = 0. 1078. 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 ? 3x 4 = 0, 3x 1 ? x 2 + 11x 3 ? 13x 4 = 0, 4x 1 + x 2 + 18x 3 ? 23x 4 = 0. Найти проекцию вектора x на подпространство L = ha 1 , . . . , a n i , и ортогональную составляющую вектора x: 1079. a 1 = (1, 1, 1, 1) , a 2 = (1, 2, 2, ?1) , a 3 = (1, 0, 0, 3) ; x = (4, ?1, ?3, 4). 1080. a 1 = (2, 1, 1, ?1) , a 2 = (1, 1, 3, 0) , a 3 = (1, 2, 8, 1) ; x = (5, 2, ?2, 2). 1081. Найти проекцию вектора x на подпространство L и ортогональную составля- ющую вектора x, если x = (7, ?4, ?1, 2) и L задано системой уравнений 2x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 = 0, 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 0, x 1 + 2x 2 + 2x 3 ? 4x 4 = 0. 52 44. Геометрия евклидовых пространств Найти расстояние от вектора x до подпространства, заданного системой уравнений: 1082. x = (2, 4, 0, ?1); 2x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 = 0, 2x 1 + 4x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 0. 1083. x = (3, 3, ?4, 2); x 1 + 2x 2 + x 3 ? x 4 = 0, x 1 + 3x 2 + x 3 ? 3x 4 = 0. 1084. x = (3, 3, ?1, 1, ?1); 2x 1 ? 2x 2 + 3x 3 ? 2x 4 + 2x 5 = 0. 1085. x = (3, 3, ?1, 1, ?1); x 1 ? 3x 2 + 2x 4 ? x 5 = 0. 1086. (Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.) Пусть e 1 , . . . , e k ортонорми- рованная система векторов n-мерного евклидова пространства V . Доказать, что для любого вектора x выполняется неравенство k X i=1 |(x, e i )| 2 6 |x| 2 , причем равенство достигается для любого x тогда и только тогда, когда k = n, то есть данная система векторов является ортонормированным базисом пространства V (равенство Парсеваля). 1087. Доказать, что определитель Грама любой системы векторов в процессе орто- гонализации не меняется. 1088. Доказать, что определитель Грама системы векторов равен нулю тогда и толь- ко тогда, когда система линейно зависима, и положителен, если она линейно независима. 1089. Доказать, что определитель Грама системы векторов не превосходит произве- дения квадратов длин векторов системы, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы попарно ортогональны или один из них нулевой. 1090. С помощью скалярного произведения векторов доказать, что а) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон; б) квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. 1091. (n-мерная теорема Пифагора). Доказать, что квадрат диагонали n-мерного прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих из од- ной вершины. 1092. Найти число диагоналей n-мерного куба, ортогональных данной диагонали. 1093. Найти длину диагонали n-мерного куба с ребром a и углы между диагоналями куба и его ребрами. 1094. Найти радиус шара R, описанного около n-мерного куба с ребром a, и решить неравенство R < a. 1095. Доказать, что длина ортогональной проекции ребра n-мерного куба на любую его диагональ равна 1/n длины диагонали. Вычислить объем n-мерного параллелепипеда со сторонами: 1096. (1, ?1, 1, ?1), (1, 1, 1, 1), (1, 0, ?1, 0), (0, 1, 0, ?1). 1097. (1, 1, 1, 1), (1, ?1, ?1, 1), (2, 1, 1, 3), (0, 1, ?1, 0). 1098. (1, 1, 1, 2, 1), (1, 0, 0, 1, ?2), (2, 1, ?1, 0, 2), (0, 7, 3, ?4, ?2), (39, ?37, 51, ?29, 5). 1099. Доказать, что для объема параллелепипеда выполняется неравенство V (a 1 , . . . , a k , b 1 , . . . , b l ) 6 V (a 1 , . . . , a k ) · V (b 1 , . . . , b l ), причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда (a i , b j ) = 0 при всех i и j. 53 Найти угол между вектором x и подпространством L = ha 1 , . . . , a n i : 1100. a 1 = (3, 4, ?4, ?1) , a 2 = (0, 1, ?1, 2) ; x = (2, 2, 1, 1). 1101. a 1 = (5, 3, 4, ?3) , a 2 = (1, 1, 4, 5) , a 3 = (2, ?1, 1, 2) ; x = (1, 0, 3, 0). 1102. a 1 = (1, 1, 1, 1) , a 2 = (1, 2, 0, 0) , a 3 = (1, 3, 1, 1) ; x = (1, 1, 0, 0). 1103. Доказать, что если каждые два различных из k векторов евклидова простран- ства V образуют между собой угол ? 3 , то k 6 dim V . 1104. Доказать, что если каждые два различных из k векторов евклидова простран- ства образуют тупой угол, то k 6 1 + dim V . 1105. Найти угол между диагональю n-мерного куба и его k-мерной гранью. 1106. Найти угол между двумя подпространствами L 1 = h(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)i и L 2 = h(1, 1, 1, 1), (1, ?1, 1, ?1)i 45. Линейные функции 1107. Доказать, что для каждого базиса сопряженного пространства V ? существует единственный базис пространства V , для которого данный базис является сопряжен- ным. 1108. Доказать, что для любой ненулевой линейной функции f на n-мерном про- странстве V существует базис e 1 , . . . , e n пространства V , такой, что f (x 1 e 1 + . . . + x n e n ) = x 1 для любых коэффициентов x 1 , . . . , x n 1109. Доказать, что всякое k-мерное подпространство n-мерного пространства яв- ляется пересечением ядер некоторых n ? k линейных функций. 1110. Пусть f ненулевая линейная функция на векторном пространстве V (не обязательно конечномерном), U = Ker f. Доказать, что а) U максимальное подпространство V , то есть не содержится ни в каком другом подпространстве, отличном от V ; б) V = U ? hai для любого a /? U. 1111. Доказать, что если две линейные функции на векторном пространстве имеют одинаковые ядра, то они различаются скалярным множителем. 1112. Доказать, что n линейных функций на n-мерном пространстве линейно неза- висимы тогда и только тогда, когда пересечение их ядер есть нулевое подпространство. 1113. Доказать, что векторы e 1 , . . . , e k конечномерного пространства V линейно неза- висимы тогда и только тогда, когда существуют линейные функции f 1 , . . . , f k ? V ? такие, что det(f i (e j )) 6= 0 1114. Пусть l 1 , l 2 линейные функции на векторном пространстве V . Доказать, что если l 1 (x)l 2 (x) = 0 для всех x ? V , то одна из функций нулевая. 46. Сопряженный оператор 1115. Доказать следующие свойства операции перехода к сопряженному оператору в евклидовом пространстве: а) ? ?? = ? ; б) (? + ?) ? = ? ? + ? ? ; в) (??) ? = ? ? ? ? ; г) (??) ? = ?? ? , ? ? R; д) ? ? ? и ?? ? симметрические операторы; е) если оператор ? невырожден, то (? ?1 ) ? = (? ? ) ?1 54 1116. Пусть e 1 , e 2 ортонормированный базис евклидова пространства и оператор ? имеет в базисе e 1 , e 1 + e 2 матрицу µ 1 2 1 ?1 ¶ . Найти матрицу оператора ? ? в этом базисе. 1117. Найти оператор, сопряженный к проектированию координатной плоскости на ось абсцисс параллельно биссектрисе первой и третьей четвертей. 1118. Пусть ? проектирование евклидова пространства V на подпространство V 1 параллельно подпространству V 2 . Доказать, что а) V = V ? 1 ? V ? 2 ; б) ? ? проектирование пространства V на V ? 2 параллельно V ? 1 1119. Доказать, что если подпространство евклидова пространства инвариантно от- носительно линейного оператора ?, то его ортогональное дополнение инвариантно от- носительно оператора ? ? 1120. Доказать, что ядро и образ сопряженного оператора ? ? являются ортогональ- ными дополнениями соответственно к образу и ядру оператора ?. 1121. Доказать, что если x собственный вектор операторов ? и ? ? в евклидовом пространстве с собственными значениями ? и µ, то µ = ?. 47. Симметрический оператор 1122. Доказать, что собственные векторы симметрического оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. 1123. Доказать, что если ? и ? симметрические операторы в евклидовом про- странстве V и (?x, x) = (?x, x) для всех x ? V , то ? = ?. 1124. Доказать, что произведение двух симметрических операторов в евклидовом пространстве является симметрическим оператором тогда и только тогда, когда эти операторы перестановочны. 1125. Доказать, что проектирование евклидова пространства L 1 ?L 2 на подпростран- ство L 1 параллельно L 2 является симметрическим оператором тогда и только тогда, когда L 1 и L 2 ортогональны. Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей: 1126. µ 2 1 1 2 ¶ 1127. ? ? 11 2 ?8 2 2 10 ?8 10 5 ? ?. 1128. ? ? 17 ?8 4 ?8 17 ?4 4 ?4 11 ? ?. 1129. ? ? 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ? ?. 1130. ? ? 5 ?1 ?1 ?1 5 ?1 ?1 ?1 5 ? ?. 1131. ? ? ? ? 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ? ? ? ?. 1132. ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 ?1 ?1 1 ?1 1 ?1 1 ?1 ?1 1 ? ? ? ?. 1133. Доказать, что симметрические операторы евклидова пространства перестано- вочны тогда и только тогда, когда они имеют общий ортонормированный собственный базис. 55 1134. Симметрический оператор ? евклидова пространства V называется неотрица- тельным (положительным), если (?x, x) > 0 ((?x, x) > 0) для всех x ? V . Доказать, что симметрический оператор в евклидовом пространстве а) неотрицателен тогда и только тогда, когда все его собственные значения неотри- цательны; б) положителен тогда и только тогда, когда все его собственные значения положи- тельны. 1135. Доказать, что если ? оператор в евклидовом пространстве, то ? ? ? неотри- цательный симметрический оператор и положителен тогда и только тогда, когда опе- ратор ? обратим. 1136. Доказать, что если два неотрицательных симметрических оператора в евкли- довом пространстве перестановочны, то их произведение неотрицательный симмет- рический оператор. 1137. Доказать, что собственные значения произведения двух неотрицательных сим- метрических операторов в евклидовом пространстве, один из которых обратим, явля- ются вещественными и неотрицательными. 48. Ортогональный оператор 1138. Доказать: если оператор в евклидовом пространстве сохраняет длины векто- ров, то он ортогонален. 1139. Доказать, что если векторы x и y евклидова пространства имеют одинаковую длину, то существует ортогональный оператор, переводящий x в y. 1140. Пусть x 1 , . . . , x k и y 1 , . . . , y k две системы векторов евклидова пространства. Доказать, что ортогональный оператор, переводящий x i в y i , i = 1, . . . , k, существует тогда и только тогда, когда (x i , x j ) = (y i , y j ) при всех i и j от 1 до k. 1141. а) Пусть w ненулевой вектор евклидова пространства. Для любого вектора x положим U w (x) = x?2 (x, w) (w, w) w . Доказать, что U w (w) = ?w и U w (y) = y , если y ? hwi ? б) Пусть x, y ненулевые векторы евклидова пространства, причем y /? hxi. Дока- зать, что найдется такой вектор w, что U w (x) = |x| |y| y Найти канонический базис и матрицу в этом базисе ортогонального оператора, за- данного в некотором ортонормированном базисе матрицей: 1142. 1 3 ? ? 2 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 2 ? ?. 1143. 1 2 ? ? 1 1 ? ? 2 1 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 0 ? ?. 1144. 1 3 ? ? 2 ?1 2 2 2 ?1 ?1 2 2 ? ?. 1145. 1 4 ? ? 3 1 ? ? 6 1 3 ? 6 ? 6 ? ? 6 2 ? ?. 1146. 1 2 ? ? 1 |