Геометрия. Сборник задач по геометрии и алгебре. Ке мерово, 2008 г. Первое издание этого задачника вышло в 1996 году со следующей аннотацией
 Скачать 416.23 Kb.
|
|
, линейно независимы? Найти все значения ?, при которых вектор b линейно выражается через векторы a 1 , a 2 , a 3 : 451. a 1 = (2, 3, 5), a 2 = (3, 7, 8), a 3 = (1, ?6, 1), b = (7, ?2, ?). 452. a 1 = (4, 4, 3), a 2 = (7, 2, 1), a 3 = (4, 1, 6), b = (5, 9, ?). 453. a 1 = (3, 4, 2), a 2 = (6, 8, 7), a 3 = (15, 20, 11), b = (9, 12, ?). 454. a 1 = (3, 2, 5), a 2 = (2, 4, 7), a 3 = (5, 6, ?), b = (1, 3, 5). 455. a 1 = (3, 2, 6), a 2 = (5, 1, 3), a 3 = (7, 3, 9), b = (?, 2, 5). 16. Базисы Найти все базисы системы векторов: 456. a 1 = (1, 2, 0, 0), a 2 = (1, 2, 3, 4), a 3 = (3, 6, 0, 0). 457. a 1 = (4, ?1, 3, ?2), a 2 = (8, ?2, 6, ?4), a 3 = (3, ?1, 4, ?2), a 4 = (6, ?2, 8, ?4). 458. a 1 = (1, 2, 3, 4), a 2 = (2, 3, 4, 5), a 3 = (3, 4, 5, 6), a 4 = (4, 5, 6, 7). 459. a 1 = (2, 1, ?3, 1), a 2 = (4, 2, ?6, 2), a 3 = (6, 3, ?9, 3), a 4 = (1, 1, 1, 1). 460. a 1 = (3, 2, 3), a 2 = (2, 3, 4), a 3 = (3, 2, 3), a 4 = (4, 3, 4), a 5 = (1, 1, 1). 461. В каком случае система векторов обладает единственным базисом? Найти какой-нибудь базис системы векторов и выразить через этот базис остальные векторы системы: 462. a 1 = (5, 2, ?3, 1), a 2 = (4, 1, ?2, 3), a 3 = (1, 1, ?1, ?2), a 4 = (3, 4, ?1, 2). 463. a 1 = (2, ?1, 3, 5), a 2 = (4, ?3, 1, 3), a 3 = (3, ?2, 3, 4), a 4 = (4, ?1, 15, 17), a 5 = (7, ?6, ?7, 0). 464. a 1 = (1, 2, 3, ?4), a 2 = (2, 3, ?4, 1), a 3 = (2, ?5, 8, ?3), a 4 = (5, 26, ?9, ?12), a 5 = (3, ?4, 1, 2). 465. a 1 = (2, 3, ?4, ?1), a 2 = (1, ?2, 1, 3), a 3 = (5, ?3, ?1, 8), a 4 = (3, 8, ?9, ?5). 466. a 1 = (2, 2, 7, ?1), a 2 = (3, ?1, 2, 4), a 3 = (1, 1, 3, 1). 467. a 1 = (3, 2, ?5, 4), a 2 = (3, ?1, 3, ?3), a 3 = (3, 5, ?13, 11). 25 468. a 1 = (2, 1), a 2 = (3, 2), a 3 = (1, 1), a 4 = (2, 3). 469. a 1 = (2, 1, ?3), a 2 = (3, 1, ?5), a 3 = (4, 2, ?1), a 4 = (1, 0, ?7). 470. a 1 = (2, 3, 5, ?4, 1), a 2 = (1, ?1, 2, 3, 5), a 3 = (3, 7, 8, ?11, ?3), a 4 = (1, ?1, 1, ?2, 3). 471. a 1 = (2, ?1, 3, 4, ?1), a 2 = (1, 2, ?3, 1, 2), a 3 = (5, ?5, 12, 11, ?5), a 4 = (1, ?3, 6, 3, ?3). 472. a 1 = (4, 3, ?1, 1, ?1), a 2 = (2, 1, ?3, 2, ?5), a 3 = (1, ?3, 0, 1, ?2), a 4 = (1, 5, 2, ?2, 6). 473. Пусть векторы a 1 , a 2 , . . . , a k линейно независимы. Найти все базисы системы векторов b 1 = a 1 ? a 2 , b 2 = a 2 ? a 3 , b 3 = a 3 ? a 4 , . . . , b k?1 = a k?1 ? a k , b k = a k ? a 1 17. Ранг матрицы Найти ранг следующих матриц с помощью окаймления миноров и элементарных преобразований: 474. ? ? 8 2 2 ?1 1 1 7 4 ?2 5 ?2 4 2 ?1 3 ? ?. 475. ? ? ? ? 1 7 7 9 7 5 1 ?1 4 2 ?1 ?3 ?1 1 3 5 ? ? ? ?. 476. ? ? ? ? 4 1 7 ?5 1 0 ?7 1 ?3 ?5 3 4 5 ?3 2 2 5 3 ?1 3 ? ? ? ?. 477. ? ? ? ? 8 ?4 5 5 9 1 ?3 ?5 0 ?7 7 ?5 1 4 1 3 ?1 3 2 5 ? ? ? ?. 478. ? ? ? ? ? ? ?6 4 8 ?1 6 ?5 2 4 1 3 7 2 4 1 3 2 4 8 ?7 6 3 2 4 ?5 3 ? ? ? ? ? ? 479. ? ? ? ? ? ? 77 32 6 5 3 32 14 3 2 1 6 3 1 0 0 5 2 0 1 0 4 1 0 0 1 ? ? ? ? ? ? 480. ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 4 3 2 1 1 4 1 1 5 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 481. ? ? ? ? ? ? 3 1 1 2 ?1 0 2 ?1 1 2 4 3 2 ?1 1 12 9 8 ?7 3 ?12 ?5 ?8 5 1 ? ? ? ? ? ? 482. ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? Найти ранг матриц при различных значениях параметра ?: 483. ? ? 7 ? ? ?12 6 10 ?19 ? ? 10 12 ?24 13 ? ? ? ?. 484. ? ? ? ? 3 4 2 2 3 17 7 1 1 10 4 ? 4 1 1 3 ? ? ? ?. 485. ? ? ? ? 1 ? ? 0 0 0 0 1 ? ? 0 0 0 0 2 ? ? 3 0 0 0 3 ? ? ? ? ? ?. 486. ? ? 1 ? ?1 2 2 ?1 ? 5 1 10 ?6 1 ? ?. 26 487. ? ? ? ? 1 1 2 3 1 2 ? ? 2 2 3 2 3 1 5 2 3 1 9 ? ? 2 ? ? ? ?. 488. ? ? ? ? ?? 1 2 3 1 1 ?? 3 2 1 2 3 ?? 1 1 3 2 1 ?? 1 ? ? ? ?. 489. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 . . . n ? 1 1 1 ? 2 . . . n ? 1 1 1 2 ? . . . n ? 1 1 · · · · · · · · · · · · · 1 2 3 . . . ? 1 1 2 3 . . . n 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 490. ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 2 . . . ? n 2 1 ? . . . ? n?1 2 2 1 . . . ? n?2 · · · · · · · · · · · 2 2 2 . . . 1 ? ? ? ? ? ? 491. Доказать, что если ранг матрицы A не изменяется при добавлении к ней любого столбца матрицы B с тем же числом строк, то он не меняется при добавлении к A всех столбцов матрицы B. 492. Доказать, что ранг суммы матриц не превосходит суммы рангов этих матриц. 493. Доказать, что ранг произведения матриц не превосходит ранга каждой матрицы- сомножителя. 494. Доказать, что ранг матрицы (A|B), полученной приписыванием к матрице A матрицы B, не превосходит суммы рангов матриц A и B. 495. Доказать, что всякую матрицу ранга r можно представить в виде суммы r матриц ранга 1, но нельзя представить в виде суммы меньшего числа таких матриц. 496. Доказать, что если ранг матрицы равен r, то минор, стоящий на пересечении любых r линейно независимых строк и линейно независимых столбцов, отличен от 0. ГЛАВА 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 18. Действия над комплексными числами Вычислить выражения: 497. (2 + i)(3 ? i) + (2 + 3i)(3 + 4i). 498. (2 + i)(3 + 7i) ? (1 + 2i)(5 + 3i). 499. (4 + i)(5 + 3i) ? (3 + i)(3 ? i). 500. (5 + i)(7 ? 6i) 3 + i . 501. (5 + i)(3 + 5i) 2i . 502. (1 + 3i)(8 ? i) (2 + i) 2 . 503. (2 + i)(4 + i) 1 + i . 504. (3 ? 1)(1 ? 4i) 2 ? i . 505. (2 + i) 3 + (2 ? i) 3 . 506. (3 + i) 3 (3 ? i) 3 . 507. (1 + i) 5 (1 ? i) 3 . 508. Г ? 1 2 ± ? 3 2 i ! 3 . 509. 1 + i tg ? 1 ? i tg ? . 510. a + bi a ? bi . 511. (1 + 2i) 2 ? (1 ? i) 3 (3 + 2i) 3 ? (2 + i) 2 . 512. (1 ? i) 5 ? 1 (1 + i) 5 + 1 . 513. (1 + i) 9 (1 ? i) 7 . Решить системы уравнений: 514. (1 + i)z 1 + (1 ? i)z 2 = 1 + i, (1 ? i)z 1 + (1 + i)z 2 = 1 + 3i. 515. iz 1 + (1 + i)z 2 = 2 + 2i, 2iz 1 + (3 + 2i)z 2 = 5 + 3i. 27 516. (1 ? i)z 1 ? 3z 2 = ?i, 2z 1 ? (3 + 3i)z 2 = 3 ? i. 517. 2z 1 ? (2 + i)z 2 = ?i, (4 ? 2i)z 1 ? 5z 2 = ?1 ? 2i. 518. (3 ? i)x + (4 + 2i)y= 2 + 6i, (4 + 2i)x ? (2 + 3i)y= 5 + 4i. 519. (2 + i)x + (2 ? i)y= 6, (3 + 2i)x + (3 ? 2i)y= 8. 520. x + yi ? 2z= 10, x ? y + 2iz= 20, ix + 3iy ? (1 + i)z= 30. Найти вещественные числа x и y, удовлетворяющие уравнению: 521. (2 + i)x + (1 + 2i)y = 1 ? 4i. 522. (3 + 2i)x + (1 + 3i)y = 4 ? 9i. 523. Найти все комплексные числа, сопряженные к а) своему квадрату, б) своему кубу. 524. Доказать, что определитель z 1 Ї z 1 a z 2 Ї z 2 b z 3 Ї z 3 c , где z 1 , z 2 , z 3 комплексные числа и a, b, c вещественные числа, является чисто мнимым числом. Решить уравнения: 525. |z| + z = 8 + 4i. 526. |z| ? z = 8 + 12i. Вычислить: 527. ? 2i. 528. ? ?8i. 529. ? 3 ? 4i. 530. ? ?15 + 8i. 531. ? ?3 ? 4i. 532. ? ?11 + 60i. 533. ? ?8 + 6i. 534. ? ?8 ? 6i. 535. ? 8 + 6i. 536. ? 4 + i + ? 4 ? i. 537. p 1 ? i ? 3. 538. 4 ? ?1. 539. 4 p 2 ? i ? 12. Решить уравнения: 540. z 2 = i. 541. z 2 = 3 ? 4i. 542. z 2 = 5 ? 12i. 543. z 2 ? (1 + i)z + 6 + 3i = 0. 544. z 2 ? 5z + 4 + 10i = 0. 545. z 2 + (2i ? 7)z + 13 ? i = 0. 546. z 2 ? (2 + i)z + (?1 + 7i) = 0. 547. z 2 ? (3 ? 2i)z + (5 ? 5i) = 0. 548. (2 + i)z 2 ? (5 ? i)z + (2 ? 2i) = 0. 19. Тригонометрическая форма комплексных чисел Найти тригонометрическую форму чисел: 549. 5. 550. i. 551. ?2. 552. ?3i. 553. 1 + i. 554. 1 ? i. 555. 1 + i ? 3 556. ?1 + i ? 3 557. 1 ? i ? 3 558. ? 3 + i 559. ? ? 3 + i 560. ? ? 3 ? i 561. ? 3 ? i 562. 1 + i ? 3 3 563. 2 + ? 3 + i 564. 1 ? (2 + ? 3)i 565. cos ? ? i sin ?. 566. sin ? + i cos ?. 567. 1 + i tg ? 1 ? i tg ? Упростить выражения: 568. cos ? + i sin ? cos ? ? i sin ? 569. (1 ? i ? 3)(cos ? + i sin ?) 2(1 ? i)(cos ? ? i sin ?) 28 Вычислить выражения: 570. (1 + i) 1000 571. (1 + i ? 3) 150 572. ( ? 3 + i) 30 573. Г 1 + ? 3 2 + i 2 ! 24 574. (2 ? ? 3 + i) 12 575. Г 1 ? i ? 3 1 + i ! 12 576. Г? 3 + i 1 ? i ! 30 577. Г 1 + i ? 3 1 ? i ! 20 578. Г 1 ? ? 3 ? i 2 ! 24 20. Геометрия комплексных чисел 579. Изобразить на плоскости точки, соответствующие числам 5, ?2, ?3i, ±1, ±i ? 3 580. Найти комплексные числа, соответствующие: а) вершинам квадрата с центром в начале координат, со сторонами длины 1, парал- лельными осям координат; б) вершинам правильного треугольника с центром в начале координат, стороной, па- раллельной оси ординат, вершиной на отрицательной вещественной полуоси и радиусом описанного круга, равным 1; в) вершинам правильного шестиугольника с центром в точке 2 + i ? 3 , стороной, па- раллельной оси абсцисс, и радиусом описанного круга, равным 2. 581. Как расположены на плоскости точки, соответствующие: а) комплексным числам z 1 , z 2 , z 3 , для которых z 1 + z 2 + z 3 = 0 , |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | 6= 0 ; б) комплексным числам z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , для которых z 1 + z 2 + z 3 + z 4 = 0 , |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | = |z 4 | 6= 0 ? Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам z , удовлетворяющим условиям: 582. |z| = 1. 583. |z| 6 2. 584. |z ? 1 ? i| < 1. 585. |z + 3 + 4i| 6 5. 586. 2 < |z| < 3. 587. 1 6 |z?2i| < 2. 588. 1 6 |z+2+i| 6 2. 589. Ї Ї Ї Ї z ? 1 z + 1 Ї Ї Ї Ї 6 1. 590. |z ? 1| < |z ? i|. 591. |Re z| 6 1. 592. ?1 < Re iz < 0. 593. 1 < Re z < 2. 594. |Im z| = 1. 595. |Re z + Im z| < 1. 596. |z ? 2| = Re z + 2. 597. |z ? 1| + |z + 1| = 3. 598. |z + 2| ? |z ? 2| = 3. 599. |z ? i| + |z + i| = 4. 600. ? < arg z < ?, где ?? < ? < ? 6 ?. 601. | arg z| < ? 6 602. arg z = ? 3 603. ? 3 < arg(z ? i) < ? 2 604. Im (z 2 + Ї z) = 2 ? Im z. 605. |z ? 1| = |z + 2| = |z ? i|. 606. Im µ 1 z ¶ < ? 1 2 607. log ? 3 |z| 2 ? |z| + 1 2 + |z| < 2 608. (1 ? i)Їz = (1 + i)z. 609. Im z ? 1 + i z ? 3i = 0 610. |z ? 1| 2 + |z + 1| 2 = 5 611. log 1 2 |z ? 2| > log 1 2 |z| 612. sin |z| > 0. 613. Im z 2 > 2 614. lg |z + i| 6 1. 615. 1 4 < Re µ 1 Ї z ¶ + Im µ 1 Ї z ¶ < 1 2 616. Пусть комплексные числа z 1 , z 2 , z 3 соответствуют вершинам параллелограмма A 1 , A 2 , A 3 . Найти число, соответствующее вершине A 4 , противолежащей A 2 29 617. Найти комплексные числа, соответствующие противоположным вершинам квад- рата, если двум другим вершинам соответствуют числа z и w. 618. Найти комплексные числа, соответствующие вершинам правильного n-уголь- ника, если двум его соседним вершинам соответствуют числа z 0 и z 1 619. Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным чис- лам z = 1 + ti 1 ? ti , где t ? R. 620. Указать геометрический смысл числа arg z 1 ? z 3 z 2 ? z 3 , где z 1 , z 2 , z 3 различные комплексные числа. 621. Доказать, что а) точки плоскости, соответствующие комплексным числам z 1 , z 2 , z 3 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют вещественные числа ? 1 , ? 2 , ? 3 , не все равные нулю, такие, что ? 1 z 1 + ? 2 z 2 + ? 3 z 3 = 0, ? 1 + ? 2 + ? 3 = 0; б) точки плоскости, соответствующие различным комплексным числам z 1 , z 2 , z 3 , ле- жат на одной прямой тогда и только тогда, когда число z 1 ? z 3 z 2 ? z 3 является вещественным; в) точки плоскости, соответствующие различным комплексным числам z 1 , z 2 , z 3 , z 4 и не лежащие на одной прямой, лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда их двойное отношение z 1 ? z 3 z 2 ? z 3 : z 1 ? z 4 z 2 ? z 4 является вещественным числом. 622. Найти наименьшее значение |z| при |z ? 2 + 2i| = 1. 623. Найти максимальное значение |z ? 1 ? 4i| при |z + 2 ? 10i| 6 1. 624. Даны два комплексных числа z 1 и z 2 (z 1 6= z 2 ) . Доказать, что два треуголь- ника, вершины которых находятся в точках плоскости, соответствующих комплексным числам 1) 0, 1, z 1 и 0, z 1 , z 1 z 2 ; 2) 0, 1, z 2 и 0, z 1 , z 1 z 2 подобны. 625. Как изменяется arg z(z ? 1) , когда точка z описывает против часовой стрелки вокруг точки 0 окружность радиуса 2, начиная из точки z = 2? 626. Вычислить и изобразить на комплексной плоскости несколько первых членов последовательности µ 1 + i n ¶ n 627. Концы отрезка заданы некоторыми комплексными числами z 1 и z 2 . Найти ком- плексное число, соответствующее 1) середине отрезка; 2) точке, делящей отрезок в отношении 1 : 4, считая от точки z 1 628. Три последовательно взятые вершины параллелограмма находятся в точках 1) z 1 = 0 , z 2 = 1 , z 3 = 1 + i ; 2) z 1 , z 2 , z 3 , z 1 6= z 2 6= z 3 Найти комплексное число, соответствующее четвертой вершине. 629. Центр квадрата находится в точке z 0 = 1 + i , а одна из его вершин в точке z 1 = 1 ? i . Найти комплексные числа, соответствующие остальным вершинам квадрата. 21. Корни n-ой степени из комплексных чисел Записать в тригонометрической форме элементы множества: 630. 6 ? i 631. 10 q 512(1 ? i ? 3) 632. 8 q 8 ? 2(1 ? i) 30 Записать в алгебраической форме элементы множества: 633. 3 ? 1 634. 4 ? 1 635. 6 ? 1 636. 3 ? i 637. 4 ? ?4 638. 6 ? 64 639. 8 ? 16 640. 6 ? ?27 641. 4 p 8 ? 3i ? 8 642. 4 q ?72(1 ? i ? 3) 643. 3 ? 1 + i 644. 3 ? 2 ? 2i 645. 3 r 8 + 24i 3 ? i 646. 3 r 27 ? 54i 2 + i 647. 4 r ? 18 1 + i ? 3 648. 4 s ? 32 9(1 ? i ? 3) Пользуясь таблицами, извлечь корни: 649. 3 ? 2 + i 650. 3 ? 3 ? i 651. 5 ? 2 + 3i Вычислить: 652. 6 r 1 ? i ? 3 + i 653. 8 r 1 + i ? 3 ? i 654. 6 r 1 ? i 1 + i ? 3 Решить уравнения: 655. (z +1) n +(z ?1) n = 0 656. (z +1) n ?(z ?1) n = 0 657. (z +i) n +(z ?1) n = 0 Выразить через cos x и sin x: 658. cos 5x. 659. cos 8x. 660. sin 6x. 661. sin 7x. 662. Выразить tg 6? через tg ?. Выразить через первые степени тригонометрических функций углов, кратных x: 663. sin 3 x 664. sin 4 x 665. cos 5 x 666. cos 6 x ГЛАВА 7. МНОГОЧЛЕНЫ 22. Наибольший общий делитель многочленов Выполнить деление с остатком: 667. 2x 4 ? 3x 3 + 4x 2 ? 5x + 6 на x 2 ? 3x + 1 668. x 3 ? 3x 2 ? x ? 1 на 3x 2 ? 2x + 1 669. x 4 ? 2x 3 + 4x 2 ? 6x + 8 на x ? 1. 670. 2x 5 ? 5x 3 ? 8x на x + 3. 671. 4x 3 + x 2 на x + 1 + i. 672. x 3 ? x 2 ? x на x ? 1 + 2i. 673. При каком условии многочлен x 3 +px+q делится на многочлен вида x 2 +mx?1 ? 674. При каком условии многочлен x 4 + px 2 + q делится на многочлен x 2 + mx + 1 ? Определить наибольший общий делитель двух многочленов: 675. x 4 + x 3 ? 3x 2 ? 4x ? 1 , x 3 + x 2 ? x ? 1 676. x 5 + x 4 ? x 3 ? 2x ? 1 , 3x 4 + 2x 3 + x 2 + 2x ? 2 677. x 6 ? 7x 4 + 8x 3 ? 7x + 7 , 3x 5 ? 7x 3 + 3x 2 ? 7 678. x 5 ? 2x 4 + x 3 + 7x 2 ? 12x + 10 , 3x 4 ? 6x 3 + 5x 2 + 2x ? 2 679. x 6 + 2x 4 ? 4x 3 ? 3x 2 + 8x ? 5 , x 5 + x 2 ? x + 1 680. x 5 + 3x 4 ? 12x 3 ? 52x 2 ? 52x ? 12 , x 4 + 3x 3 ? 6x 2 ? 22x ? 12 681. x 5 + x 4 ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 1 , x 4 ? 2x 3 ? x 2 ? 2x + 1 682. x 4 ? 10x 2 + 1 , x 4 ? 4 ? 2x 3 + 6x 2 + 4 ? 2x + 1 683. x 4 + 7x 3 + 19x 2 + 23x + 10 , x 4 + 7x 3 + 18x 2 + 22x + 12 684. x 4 ? 4x 3 + 1 , x 3 ? 3x 2 + 1 31 685. 2x 6 ? 5x 5 ? 14x 4 + 36x 3 + 86x 2 + 12x ? 31 , 2x 5 ? 9x 4 + 2x 3 + 37x 2 + 10x ? 14 686. 3x 6 ? x 5 ? 9x 4 ? 14x 3 ? 11x 2 ? 3x ? 1 , 3x 5 + 8x 4 + 9x 3 + 15x 2 + 10x + 9 Пользуясь алгоритмом Евклида, для заданных многочленов f(x) и g(x) подобрать многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(x), где d(x) наибольший общий делитель f(x) и g(x): 687. f(x) = x 4 + 2x 3 ? x 2 ? 4x ? 2 , g(x) = x 4 + x 3 ? x 2 ? 2x ? 2 688. f(x) = x 5 + 3x 4 + x 3 + x 2 + 3x + 1 , g(x) = x 4 + 2x 3 + x + 2 689. f(x) = x 6 ?4x 5 +11x 4 ?27x 3 +37x 2 ?35x+35 , g(x) = x 5 ?3x 4 +7x 3 ?20x 2 +10x?25 690. f(x) = 3x 7 + 6x 6 ? 3x 5 + 4x 4 + 14x 3 ? 6x 2 ? 4x + 4 , g(x) = 3x 6 ? 3x 4 + 7x 3 ? 6x + 2 691. f(x) = 3x 5 + 5x 4 ? 16x 3 ? 6x 2 ? 5x ? 6 , g(x) = 3x 4 ? 4x 3 ? x 2 ? x ? 2 692. f(x) = 4x 4 ? 2x 3 ? 16x 2 + 5x + 9 , g(x) = 2x 3 ? x 2 ? 5x + 4 Пользуясь алгоритмом Евклида, для заданных многочленов f(x) и g(x) подобрать многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x) + g(x)v(x) = 1: 693. f(x) = 3x 3 ? 2x 2 + x + 2 , g(x) = x 2 ? x + 1 694. f(x) = x 4 ? x 3 ? 4x 2 + 4x + 1 , g(x) = x 2 ? x ? 1 695. f(x) = x 5 ? 5x 4 ? 2x 3 + 12x 2 ? 2x + 12 , g(x) = x 3 ? 5x 2 ? 3x + 17 696. f(x) = 2x 4 + 3x 3 ? 3x 2 ? 5x + 2 , g(x) = 2x 3 + x 2 ? x ? 1 697. f(x) = 3x 4 ? 5x 3 + 4x 2 ? 2x + 1 , g(x) = 3x 3 ? 2x 2 + x ? 1 698. f(x) = x 5 + 5x 4 + 9x 3 + 7x 2 + 5x + 3 , g(x) = x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x + 1 23. Корни многочленов. Схема Горнера Выполнить деление с остатком: 699. x 4 ? 2x 3 + 4x 2 ? 6x + 8 на x ? 1. 700. 2x 5 ? 5x 3 ? 8x на x + 3. 701. 3x 5 + x 4 ? 19x 2 ? 13x ? 10 на x ? 2. 702. x 4 ? 3x 3 ? 10x 2 + 2x + 5 на x + 2. 703. 4x 3 + x 2 на x + 1 + i. 704. x 3 ? x 2 ? x на x ? 1 + 2i. Разложить многочлен f(x) по степеням x ? x 0 : 705. x 4 + 2x 3 ? 3x 2 ? 4x + 1 , x 0 = ?1 706. x 5 , x 0 = 1 707. x 4 ? 8x 3 + 24x 2 ? 50x + 90 , x 0 = 2 708. x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 , x 0 = 1 Определить кратность корня x 0 для многочлена f(x): 709. f(x) = x 5 ? 5x 4 + 7x 3 ? 2x 2 + 4x ? 8 , x 0 = 2 710. f(x) = x 5 + 7x 4 + 16x 3 + 8x 2 ? 16x ? 16 , x 0 = ?2 711. f(x) = 3x 5 + 2x 4 + x 3 ? 10x ? 8 , x 0 = ?1 712. f(x) = x 5 ? 6x 4 + 2x 3 + 36x 2 ? 27x ? 54 , x 0 = 3 713. Определить коэффициент a так, чтобы многочлен x 5 ? ax 2 ? ax + 1 имел ?1 корнем не ниже второй кратности. 714. Определить A и B так, чтобы трехчлен Ax 4 + Bx 3 + 1 делится на (x ? 1) 2 715. Определить A и B так, чтобы трехчлен Ax n+1 + Bx n + 1 делился на (x ? 1) 2 716. Доказать, что многочлены: а) x 2n ? nx n+1 + nx n?1 ? 1 ; б) x 2n+1 ? (2n + 1)x n+1 + (2n + 1)x n ? 1 ; в) (n ? 2m)x n ? nx n?m + nx m ? (n ? 2m) имеют число 1 тройным корнем. 32 717. Найти условие, при котором многочлен x 5 + ax 3 + b имеет двойной корень, отличный от нуля. 718. Найти условие, при котором многочлен x 5 +10ax 3 +5bx+c имеет тройной корень, отличный от нуля. 719. Доказать, что трехчленный многочлен x n + ax n?m + b не может иметь корней, отличных от нуля, выше второй кратности. 720. Найти условие, при котором трехчленный многочлен x n + ax n?m + b имеет двой- ной корень, отличный от нуля. 721. Доказать, что многочлен 1 + x 1! + x 2 2! + · · · + x n n! не имеет кратных корней 24. Разложение многочленов на неприводимые множители Разложить на линейные множители многочлены: 722. x 3 ? 6x 2 + 11x ? 6 723. x 4 + 4 724. x 4 ? 10x 2 + 1 725. Построить многочлены наименьшей степени с комплексными коэффициентами по данным корням: а) двойной корень 1, простые 2, 3 и 1 + i; б) тройной корень ?1, простые 3 и 4; в) двойной корень i, простой ?1 ? i. Разложить на неприводимые вещественные множители многочлены: 726. x 4 + 4 727. x 6 + 27 728. x 2n ? 2x n + 2 729. x 4 ? ax 2 + 1, ?2 < a < 2 730. x 2n + x n + 1 731. Построить многочлены наименьшей степени с вещественными коэффициентами по данным корням: а) двойной корень 1, простые 2, 3 и 1 + i; б) тройной корень 2 ? 3i; в) двойной корень i, простой ?1 ? i. Найти наибольший общий делитель многочленов: 732. (x ? 1) 3 (x + 2) 2 (x ? 3)(x ? 4) , (x ? 1) 2 (x + 2)(x + 5) 733. (x ? 1)(x 2 ? 1)(x 3 ? 1)(x 4 ? 1) , (x + 1)(x 2 + 1)(x 3 + 1)(x 4 + 1) 734. (x 3 ? 1)(x 2 ? 2x + 1) , (x 2 ? 1) 3 Найти наибольший общий делитель многочлена и его производной: 735. (x?1) 3 (x+1) 2 (x?3) 736. (x?1)(x 2 ?1)(x 3 ?1)(x 4 ?1) 737. x m+n ?x m ?x n +1 738. Доказать, что x 3m + x 3n+1 + x 3p+2 делится на x 2 + x + 1 739. Когда x 3m ? x 3n+1 + x 3p+2 делится на x 2 ? x + 1 ? 740. При каком условии x 3m + x 3n+1 + x 3p+2 делится на x 4 + x 2 + 1 ? Найти все те значения m, для которых многочлен f делится на g: 741. f = x 2m + x m + 1 , g = x 2 + x + 1 742. f = (x + 1) m ? x m ? 1 , g = x 2 + x + 1 743. f = (x+1) m +x m +1 , g = x 2 +x+1 744. f = (x+1) m ?x m ?1 , g = (x 2 +x+1) 2 745. f = (x + 1) m + x m + 1 , g = (x 2 + x + 1) 2 33 ГЛАВА 8. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 25. Действия с векторами 746. Векторы a = ?? AC и b = ??? BD служат диагоналями параллелограмма ABCD. Выразить векторы AB, BC, CD, DA через векторы a и b. 747. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF . Представить векторы ??? AD , ??? BE , ?? CF в виде линейных комбинаций векторов ?? AB и ?? AC 748. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF . Найти сумму векторов ??? AD , ??? BE , ?? CF 749. Точки E и F служат серединами сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Доказать, что для векторов ?? EF , ??? BC , ??? AD справедливо равенство ?? EF = ( ??? BC + ??? AD)/2 750. Точки K и L служат серединами сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Выразить векторы ??? BC и ??? CD через векторы ??? AK и ?? AL 751. Доказать, что сумма векторов, идущих из центра правильного многоугольника к его вершинам равна 0. 752. Доказать, что вектор, идущий из произвольной точки пространства в центр правильного многоугольника, есть среднее арифметическое векторов, идущих из этой точки к вершинам многоугольника. 753. В ромбе ABCD даны диагонали ?? AC и ??? BD . Разложить по этим двум векторам все векторы, совпадающие со сторонами ромба: ?? AB , ??? BC , ??? CD , ??? DA 754. Дан правильный шестиугольник ABCDEF и векторы a и b. Разложить по этим двум векторам векторы ?? AB , ?? AC , ??? AD , ?? AE , ?? AF , ??? BC , ??? CD , ??? DE , ?? EF , если а) a = ?? AB , b = ?? AC ; б) a = ?? AB , b = ?? AF 755. Дан тетраэдр OABC. Выразить через векторы ?? OA , ??? OB , ?? OC вектор ?? EF , где E и F середины ребер OA и BC соответственно. 756. Дан тетраэдр OABC. Выразить через векторы ?? OA , ??? OB , ?? OC вектор ?? EF , где E середина ребра OA, а F точка пересечения медиан треугольника ABC. 757. Дан параллелепипед ABCDEF GH. Принимая за базис a, b, c векторы ?? AB , ??? AD , ?? AE , найти в этом базисе координаты векторов, совпадающих с ребрами, диагональю параллелепипеда и диагоналями его граней, для которых вершина E служит началом. 758. Из точки O выходят два вектора ?? OA = a , ??? OB = b . Найти какой-нибудь вектор ??? OM , идущий по биссектрисе угла AOB. 759. В трапеции ABCD отношение основания BC к основанию AD равно ?. При- нимая за базис векторы ??? AD и ?? AB найти координаты векторов ?? AB , ??? BC , ??? CD , ??? DA , ?? AC , ??? BD 760. В плоскости треугольника ABC найти такую точку M, чтобы выполнялось равенство ??? MA + ??? MB + ??? MC = 0 761. К точке M приложены три ненулевых вектора x, y, z, сумма которых равна нулю. Зная углы ?, ?, ? между векторами y и z, z и x, x и y, найти отношения модулей этих векторов |x| : |y| : |z|. 26. Система координат 762. Проверить, что четыре точки A(3, ?1, 2), B(1, 2 ? 1), C(?1, 1 ? 3), D(3, ?5, 3) служат вершинами трапеции. 34 763. На плоскости даны четыре точки A(1, ?2), B(2, 1), C(3, 2), D(?2, 3). Разложить векторы ??? AD , ??? BD , ??? CD по базису ?? AB и ?? AC 764. Дан правильный шестиугольник ABCDEF . Принимая за начало системы ко- ординат точку A, а за базис - векторы ?? AB и ?? AC , найти координаты вершин шести- угольника. 765. Даны две смежные вершины A(?1, 3), B(2, 1) параллелограмма ABCD. Найти две другие его вершины при условии, что AC параллельна оси Ox, а BD параллельна оси Oy. 766. Даны три последовательные вершины параллелограмма A(?2, 1), B(1, 3), C(4, 0). Найти четвертую вершину D. 767. Даны две точки A(?3, 1) и B(2, ?3). На прямой AB найти точку M так, чтобы она была расположена по ту же сторону от точки A, что и точка B и чтобы отрезок AM был втрое больше отрезка AB. 768. Линейно зависимы ли тройки векторов a, b, c? Если да, то выразить вектор c через a, b: (i) a = (5, 2, 1), b = (?1, 4, 2), c = (?1, ?2, 6); (ii) a = (6, 4, 2), b = (?9, 6, 3), c = (?3, 6, 3); (iii) a = (6, ?18, 12), b = (?8, 24, ?16), c = (8, 7, 3). 769. Векторы ?? AB = (2, 6, ?4) и ?? AC = (4, 2, ?2) совпадают со сторонами треуголь- ника ABC. Определить координаты векторов, совпадающих с медианами AM, BN, CP 770. Доказать, что для любых трех векторов a, b, c и любых трех чисел p, q, r, векторы pa ? qb, rb ? pc, qc ? ra компланарны. 771. Даны векторы a = (2, 5, 14), b = (14, 5, 2). Найти проекцию вектора a на плос- кость Oxy при направлении проектирования, параллельному вектору b. 772. Даны векторы a = (1, 2, 3), b = (2, ?2, 1), c = (4, 0, 3), d = (16, 10, 18). Найти проекцию вектора d на плоскость, определяемую векторами a и b, при направлении проектирования, параллельному вектору c. 773. Даны две точки A(1, 2, 3) и B(7, 2, 5). На прямой AB найти точку M так, чтобы M и B были расположены по разные стороны от точки A и чтобы отрезок AM был вдвое длиннее отрезка AB. 774. Вершина A параллелепипеда ABCDEF GH принята за начало координат, а ребра AB, AD, AE за базис. Найти координаты остальных вершин. 775. Вершина O тетраэдра OABC принята за начало координат, а ребра OA, OB, OC за базис. Найти координаты точек пересечения медиан граней тетраэдра. 27. Деление отрезка в данном отношении 776. Даны точки A(3, ?1), B(2, 1). Найти точку, симметричную точке A относитель- но точки B. 777. Точки M, N, P являются серединами сторон треугольника. Определить его вершины, если (i) M(2, ?1), N(?1, 4), P (?2, 2); (ii) M(2, 4), N(?3, 0), P (2, 1). 778. Даны две смежные вершины A, B параллелограмма ABCD и точка пересечения диагоналей M. Найти остальные вершины, если (i) A(?4, ?7), B(2, 6), M(3, 1); 35 (ii) A(?3, 5), B(1, 7), M(1, 1). 779. В треугольнике с вершинами A(5, 4), B(?1, 2), C(5, 1) проведена медиана AD. Найти ее длину. 780. Выразить координаты точки пересечения медиан треугольника через коорди- наты его вершин. 781. Прямая проходит через точки M(2, ?3), N(?6, 5). На этой прямой найти точку, ордината которой равна ?5. 782. Прямая проходит через точки M(7, ?3), N(23, ?6). Найти точки пересечения этой прямой с осями абсцисс и ординат. 783. Даны три последовательные вершины трапеции A(?2, ?3), B(1, 4), C(3, 1). Най- ти четвертую вершину D и точки пересечения диагоналей и боковых сторон трапеции, если основание AD в пять раз больше основания BC. 784. Дана точка A(2, 4). Найти точку B при условии, что точка C пересечения пря- мой AB с осью ординат делит отрезок AB в отношении, равном 2/3, а точка D пересе- чения прямой AB с осью абсцисс делит отрезок AB в отношении ?3/4. 785. Найти две точки A и B , зная, что C(?5, 4) делит отрезок AB в отношении 3/4, а точка D(6, ?5) в отношении 2/3. 786. Даны две вершины треугольника A(?4, ?1, 2), B(3, 5, 16). Найти третью вер- шину C , зная, что середина стороны AC лежит на оси Oy, а середина стороны BC на плоскости Oxz. 787. Найти отношение, в котором плоскость Oyz делит отрезок AB: A(2, ?1, 7), B(4, 5, ?2) 788. Даны две точки A(8, ?6, 7) и B(?20, 15, 10). Установить, пересекает ли прямая AB какую-нибудь из осей координат. 789. Заданы три последовательных вершины трапеции: A(?3, ?2, ?1), B(1, 2, 3), C(9, 6, 4) . Найти четвертую вершину D этой трапеции, точку M пересечения ее диа- гоналей и точку S пересечения боковых сторон, если длина основания AD равна 15. 790. Даны четыре точки: A(?3, 5, 15), B(0, 0, 7), C(2, ?1, 4), D(4, ?3, 0). Установить, пересекаются ли прямые AB и CD, и если пересекаются, то найти точку их пересечения. 28. Скалярное произведение 791. Даны единичные векторы a, b, c, удовлетворяющие условию a + b + c = 0. Вычислить (a, b) + (b, c) + (c, a). 792. Даны векторы a, b, c, удовлетворяющие условию a + b + c = 0. Вычислить (a, b) + (b, c) + (c, a) , зная, что |a| = 3, |b| = 1, |c| = 4. 793. Доказать, что вектор d = b(a, c) ? c(a, b) перпендикулярен вектору a. 794. Даны векторы b = ?? AB , c = ??? BC , а BD высота треугольника ABC. Выразить вектор ??? BD через векторы b и c. 795. Дан равносторонний треугольник ABC, длины сторон которого равны 1. Вы- числить выражение ( ?? AB, ??? BC) + ( ??? BC, ?? CA) + ( ?? CA, ?? AB) 796. В треугольнике ABC: BC = 5, CA = 6, AB = 7. Найти скалярное произведение векторов ?? AB и ??? BC 797. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF . Вычислить ( ??? BC, ??? AD)+ ( ?? CA, ??? BE) + ( ?? AB, ?? CF ) 798. В треугольнике ABC точка D делит сторону AB в отношении AD : DB = t. Выразить длину CD через длины a, b, c сторон треугольника и число t. 36 799. Доказать, что при любом расположении точек A, B, C, D на плоскости или в пространстве имеет место равенство ( ??? BC, ??? AD) + ( ?? CA, ??? BD) + ( ?? AB, ??? CD) = 0 800. Доказать, что если в тетраэдре ABCD два ребра перпендикулярны к противо- положным ребрам, то перпендикулярны и противоположные ребра третьей пары. 801. Даны два неколлинеарных вектора a и b. Найти вектор x, компланарный век- торам a и b и удовлетворяющий системе уравнений (a, x) = 1, (b, x) = 0. 802. Даны два вектора a и b. Найти вектор c, являющийся ортогональной проекцией вектора b на прямую, направление которой определяется вектором a. 803. Даны два вектора a и n. Найти вектор b, являющийся ортогональной проекцией вектора a на плоскость, перпендикулярную вектору n. 804. Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией вектора a = (?14, 2, 5) на прямую с направляющим вектором b = (2, ?2, 1). 805. Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией вектора a = (8, 4, 1) на плоскость, перпендикулярную вектору b = (2, ?2, 1). 806. Даны три вектора: a = (8, 4, 1), b = (2, ?2, 1), c = (1, 1, 9). Найти вектор, явля- ющийся ортогональной проекцией вектора c на плоскость, определяемую векторами a и b. 807. Даны два вектора: a = (8, 4, 1), b = (2, ?2, 1). Найти вектор c, компланарный векторам a и b, перпендикулярный вектору a, равный ему по длине и образующий с вектором b тупой угол. 808. Найти внутренние углы треугольника с вершинами A(1, 2, 3), B(3, 0, 4), C(2, 1, 3). 29. Векторное и смешанное произведения 809. Даны два вектора a = (0, 1, 1) и b = (1, 1, 0). Найти вектор c длины 1, перпен- дикулярный вектору a, образующий с вектором b угол 45 o и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов a, b, c имела положительную ориентацию. 810. Даны два вектора a = (1, 1, 1) и b = (1, 0, 0). Найти вектор c длины 1, перпен- дикулярный вектору a, образующий с вектором b угол 60 o и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов a, b, c имела положительную ориентацию. 811. Даны три вектора: a = (8, 4, 1), b = (2, 2, 1), c = (1, 1, 1). Найти вектор d длины 1, образующий с векторами a и b равные углы, перпендикулярный вектору c, направ- ленный так, чтобы упорядоченные тройки векторов a, b, c и a, b, d имели одинаковую ориентацию. 812. Даны три вектора: a = (8, 4, 1), b = (2, ?2, 1), c = (1, 1, 1). Найти вектор d длины 1, компланарный векторам a и b, перпендикулярный вектору c и направленный так, чтобы упорядоченные тройки векторов a, b, c и a, d, c имели противоположную ориентацию. 813. Даны два вектора a = (11, 10, 2) и b = (4, 0, 3). Найти вектор c длины 1, перпен- дикулярный векторам a и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов a , b, c имела положительную ориентацию. 814. Даны три вектора: a = (8, 4, 1), b = (2, ?2, 1), c = (4, 0, 3). Найти четвертый вектор d длины 1, перпендикулярный векторам a и b и направленный так, чтобы упо- рядоченные тройки векторов a, b, c и a, b, d имели одинаковую ориентацию. 815. Вычислить площадь треугольника ABC, если A(0, 2, ?3), B(?1, 0, ?1), C(4, 4, 1). 816. Вычислить объем параллелепипеда ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 , зная его вершину A(1, 2, 3) и концы выходящих из нее ребер B(9, 6, 4), D(3, 0, 4), A 0 (5, 2, 6) 37 817. Даны три вектора a = (1, ?1, 3), b = (?2, 2, 1), c = (3, ?2, 5). Вычислить ha, b ci. 818. Установить, компланарны ли векторы a, b, c, если 1) a = (2, 3, ?1), b = (1, ?1, 3), c = (1, 9, ?11); 2) a = (3, ?2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, ?1, ?2); 3) a = (2, ?1, 2), b = (1, 2, ?3), c = (3, ?4, 7). 819. Доказать, что четыре точки A(1, 2, ?1), B(0, 1, 5), C(?1, 2, 1), D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости. 820. Вычислить объем тетраэдра ABCD, если A(2, ?1, 1), B(5, 5, 4), C(3, 2, ?1) и D(4, 1, 3) 821. Дан тетраэдр ABCD. Найти длину его высоты, опущенной из вершины D, если A(2, 3, 1) , B(4, 1, ?2), C(6, 3, 7), D(?5, ?4, 8). 822. Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках A(2, 1, ?1), B(3, 0, 1) , C(2, ?1, 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oy. 823. Три вектора a, b, c связаны соотношениями a = [b, c], b = [c, a], c = [a, b]. Найти длины этих векторов и углы между ними. 824. Доказать, что если три вектора a, b, c не коллинеарны, то из равенств [a, b] = [b, c] = [c, a] вытекает соотношение a + b + c = 0 и обратно. 825. Доказать, что если [a, b] + [b, c] + [c, a] = 0, то векторы a, b, c компланарны. 826. Доказать, что если векторы [a, b], [b, c], [c, a] компланарны, то они коллинеарны. 827. От одной точки отложенны три некомпланарных вектора a, b, c. Доказать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна вектору [a, b] + [b, c] + [c, a] ГЛАВА 9. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ 30. Прямая на плоскости 828. Написать уравнение прямой, которая (а) проходит через точку (3, ?2) параллельно оси Oy; (б) проходит через точку (3, ?5) параллельно вектору (4, ?2); (в) проходит через две точки (2, 3) и (4, ?6); (г) отсекает на осях Ox и Oy отрезки, равные 3 и ?5. 829. Написать параметрическое и общее уравнения прямой, проходящей через точку (3, ?2) и параллельной вектору (?2, 3). 830. Дан треугольник ABC: A(?2, 3), B(4, 1), C(6, ?5). Написать уравнение медианы этого треугольника, проведенной из вершины A. 831. Дан треугольник ABC: A(4, 4), B(?6, ?1), C(?2, ?4). Написать уравнение бис- сектрисы внутреннего угла треугольника, при вершине C. 832. Определить взаимное расположение пар прямых: (а) 2x + 3y ? 1 = 0; 4x + 6y ? 7 = 0; (б) x = 5 + 4t, y = ?2 ? 2t; x = 1 ? 2t, y = 7 + t; (в) 3x + 9y + 5 = 0; x = 2 + 3t, y = ?t. 38 833. Зная уравнения двух сторон параллелограмма x ? 3y = 0 и 2x + 5y + 6 = 0 и одну из его вершин C(4, ?1), составить уравнения двух других сторон. 834. Через точку M(2, 5) провести прямую, равноудаленную от точек P (?1, 2) и Q(5, 4) 835. Составить уравнение прямой, параллельной двум параллельным прямым x + y ? 1 = 0 , x + y ? 13 = 0 и равноудаленной от них. 836. Даны две прямые 2x + 3y ? 5 = 0, x ? y ? 1 = 0 и пять точек P (3, 1), Q(2, 2), R(?2, 1) , S(1, ?1), T (4, 0). Пусть AMB тот из четырех углов, в котором лежит точка P , а CMD угол ему вертикальный, в каких углах лежат остальные четыре точки. 837. Две параллельные прямые 2x ? 5y + 6 = 0, 2x ? 5y ? 7 = 0, делят плоскость на три области. Установить, каким областям принадлежат точки A(2, 1), B(3, 2), C(1, 1), D(2, 8) , E(7, 1), F (?4, 6). 838. Даны четыре точки: A(5, 3), B(1, 2), C(3, 0), D(2, 4). Установить, принадлежит ли точка пересечения M прямых AB и CD отрезкам AB и CD или их продолжениям. 839. Стороны треугольника ABC заданы уравнениями AB: 2x ? y + 2 = 0, BC: x + y ? 4 = 0 , AC: 2x + y = 0. Определить положение точек M(3, 1), N(7, ?6), P (3, 2) относительно данного треугольника 840. Составить уравнения прямых, параллельных прямой 5x + 12y ? 1 = 0 и отсто- ящих от нее на расстоянии 5. 841. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми 12x ? 16y ? 48 = 0, 3x ? 4y + 43 = 0 842. Составить уравнение биссектрис углов между прямыми x+2y = 0, 2x?11y+30 = 0 843. Найти касательные к окружности с центром (1, 1) и радиусом 3, параллельные прямой 5x ? 12y = 0. 844. Написать уравнения сторон ромба, зная точку M(1, 6) пересечения его диаго- налей и по точке на трех его сторонах: P (3, 0) на стороне AB, Q(6, 6) на стороне BC, R(5, 9) на стороне CD. 845. Написать уравнения сторон квадрата, зная его центр M(1, 6) и по точке на двух непараллельных сторонах: P (4, 9) на стороне AB, Q(?5, 4) на стороне BC. 846. Написать уравнения сторон квадрата, зная по точке на каждой из них: P (2, 1) на стороне AB, Q(0, 1) на стороне BC, R(3, 5) на стороне CD, S(?3, ?1) на стороне DA 31. Плоскость и прямая в пространстве 847. Написать уравнение плоскости, которая проходит через (а) точку (2, 1, ?1) перпендикулярно вектору (1, ?2, 3); (б) точку (3, 4, ?5) параллельно векторам (3, 1, ?1), (1, ?2, 1); (в) точки (2, ?1, 3), (3, 1, 2) параллельно вектору (3, ?1, 4); (г) три точки (3, ?1, 2), (4, ?1, ?1), (2, 0, 2). 848. Составить уравнение прямой, если она (а) проходит через точку (1, 2, 3) и перпендикулярна Oxy; (б) проходит через точку (2, 3, 4), пересекает ось Oz и перпендикулярна ей; (в) лежит в Oyz, параллельна Oy, отсекает на Oz отрезок, равный 3; (г) лежит в плоскости y + 2z = 0 и пересекает прямые x = 2 ? t, y = 4 + 2t, z = 1 и x = 1 ? t , y = t, z = 6 + t; 39 (д) проходит через точку (3, ?1, ?4), пересекает ось Oz и параллельна плоскости y + 2z = 0 849. Составить уравнение плоскости, отсекающей на осях Ox и Oy отрезки, соответ- ственно равные 5 и ?7, и проходящей через точку (1, 1, 2). 850. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x = 2 + 3t, y = ?1 + 6t , z = 4t и параллельной прямой x = ?1 + 2t, y = 3t, z = ?t. 851. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x = 1, y = 2 + t, z = 2 ? t и точку (?2, 3, 0). Установить взаимное расположение прямой l и плоскости P . Если они пересекаются, найти точку их пересечения: 852. l: (x ? 12)/4 = (y ? 9)/3 = (z ? 1)/1; P : 3x + 5y ? z ? 2 = 0. 853. l: (x + 1)/2 = (y ? 3)/4 = z/3; P : 3x ? 3y + 2z ? 5 = 0. 854. l: (x ? 13)/8 = (y ? 1)/2 = (z ? 4)/3; P : x + 2y ? 4z + 1 = 0. 855. l: (x ? 7)/5 = (y ? 4)/1 = (z ? 5)/4; P : 3x ? y + 2z ? 5 = 0. 856. l: 3x + 5y ? 7z + 16 = 0, 2x ? y + z ? 6 = 0; P : 5x ? z ? 4 = 0. 857. l: 2x + 3y + 6z ? 10 = 0, x + y + z + 5 = 0; P : y + 4z + 17 = 0. 858. l: x + 2y + 3z + 8 = 0, 5x + 3y + z ? 16 = 0; P : 2x ? y ? 4z ? 24 = 0. Установить взаимное расположение двух прямых. Если они пересекаются или парал- лельны, написать уравнение плоскости, которая их содержит: 859. x = 1 + 2t, y = 7 + t, z = 3 + 4t; x = 6 + 3t , y = ?1 ? 2t, z = ?2 + t. 860. x = 1 + 2t, y = 2 ? 2t, z = ?t; x = ?2t , y = ?5 + 3t, z = 4. 861. x = 2 + 4t, y = ?6t, z = ?1 ? 8t; x = 7 ? 6t , y = 2 + 9t, z = 12t. 862. x = 1 + 9t, y = 2 + 6t, z = 3 + 3t; x = 7 + 6t , y = 6 + 4t, z = 5 + 2t. 863. 2x ? 3y ? 3z ? 9 = 0, x ? 2y + z + 3 = 0; x = 9t, y = 5t, z = ?3 + t. 864. x + z ? 1 = 0, 3x + y ? z + 13 = 0; x ? 2y + 3 = 0, y + 2z ? 8 = 0. 32. Плоскость и прямая в пространстве (продолжение) 865. Найти ортогональную проекцию точки (1, 3, 5) на прямую 2x + y + z ? 1 = 0, 3x + y + 2z = 0 866. Найти ортогональную проекцию точки (1, 2, ?3) на плоскость 6x?y+3z?41 = 0. 867. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки (9, 6, 4) на прямую (x? 1)/4 = (y ? 2)/0 = (z ? 3)/3 868. Найти точку, симметричную точке (1, 2, 3) относительно плоскости 2x ? 3y + 5z ? 68 = 0 869. Найти точку, симметричную точке (1, 2, 3) относительно прямой (x ? 8)/1 = (y ? 11)/3 = (z ? 4)/ ? 1 870. Составить уравнение проекции прямой x = 3 + 5t, y = ?1 + t, z = 4 + t на плоскость 2x ? 2y + 3z ? 5 = 0. 871. Провести через точку пересечения плоскости x + y + z ? 1 = 0 с прямой y = 1, z + 1 = 0 прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикулярную данной прямой. 40 872. Найти расстояние от точки (1, 3, 5) до прямой: (а) 2x + y + z ? 1 = 0, 3x + y + 2z ? 3 = 0; (б) x = t, y = 1 ? 2t, z = 3 + t. 873. Найти расстояние между двумя прямыми: (а) x = 3t, y = 1 ? t, z = 2 + 2t; x = ?t , y = 2 + 3t, z = 3t; (б) x + 2y ? z + 1 = 0, 2x ? 3y + z ? 4 = 0, x + y + z ? 9 = 0, 2x ? y ? z = 0; (в) (x ? 2)/3 = (y + 1)/4 = z/2; (x ? 7)/3 = (y ? 1)/4 = (z ? 3)/2 874. Найти расстояние между диагональю куба и непересекающей ее диагональю грани, если ребро куба равно 1. 41 ГЛАВА 10. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 33. Аксиоматика и линейная зависимость 875. Пусть x, y векторы, ?, ? скаляры. Доказать, что а) ?x = 0 тогда и только тогда, когда ? = 0 или x = 0; б) ?x + ?y = ?x + ?y тогда и только тогда, когда ? = ? или x = y. 876. При каких значениях ? из линейной независимости системы векторов a 1 , a 2 вытекает линейная независимость системы ?a 1 + a 2 , a 1 + ?a 2 877. При каких значениях ? из линейной независимости системы a 1 , . . . , a n вытекает линейная независимость системы a 1 + a 2 , a 2 + a 3 , . . . , a n?1 + a n , a n + ?a 1 ? 878. Пусть x, y, z линейно независимые векторы, a произвольный вектор. До- казать, что система x ? a, y ? a, z ? a линейно зависима тогда и только тогда, когда существуют скаляры ?, ?, ?, для которых a = ?x + ?y + ?z и ? + ? + ? = 1. Доказать линейную независимость систем функций: 879. sin x, cos x. 880. 1, sin x, cos x. 881. sin x, sin 2x, . . . , sin nx. 882. 1, cos x, cos 2x, . . . , cos nx. 883. 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx. 884. 1, sin x, sin 2 x, . . . , sin n x 885. 1, cos x, cos 2 x, . . . , cos n x Пусть ? 1 , . . . , ? n попарно различные вещественные числа. Доказать линейную независимость систем функций: 886. e ? 1 x , . . . , e ? n x 887. x ? 1 , . . . , x ? n 888. (1 ? ? 1 x) ?1 , . . . , (1 ? ? n x) ?1 889. В пространстве функций одной вещественной переменной векторы f 1 , . . . , f n линейно независимы тогда и только тогда, когда существуют числа a 1 , . . . , a n такие, что определитель det(f i (a j )) отличен от нуля. Доказать это. 890. В векторном пространстве V над полем C определим новое умножение векторов на комплексные числа по правилу ? ? x = Ї?x. Доказать, что относительно операций + и ? множество V является векторным пространством. Найти его размерность. 891. Пусть C n множество всех строк (a 1 , . . . , a n ) длины n, a i ? C . Если b ? C, то положим b ? (a 1 , . . . , a n ) = (bЇa 1 , . . . , bЇa n ) . Является ли C n относительно операций + и ? |