Геометрия. Сборник задач по геометрии и алгебре. Ке мерово, 2008 г. Первое издание этого задачника вышло в 1996 году со следующей аннотацией
 Скачать 416.23 Kb.
|
|
Кабенюк М. И. Сборник задач по геометрии и алгебре. Ке- мерово, 2008 г. Первое издание этого задачника вышло в 1996 году со следующей аннотацией: "Задачник составлен в соответствии с программой курса "Геомет- рия и алгебра" на отделении прикладной математики и предназначен для того, чтобы в какой-то степени ликвидировать дефицит задачни- ков, возникший в последние годы на первом курсе математического факультета. Составитель брал задачи, в частности, из следующих источ- ников: И. В. Проскуряков "Сборник задач по линейной алгебре" (1984 г.), "Сборник задач по алгебре" под редакцией А. И. Костри- кина (1995 г.), П. С. Моденов, А. С. Пархоменко "Сборник задач по аналитической геометрии" (1976 г.)." Оглавление ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ, КОМБИНАТОРИКА, БИНОМ НЬЮТОНА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Принцип математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Комбинаторика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4. Действия с матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . . . . . . . . . . 12 6. Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 7. Метод Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 8. Фундаментальная система решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ГЛАВА 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 9. Определители второго и третьего порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 10. Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 11. Определение определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 12. Свойства определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 13. Числовые определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 14. Вычисление определителей приведением к треугольному виду . . . . . . . 22 ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. РАНГ МАТРИЦЫ . . . . . . 24 15. Линейная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 16. Базисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 17. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ГЛАВА 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 18. Действия над комплексными числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 19. Тригонометрическая форма комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . 28 20. Геометрия комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 21. Корни n-ой степени из комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ГЛАВА 7. МНОГОЧЛЕНЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 22. Наибольший общий делитель многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 23. Корни многочленов. Схема Горнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 24. Разложение многочленов на неприводимые множители . . . . . . . . . . . . 33 ГЛАВА 8. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 25. Действия с векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 26. Система координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 27. Деление отрезка в данном отношении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 28. Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 29. Векторное и смешанное произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ГЛАВА 9. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 30. Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 31. Плоскость и прямая в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 32. Плоскость и прямая в пространстве (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . 40 3 ГЛАВА 10. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА . . . . . . . . . . . . . . . . 42 33. Аксиоматика и линейная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 34. Базис векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 35. Подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 36. Сумма подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 37. Прямая сумма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 38. Определение линейного оператора. Ядро и образ . . . . . . . . . . . . . . . 47 39. Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 40. Собственные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 41. Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ГЛАВА 12. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА . . . . . . . . . . . . . . . 51 42. Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 43. Процесс ортогонализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 44. Геометрия евклидовых пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 45. Линейные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 46. Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 47. Симметрический оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 48. Ортогональный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ГЛАВА 13. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . . . . . . . . . . . . . . 57 49. Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 50. Преобразование координат на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 51. Эллипс, гипербола, парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 52. Эллипс, гипербола, парабола (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 53. Фокусы и директрисы кривых второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 60 54. Определение типа кривой второго порядка по ее общему уравнению 61 ГЛАВА 14. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 55. Алгоритм Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 56. Положительно определенные квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . 62 57. Приведение к главным осям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4 ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ, КОМБИНАТОРИКА, БИНОМ НЬЮТОНА 1. Принцип математической индукции Доказать с помощью математической индукции тождества для всех целых n > 1: 1. 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1) 2 2. 1 2 + 2 2 + . . . + n 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 3. 1 3 + 2 3 + . . . + n 3 = n 2 (n + 1) 2 4 4. 1 + 3 + 5 + . . . + (2n ? 1) = n 2 5. 1 2 ? 2 2 + 3 2 ? 4 2 + . . . + (?1) n?1 · n 2 = (?1) n?1 · n(n + 1) 2 6. 1 2 + 3 2 + . . . + (2n ? 1) 2 = n(4n 2 ? 1) 3 7. 1 · 2 + 2 · 5 + . . . + n(3n ? 1) = n 2 (n + 1) 8. 1 · 4 + 2 · 7 + . . . + n(3n + 1) = n(n + 1) 2 9. 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) 3 10. 1 · 2 2 + 2 · 3 2 + 3 · 4 2 + . . . + n(n + 1) 2 = n(n + 1)(n + 2)(3n + 5) 12 11. 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + . . . + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4 12. 1 1 · 4 + 1 4 · 7 + 1 7 · 10 + . . . + 1 (3n ? 2)(3n + 1) = n 3n + 1 13. 1 1 · 5 + 1 5 · 9 + 1 9 · 13 + . . . + 1 (4n ? 3)(4n + 1) = n 4n + 1 14. 1 2 1 · 3 + 2 2 3 · 5 + 3 2 5 · 7 + . . . + n 2 (2n ? 1)(2n + 1) = n(n + 1) 2(2n + 1) 15. 1 6 + 1 12 + 1 20 + . . . + 1 n 2 + 3n + 2 = n 2n + 4 16. 1 3 + 1 15 + 1 35 + . . . + 1 4n 2 ? 1 = n 2n + 1 17. 1 + x + x 2 + . . . + x n?1 = 1 ? x n 1 ? x , x 6= 1 Найти короткую формулу для выражений: 18. 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + 1 3 · 4 +. . .+ 1 n(n + 1) 19. 1 1 · 3 + 1 3 · 5 + 1 5 · 7 +. . .+ 1 (2n ? 1)(2n + 1) 20. µ 1 ? 1 2 ¶ µ 1 ? 1 3 ¶ . . . µ 1 ? 1 n + 1 ¶ 21. µ 1 ? 1 4 ¶ µ 1 ? 1 9 ¶ . . . µ 1 ? 1 (n + 1) 2 ¶ 22. 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + . . . + n · n!. 23. 0 1! + 1 2! + . . . + n ? 1 n! Доказать равенства для всех целых n > 1: 24. cos ? cos 2? . . . cos 2 n?1 ? = sin 2 n ? 2 n sin ? 25. 2 cos ? 2 n+1 = r 2 + q 2 + . . . + ? 2, (n корней). 5 26. sin x + sin 2x + . . . + sin nx = sin n + 1 2 x sin x 2 sin nx 2 27. 1 2 + cos x + cos 2x + . . . + cos nx = sin 2n + 1 2 x 2 sin x 2 28. sin x + 2 sin 2x + . . . + n sin nx = (n + 1) sin nx ? n sin(n + 1)x 4 sin 2 x 2 29. cos x + 2 cos 2x + . . . + n cos nx = (n + 1) cos nx ? n cos(n + 1)x ? 1 4 sin 2 x 2 30. 1 2 tg x 2 + 1 2 2 tg x 2 2 + . . . + 1 2 n tg x 2 n = 1 2 n ctg x 2 n ? ctg x, n > 1. Доказать неравенства: 31. 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 3n + 1 > 25 24 , n > 1. 32. 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2n > 13 24 , n > 2. 33. 1 2 · 3 4 · 5 6 . . . 2n ? 1 2n < 1 ? 3n + 1 , n > 2. 34. 4 n n + 1 < (2n)! (n!) 2 , n > 2. 35. 2 n(n?1)/2 > n! , n > 3. 36. ? n < 1 + 1 ? 2 + . . . + 1 ? n < 2 ? n , n > 2. 37. n 2 < 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 2 n ? 1 < n , n > 2. 38. (1 + x) n > 1 + nx , где x > ?1, n > 1. 39. (a + b) n < 2 n?1 (a n + b n ) , где a + b > 0, a 6= b, n > 2. 40. 1 + ? 4c + 1 2 > r c + q c + . . . + ? c , (n квадратных корней), n > 1. 41. Пусть x 1 , x 2 , . . . , x n положительные числа. Доказать, что если x 1 x 2 . . . x n = 1 , то x 1 + x 2 + . . . + x n > n Доказать с помощью принципа математической индукции, что для любого целого положительного n число a делится на b: 42. a = n (2n 2 ? 3n + 1) , b = 6. 43. a = 11 n+1 + 12 2n?1 , b = 133. 44. a = n 5 ? n , b = 5. 45. a = 5 · 2 3n?2 + 3 3n?1 , b = 19. 46. a = 6 2n ? 1 , b = 35. 47. a = 4 n + 15n ? 1 , b = 9. 48. a = 7 n+2 + 8 2n+1 , b = 57. 49. a = 3 2n+3 ? 24n + 37 , b = 64. 50. a = 2 5n+3 + 5 n 3 n+2 , b = 17. 51. a = 2 n+2 · 3 n + 5n ? 4 , b = 25. 52. a = 11 6n+3 + 1 , b = 148. 53. a = 10 n + 18n ? 28 , b = 27. 54. a = 5 n+3 + 11 3n+1 , b = 17. 55. a = 7 2n ? 4 2n , b = 33. 56. a = 6 2n + 19 n ? 2 n+1 , b = 17. 57. a = 6 2n + 3 n+2 + 3 n , b = 11. 58. a = 7 · 5 2n + 12 · 6 n , b = 19. 59. Пусть a 0 = 0 , a n = ? 2 + a n?1 , n = 1, 2, . . .. Доказать, что последовательность a n возрастает. 60. Пусть Ў 2 + ? 3 ў n = a n + b n ? 3 . Доказать, что a 2 n ? 3b 2 n = 1 для любого целого n > 1 6 2. Комбинаторика 61. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7? Сколько из них делится на 5? 62. Сколько пятизначных чисел читается одинаково слева направо и справа налево? 63. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6? 64. Сколько диагоналей имеет выпуклый n-угольник? 65. В выпуклом n-угольнике провели все диагонали, при этом никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сколько имеется точек пересечения указанных диаго- налей? 66. Буквы азбуки Морзе состоят из точек и тире. Сколько букв можно изобразить, если длина каждой буквы не более n? 67. Каждая из n футбольных команд должна встретиться в игре с каждой. Сколько должно быть сыграно матчей? 68. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова а) молоко, б) колобок, в) серебро? 69. Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров, если используются 32 буквы. 70. Игральную кость бросают шесть раз. а) Сколько всевозможных шестерок чисел может таким образом возникнуть? б) Сколько из них не содержит одинаковых чисел? в) Сколько из них не содержит лишь одно, два или три числа? 71. Сколькими способами можно выбрать из колоды в 52 карты 6 карт так, чтобы среди них были все 4 масти? 72. а) Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные двое не могут быть выбраны вместе? б) Сколькими способами можно выбрать m человек из n , если данные p человек не могут быть выбраны вместе? 73. Сколько можно составить пятибуквенных слов из 7 гласных и 25 согласных, если гласные и согласные должны чередоваться? А если, кроме того, ни одна буква не повторяется дважды? 74. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 мужчин и 7 женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом? 75. Сколькими способами можно переставить буквы слова "кофеварка"так, чтобы гласные и согласные буквы чередовались? То же для слова "самовар". 76. Сколькими способами можно переставить буквы слова "пастухи"так, чтобы и гласные и согласные шли в алфавитном порядке? То же для слова "Абакан". 77. На плоскости проведено n прямых так, чтобы никакие две из них не были парал- лельны друг другу и никакие три не проходили через одну точку. Сколько получилось треугольников, стороны которых лежат на этих прямых? 78. На окружности выбрано n различных точек. Сколько существует различных треугольников с вершинами в этих точках. 79. На плоскости даны n точек, из которых p лежит на одной прямой, а кроме них никакие три точки не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников, вершинами которых являются эти точки. 80. На двух параллельных прямых взято p и q точек соответственно. Сколько суще- ствует треугольников с вершинами в этих точках? 7 81. На каждой стороне квадрата взято по n точек (но не вершины). Сколько суще- ствует треугольников с вершинами в этих точках? 82. На плоскости проведено n прямых так, что никакие две из них не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Сколько точек пересечения получилось? 83. На сколько частей делят плоскость n прямых, из которых никакие две не парал- лельны и никакие три не проходят через одну и ту же точку? 84. Сколько существует целочисленных треугольников, длины сторон которых удо- влетворяют неравенствам n < x, y, z 6 2n ? Сколько среди них равнобедренных и сколь- ко равносторонних? 85. Сколько треугольников образуют диагонали, проведенные в выпуклом n-уголь- нике? 86. Сколько существует целочисленных треугольников, длины сторон которых не больше 2n? 87. Сколько существует целочисленных треугольников, длины сторон которых не больше 2n ? 1? 3. Бином Ньютона Разложить по формуле бинома Ньютона и упростить: 88. іa 2 + b ґ 7 89. (a ? 2b) 6 90. (1 + 2x) 5 91. µ x + 1 2x ¶ 8 92. Ў 1 + ? 2 ў 5 93. Ў 1 ? ? 2 ў 5 94. Ў? 6 + ? 12 ў 4 95. 1 27 і? 3 ? ? 15 ґ 6 96. Гr a b ? r b a ! 5 Найти коэффициент многочлена при указанной степени переменной: 97. (a + 1/a) 12 , a 8 98. (x/3 ? 3/x) 15 , x 7 99. (x 5 + 1) 2000 , x 2000 100. Ў ax + x ?1/4 ў 15 , x 0 101. (1 + x) 9 + (1 + x) 10 + . . . + (1 + x) 14 , x 9 102. В разложении Гr b a + 10 r a 7 b 3 ! n найти член, содержащий ab. Сколько целочисленных членов содержат разложения: 103. Ў? 3 + 4 ? 5 ў 124 104. Ў 5 ? 2 + 4 ? 3 ў 100 105. Ў 4 ? 3 + 3 ? 4 ў 120 106. Ў 5 ? 3 + 3 ? 7 ў 36 107. Ў? 3 + 3 ? 2 ў 99 Найти сумму всех коэффициентов многочленов: 108. (4x ? 5) 21 109. µ 3 ? 2x ? 5 ? 2 ¶ 8 Найти наибольший член разложения: 110. (1 + 0.001) 1000 111. (1 + 0.001) 3000 112. Ў? 5 + ? 2 ў 20 Найти наибольшие коэффициенты многочленов: 113. µ 1 3 + 2 3 x ¶ 10 114. µ 1 4 + 3 4 x ¶ 24 115. Ў? 5 + ? 2x ў 30 116. Доказать, что 11 10 ? 1 кратно 100. 117. Доказать, что 11 100 ? 1 кратно 1000. 118. Доказать,что число ? 10 іЎ 1 + ? 10 ў 100 ? Ў 1 ? ? 10 ў 100 ґ является целым. 8 Доказать следующие тождества: 119. C 0 n + C 1 n + . . . + C n n = 2 n . 120. C 0 n ? C 1 n + . . . + (?1) n C n n = 0. 121. C 0 n + 1 2 C 1 n + . . . + 1 n + 1 C n n = 2 n+1 ? 1 n + 1 . 122. C 1 n + 2C 2 n + . . . + nC n n = n2 n?1 123. C 1 n ? 2C 2 n + . . . + (?1) n nC n n = 0 124. C 0 n + 2C 1 n + . . . + (n + 1)C n n = (n + 2)2 n?1 ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ 4. Действия с матрицами Перемножить матрицы в том порядке, в котором это возможно: 125. ? ? 3 1 2 1 1 0 ? ?, µ 2 1 1 3 0 1 ¶ 126. ? ? 1 2 3 ? ?, µ 3 2 1 0 1 2 ¶ 127. ? ? 2 1 3 ? ?, ? ? 1 2 3 ? ?. 128. ? ? 1 2 3 ? ?, Ў 2 4 1 ў 129. Вычислить AA T , где A T матрица, транспонированная к A, и A = µ 3 2 1 2 4 1 1 3 ¶ . Вычислить произведения матриц: 130. ? ? 5 8 ?4 6 9 ?5 4 7 ?3 ? ? · ? ? 3 2 5 4 ?1 3 9 6 5 ? ?. 131. ? ? ? ? 5 7 ?3 ?4 7 6 ?4 ?5 6 4 ?3 ?2 8 5 ?6 ?1 ? ? ? ? · ? ? ? ? 1 2 3 4 2 3 4 5 1 3 5 7 2 4 6 8 ? ? ? ?. 132. ? ? 0 2 ?1 ?2 ?1 2 3 ?2 ?1 ? ? · ? ? 70 34 ?107 52 26 ?68 101 50 ?140 ? ? · ? ? 27 ?18 10 ?46 31 ?17 3 ?2 1 ? ?. Вычислить: 133. ? ? 2 1 1 3 1 0 0 1 2 ? ?. 2 134. µ 2 1 1 3 ¶ 3 135. µ 3 2 ?4 ?2 ¶ 5 136. µ 1 1 0 1 ¶ n 137. µ ? 1 0 ? ¶ n 138. µ cos ? ? sin ? sin ? cos ? ¶ n 139. Следом квадратной матрицы называется сумма элементов, стоящих на главной диагонали. Доказать, что след AB равен следу BA. 140. Матрицы A и B называются перестановочными, если AB = BA. Квадратная матрица A называется скалярной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, а элементы главной диагонали равны между собой, то есть если A = cE , где c число, а E единичная матрица. Доказать утверждение: для того чтобы квадратная матрица A была перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка, необходимо и достаточно, чтобы матрица A была скалярной. 141. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие 9 вне главной диагонали, равны нулю. Доказать утверждение: для того чтобы квадратная матрица A была перестановочна со всеми диагональными матрицами, необходимо и достаточно, чтобы матрица A сама была диагональной. 142. Доказать, что если A диагональная матрица и все элементы ее главной диа- гонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с A, также диаго- нальна. Найти все матрицы, перестановочные с данной: 143. µ 1 2 3 4 ¶ 144. µ 7 ?3 5 ?2 ¶ 145. ? ? 3 1 0 0 3 1 0 0 3 ? ?. 146. ? ? ? ? 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ? ? ? ?. 147. Найти значение многочлена f(x) = 3x 2 ? 2x + 5 от матрицы ? ? 1 ?2 3 2 ?4 1 3 ?5 2 ? ? . 148. Найти значение многочлена f(x) = x 3 ? 7x 2 + 13x ? 5 от матрицы ? ? 5 2 ?3 1 3 ?1 2 2 ?1 ? ? . 149. Доказать, что матрица A = µ a b c d ¶ удовлетворяет уравнению x 2 ? (a + d)x + ad ? bc = 0. 150. Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны нулевой матри- це. 151. Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны единичной мат- рице. 5. Обратная матрица Найти обратные матрицы для следующих матриц (там, где это явно не указано, предполагается, что матрицы имеют порядок n): 152. µ 1 2 3 4 ¶ 153. µ 3 4 5 7 ¶ 154. µ a b c d ¶ 155. µ cos ? ? sin ? sin ? cos ? ¶ 156. ? ? 2 5 7 6 3 4 5 ?2 ?3 ? ?. 157. ? ? 3 ?4 5 2 ?3 1 3 ?5 ?1 ? ?. 158. ? ? 2 7 3 3 9 4 1 5 3 ? ?. 159. ? ? 1 2 2 2 1 ?2 2 ?2 1 ? ?. 160. ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 ?1 ?1 1 ?1 1 ?1 1 ?1 ?1 1 ? ? ? ?. 161. ? ? ? ? 1 2 3 4 2 3 1 2 1 1 1 ?1 1 0 ?2 ?6 ? ? ? ?. 162. ? ? ? ? 1 2 ?1 ?2 3 8 0 ?4 2 2 ?4 ?3 3 8 ?1 ?6 ? ? ? ?. 163. ? ? ? ? 0 0 1 ?1 0 3 1 4 2 7 6 ?1 1 2 2 ?1 ? ? ? ?. 164. ? ? ? ? ? ? 1 1 1 · · · 1 0 1 1 · · · 1 0 0 1 · · · 1 · · · · · · · · 0 0 0 · · · 1 ? ? ? ? ? ? 10 165. ? ? ? ? ? ? 1 1 0 · · · 0 0 1 1 · · · 0 0 0 1 · · · 0 · · · · · · · · 0 0 0 · · · 1 ? ? ? ? ? ? 166. ? ? ? ? ? ? 1 a a 2 a 3 · · · a n 0 1 a a 2 · · · a n?1 0 0 1 a · · · a n?2 · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 0 · · · 1 ? ? ? ? ? ? 167. ? ? ? ? ? ? 1 0 0 · · · 0 0 a 1 0 · · · 0 0 0 a 1 · · · 0 0 · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · a 1 ? ? ? ? ? ? 168. ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 · · · n ? 1 n 0 1 2 · · · n ? 2 n ? 1 0 0 1 · · · n ? 3 n ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · 1 2 0 0 0 · · · 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 169. ? ? ? ? ? ? 1 1 1 · · · 1 1 0 1 · · · 1 1 1 0 · · · 1 · · · · · · · · 1 1 1 · · · 0 ? ? ? ? ? ? 170. ? ? ? ? ? ? 2 ?1 0 · · · 0 ?1 2 ?1 · · · 0 0 ?1 2 · · · 0 · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · 2 ? ? ? ? ? ? 171. ? ? ? ? ? ? 0 1 1 · · · 1 1 0 1 · · · 1 1 1 0 · · · 1 · · · · · · · · 1 1 1 · · · 0 ? ? ? ? ? ? 172. ? ? ? ? ? ? 1 + a 1 1 · · · 1 1 1 + a 1 · · · 1 1 1 1 + a · · · 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 1 1 · · · 1 + a ? ? ? ? ? ? 173. ? ? ? ? ? ? 1 + 1/a 1 1 1 · · · 1 1 1 + 1/a 2 1 · · · 1 1 1 1 + 1/a 3 · · · 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 1 1 · · · 1 + 1/a n ? ? ? ? ? ? Решить матричные уравнения: 174. µ 1 2 3 4 ¶ · X = µ 3 5 5 9 ¶ 175. X · µ 3 ?2 5 ?4 ¶ = µ ?1 2 ?5 6 ¶ 176. µ 3 ?1 5 ?2 ¶ · X · µ 5 6 7 8 ¶ = µ 14 16 9 10 ¶ 177. ? ? 1 2 ?3 3 2 ?4 2 ?1 0 ? ? · X = ? ? 1 ?3 0 10 2 7 10 7 8 ? ?. 178. X · ? ? 5 3 1 1 ?3 ?2 ?5 2 1 ? ? = ? ? ?8 3 0 ?5 9 0 ?2 15 0 ? ?. 179. ? ? 2 ?3 1 4 ?5 2 5 ?7 3 ? ? · X · ? ? 9 7 6 1 1 2 1 1 1 ? ? = ? ? 2 0 ?2 18 12 9 23 15 11 ? ?. 180. ? ? ? ? ? ? 1 1 1 · · · 1 0 1 1 · · · 1 0 0 1 · · · 1 · · · · · · · · 0 0 0 · · · 1 ? ? ? ? ? ? · X = ? ? ? ? ? ? 1 2 3 · · · n 0 1 2 · · · n ? 1 0 0 1 · · · n ? 2 · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · 1 ? ? ? ? ? ? 11 181. µ 2 ?3 4 ?6 ¶ · X = µ 2 3 4 6 ¶ 182. X · µ 3 6 4 8 ¶ = µ 2 4 9 18 ¶ 183. µ 4 6 6 9 ¶ · X = µ 1 1 1 1 ¶ 184. ? ? 3 ?1 2 4 ?3 3 1 3 0 ? ? · X = ? ? 3 9 7 1 11 7 7 5 7 ? ?. 185. Как изменится обратная матрица A ?1 , если в данной матрице A: а) переставить i-ю и j-ю строки? б) i-ю строку умножить на число c, не равное нулю? в) к i-й строке прибавить j-ю, умноженную на число c, или совершить аналогичное преобразование столбцов? 186. Целочисленная квадратная матрица называется унимодулярной, если ее опре- делитель равен ±1. Доказать, что целочисленная матрица тогда и только тогда имеет целочисленную обратную матрицу, когда данная матрица унимодулярна. 187. Показать, что матричное уравнение AX = 0, где A квадратная матрица, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда |A| = 0. 188. Пусть A и B неособенные матрицы одного и того же порядка. Показать, что четыре равенства: AB = BA , AB ?1 = B ?1 A , A ?1 B = BA ?1 , A ?1 B ?1 = B ?1 A ?1 равносильны между собой. ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 6. Метод Гаусса Решить системы линейных уравнений: 189. 2x 1 +7x 2 +3x 3 + x 4 = 6, 3x 1 +5x 2 +2x 3 +2x 4 = 4, 9x 1 +4x 2 + x 3 +7x 4 = 2. 190. 2x 1 ?3x 2 + 5x 3 + 7x 4 = 1, 4x 1 ?6x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 2, 2x 1 ?3x 2 ?11x 3 ?15x 4 = 1. 191. 3x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 = 3, 6x 1 + 8x 2 +2x 3 + 5x 4 = 7, 9x 1 +12x 2 +3x 3 +10x 4 = 13. 192. 3x 1 ?5x 2 +2x 3 +4x 4 = 2, 7x 1 ?4x 2 + x 3 +3x 4 = 5, 5x 1 +7x 2 ?4x 3 ?6x 4 = 3. 193. 2x 1 +5x 2 ?8x 3 = 8, 4x 1 +3x 2 ?9x 3 = 9, 2x 1 +3x 2 ?5x 3 = 7, x 1 +8x 2 ?7x 3 = 12. 194. 3x 1 ?2x 2 +5x 3 +4x 4 = 2, 6x 1 ?4x 2 +4x 3 +3x 4 = 3, 9x 1 ?6x 2 +3x 3 +2x 4 = 4. 195. 2x 1 ? x 2 + 3x 3 ? 7x 4 = 5, 6x 1 ?3x 2 + x 3 ? 4x 4 = 7, 4x 1 ?2x 2 +14x 3 ?31x 4 = 18. 196. 9x 1 ?3x 2 +5x 3 + 6x 4 = 4, 6x 1 ?2x 2 +3x 3 + x 4 = 5, 3x 1 ? x 2 +3x 3 +14x 4 = ?8. 197. 3x 1 +2x 2 +2x 3 +2x 4 = 2, 2x 1 +3x 2 +2x 3 +5x 4 = 3, 9x 1 + x 2 +4x 3 ?5x 4 = 1, 2x 1 +2x 2 +3x 3 +4x 4 = 5, 7x 1 + x 2 +6x 3 ? x 4 = 7. 198. x 1 + x 2 +3x 3 ?2x 4 +3x 5 = 1, 2x 1 +2x 2 +4x 3 ? x 4 +3x 5 = 2, 3x 1 +3x 2 +5x 3 ?2x 4 +3x 5 = 1, 2x 1 +2x 2 +8x 3 ?3x 4 +9x 5 = 2. 12 199. 2x 1 ? x 2 + x 3 +2x 4 + 3x 5 = 2, 6x 1 ?3x 2 +2x 3 +4x 4 + 5x 5 = 3, 6x 1 ?3x 2 +4x 3 +8x 4 +13x 5 = 9, 4x 1 ?2x 2 + x 3 + x 4 + 2x 5 = 1. 200. 6x 1 +4x 2 +5x 3 +2x 4 +3x 5 = 1, 3x 1 +2x 2 +4x 3 + x 4 +2x 5 = 3, 3x 1 +2x 2 ?2x 3 + x 4 = ?7, 9x 1 +6x 2 + x 3 +3x 4 +2x 5 = 2. 201. x 1 +2x 2 +3x 3 ?2x 4 + x 5 = 4, 3x 1 +6x 2 +5x 3 ?4x 4 +3x 5 = 5, x 1 +2x 2 +7x 3 ?4x 4 + x 5 = 11, 2x 1 +4x 2 +2x 3 ?3x 4 +3x 5 = 6. 202. 6x 1 +3x 2 +2x 3 +3x 4 +4x 5 = 5, 4x 1 +2x 2 + x 3 +2x 4 +3x 5 = 4, 4x 1 +2x 2 +3x 3 +2x 4 + x 5 = 0, 2x 1 + x 2 +7x 3 +3x 4 +2x 5 = 1. 203. 8x 1 +6x 2 +5x 3 +2x 4 = 21, 3x 1 +3x 2 +2x 3 + x 4 = 10, 4x 1 +2x 2 +3x 3 + x 4 = 8, 3x 1 +5x 2 + x 3 + x 4 = 15, 7x 1 +4x 2 +5x 3 +2x 4 = 18. 204. 2x 1 + 3x 2 + x 3 +2x 4 = 4, 4x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 5, 5x 1 +11x 2 +3x 3 +2x 4 = 2, 2x 1 + 5x 2 + x 3 + x 4 = 1, x 1 ? 7x 2 ? x 3 +2x 4 = 7. 205. x 1 +2x 2 +3x 3 + x 4 = 3, x 1 +4x 2 +5x 3 +2x 4 = 2, 2x 1 +9x 2 +8x 3 +3x 4 = 7, 3x 1 +7x 2 +7x 3 +2x 4 = 12, 5x 1 +7x 2 +9x 3 +2x 4 = 20. 206. 12x 1 +14x 2 ?15x 3 +23x 4 +27x 5 = 5, 16x 1 +18x 2 ?22x 3 +29x 4 +37x 5 = 8, 18x 1 +20x 2 ?21x 3 +32x 4 +41x 5 = 9, 10x 1 +12x 2 ?16x 3 +20x 4 +23x 5 = 4. 207. 10x 1 +23x 2 +17x 3 + 44x 4 = 25, 15x 1 +35x 2 +26x 3 + 69x 4 = 40, 25x 1 +57x 2 +42x 3 +108x 4 = 65, 30x 1 +69x 2 +51x 3 +133x 4 = 95. 208. 45x 1 ?28x 2 +34x 3 +52x 4 = 9, 36x 1 ?23x 2 +29x 3 ?43x 4 = 3, 35x 1 ?21x 2 +28x 3 ?45x 4 = 16, 47x 1 ?32x 2 +36x 3 ?48x 4 = ?17, 27x 1 ?19x 2 +22x 3 ?35x 4 = 6. 209. 12x 2 ?16x 3 +25x 4 = 29, 27x 1 +24x 2 ?32x 3 +47x 4 = 55, 50x 1 +51x 2 ?68x 3 +95x 4 = 115, 31x 1 +21x 2 ?28x 3 +46x 4 = 50. 210. 24x 1 +14x 2 +30x 3 +40x 4 + 41x 5 = 28, 36x 1 +21x 2 +45x 3 +61x 4 + 62x 5 = 43, 48x 1 +28x 2 +60x 3 +82x 4 + 83x 5 = 58, 60x 1 +35x 2 +75x 3 +99x 4 +102x 5 = 69. Исследовать системы линейных уравнений и найти общее решение в зависимости от значений параметра ?: 211. 5x 1 ?3x 2 +2x 3 + 4x 4 = 3, 4x 1 ?2x 2 +3x 3 + 7x 4 = 1, 8x 1 ?6x 2 ? x 3 ? 5x 4 = 9, 7x 1 ?3x 2 +7x 3 +17x 4 = ?. 212. 3x 1 +2x 2 +5x 3 + 4x 4 = 3, 2x 1 +3x 2 +6x 3 + 8x 4 = 5, x 1 ?6x 2 ?9x 3 ?20x 4 = ?11, 4x 1 + x 2 +4x 3 + ?x 4 = 2. 213. 2x 1 + 5x 2 + x 3 +3x 4 = 2, 4x 1 + 6x 2 +3x 3 +5x 4 = 4, 4x 1 +14x 2 + x 3 +7x 4 = 4, 2x 1 ? 3x 2 +3x 3 +?x 4 = 7. 214. 2x 1 ? x 2 +3x 3 + 4x 4 = 5, 4x 1 ?2x 2 +5x 3 + 6x 4 = 7, 6x 1 ?3x 2 +7x 3 + 8x 4 = 9, ?x 1 ?4x 2 +9x 3 +10x 4 = 11. 215. 2x 1 + 3x 2 + x 3 +2x 4 = 3, 4x 1 + 6x 2 +3x 3 +4x 4 = 5, 6x 1 + 9x 2 +5x 3 +6x 4 = 7, 8x 1 +12x 2 +7x 3 +?x 4 = 9. 216. ?x 1 + x 2 + x 3 = 1, x 1 +?x 2 + x 3 = 1, x 1 + x 2 +?x 3 = 1. 217. ?x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1, x 1 +?x 2 + x 3 + x 4 = 1, x 1 + x 2 +?x 3 + x 4 = 1, x 1 + x 2 + x 3 +?x 4 = 1. 218. (1 + ?)x 1 + x 2 + x 3 = 1, x 1 +(1 + ?)x 2 + x 3 = ?, x 1 + x 2 +(1 + ?)x 3 = ? 2 . 13 219. (? + 1)x 1 + x 2 + x 3 = ? 2 + 3?, x 1 +(? + 1)x 2 + x 3 = ? 3 + 3? 2 , x 1 + x 2 +(? + 1)x 3 = ? 4 + 3? 3 . 220. (? + 3)x 1 + x 2 + 2x 3 = ?, ?x 1 +(? ? 1)x 2 + x 3 = 2?, 3(? + 1)x 1 + ?x 2 +(? + 3)x 3 = 5. 221. ?x 1 +?x 2 + (? + 1)x 3 = ?, ?x 1 +?x 2 + (? ? 1)x 3 = ?, (? + 1)x 1 +?x 2 +(2? + 3)x 3 = 1. Исследовать системы линейных уравнений и найти общее решение в зависимости от значений параметров, входящих в коэффициенты: 222. x 1 + x 2 + x 3 = 1, ax 1 + bx 2 + cx 3 = d, a 2 x 1 +b 2 x 2 +c 2 x 3 = d 2 . 223. ax 1 + x 2 + x 3 = 1, x 1 +bx 2 + x 3 = 1, x 1 + x 2 +cx 3 = 1. 224. ax+ by+ z = 1, x+aby+ z = b, x+ by+az = 1. 225. ax+ y+z = 4, x+ by+z = 3, x+2by+z = 4. 7. Метод Крамера Следующие системы решить с помощью формул Крамера: 226. 2x 1 +2x 2 ? x 3 + x 4 = 4, 4x 1 +3x 2 ? x 3 +2x 4 = 6, 8x 1 +5x 2 ?3x 3 +4x 4 = 12, 3x 1 +3x 2 ?2x 3 +2x 4 = 6. 227. 2x 1 +3x 2 +11x 3 +5x 4 = 2, x 1 + x 2 + 5x 3 +2x 4 = 1, 2x 1 + x 2 + 3x 3 +2x 4 = ?3, x 1 + x 2 + 3x 3 +4x 4 = ?3. 228. 2x 1 + 5x 2 +4x 3 + x 4 = 20, x 1 + 3x 2 +2x 3 + x 4 = 11, 2x 1 +10x 2 +9x 3 +7x 4 = 40, 3x 1 + 8x 2 +9x 3 +2x 4 = 37. 229. 3x 1 +4x 2 + x 3 +2x 4 = ?3, 3x 1 +5x 2 +3x 3 +5x 4 = ?6, 6x 1 +8x 2 + x 3 +5x 4 = ?8, 3x 1 +5x 2 +3x 3 +7x 4 = ?8 230. 7x 1 +9x 2 +4x 3 +2x 4 = 2, 2x 1 ?2x 2 + x 3 + x 4 = 6, 5x 1 +6x 2 +3x 3 +2x 4 = 3, 2x 1 +3x 2 + x 3 + x 4 = 0. 231. 6x 1 +5x 2 ?2x 3 +4x 4 = ?4, 9x 1 ? x 2 +4x 3 ? x 4 = 13, 3x 1 +4x 2 +2x 3 ?2x 4 = 1, 3x 1 ?9x 2 + 2x 4 = 11. 232. 2x 1 ? x 2 ?6x 3 + 3x 4 = ?1, 7x 1 ?4x 2 +2x 3 ?15x 4 = ?32, x 1 ?2x 2 ?4x 3 + 9x 4 = 5, x 1 ? x 2 +2x 3 ? 6x 4 = ?8. 233. 2x 1 + x 2 +4x 3 +8x 4 = ?1, x 1 +3x 2 ?6x 3 +2x 4 = 3, 3x 1 ?2x 2 +2x 3 ?2x 4 = 8, 2x 1 ? x 2 + 2x 3 = 4. 234. 2x 1 ? x 2 +3x 3 = 9, 3x 1 ?5x 2 + x 3 = ?4, 4x 1 ?7x 2 + x 3 = 5. 235. 2x 1 ?5x 2 +3x 3 + x 4 = 5, 3x 1 ?7x 2 +3x 3 ? x 4 = ?1, 5x 1 ?9x 2 +6x 3 +4x 4 = 7, 4x 1 ?6x 2 +3x 3 + x 4 = 8. 8. Фундаментальная система решений Найти общее решение и фундаментальную систему решений для систем уравнений: 236. x 1 +2x 2 + 4x 3 ? 3x 4 = 0, 3x 1 +5x 2 + 6x 3 ? 4x 4 = 0, 4x 1 +5x 2 ? 2x 3 + 3x 4 = 0, 3x 1 +8x 2 +24x 3 ?19x 4 = 0. 237. 2x 1 ?4x 2 + 5x 3 + 3x 4 = 0, 3x 1 ?6x 2 + 4x 3 + 2x 4 = 0, 4x 1 ?8x 2 +17x 3 +11x 4 = 0. 14 238. 3x 1 +2x 2 + x 3 +3x 4 +5x 5 = 0, 6x 1 +4x 2 +3x 3 ?5x 4 +7x 5 = 0, 9x 1 +6x 2 +5x 3 +7x 4 +9x 5 = 0, 3x 1 +2x 2 + 4x 4 +8x 5 = 0. 239. 3x 1 +5x 2 +2x 3 = 0, 4x 1 +7x 2 +5x 3 = 0, x 1 + x 2 ?4x 3 = 0, 2x 1 +9x 2 +6x 3 = 0. 240. 6x 1 ?2x 2 +2x 3 +5x 4 +7x 5 = 0, 9x 1 ?3x 2 +4x 3 +8x 4 +9x 5 = 0, 6x 1 ?2x 2 +6x 3 +7x 4 + x 5 = 0, 3x 1 ? x 2 +4x 3 +4x 4 ? x 5 = 0. 241. x 1 ?x 3 = 0, x 2 ?x 4 = 0, ?x 1 + x 3 ? x 5 = 0, ?x 2 + x 4 ? x 6 = 0, ?x 3 +x 5 = 0, ?x 4 +x 6 = 0. 242. x 1 ?x 3 +x 5 =0, x 2 ?x 4 +x 6 =0, x 1 ?x 2 +x 5 ? x 6 = 0, x 2 ?x 3 +x 6 =0, x 1 ?x 4 +x 5 =0. 243. 5x 1 +6x 2 ?2x 3 +7x 4 +4x 5 = 0, 2x 1 +3x 2 ? x 3 +4x 4 +2x 5 = 0, 7x 1 +9x 2 ?3x 3 +5x 4 +6x 5 = 0, 5x 1 +9x 2 ?3x 3 + x 4 +6x 5 = 0. 244. 3x 1 + 4x 2 + x 3 +2x 4 +3x 5 = 0, 5x 1 + 7x 2 + x 3 +3x 4 +4x 5 = 0, 4x 1 + 5x 2 +2x 3 + x 4 +5x 5 = 0, 7x 1 +10x 2 + x 3 +6x 4 +5x 5 = 0. ГЛАВА 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 9. Определители второго и третьего порядков Вычислить определители: 245. 3 5 5 8 . 246. 2 3 1 4 . 247. 2 1 ?1 2 . 248. cos ? ? sin ? sin ? cos ? . 249. ab ac bd cd . 250. sin ? cos ? ? cos ? sin ? . 251. sin ? sin ? cos ? cos ? . 252. tg ? ?1 1 tg ? . 253. sin ? + sin ? cos ? + cos ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? . 254. 2 sin ? cos ? 2 sin 2 ? ? 1 2 cos 2 ? ? 1 2 sin ? cos ? . 255. 1 + ? 2 2 ? ? 3 2 + ? 3 1 ? ? 2 256. 1 lg b a lg a b 1 257. a + b b + d a + c c + d . 258. a + b a ? b a ? b a + b . 259. x ? 1 1 x 3 x 2 + x + 1 . Пользуясь определителями, решить системы уравнений: 260. 2x+5y = 1, 3x+7y = 2. 261. 2x+3y = 4, 4x?5y = 10. 262. 5x?7y = 1, x?2y = 0. 263. 4x+7y + 13 = 0, 5x+8y + 14 = 0. 264. x cos ??y sin ? = cos ?, x sin ?+y cos ? = sin ?. 15 Исследовать, будет ли система уравнений определена, неопределена или несовместна: 265. 3x?2y = 2, 6x?4y = 3. 266. ax+4y = 2, 9x+ay = 3. 267. ax+by = ad, bx+cy = bd. 268. ax?9y = 6, 10x?by = 10. 269. Доказать, что при действительных a, b, c корни уравнения a ? x b b c ? x = 0 будут действительными. Вычислить определители: 270. 1 2 3 5 1 4 3 2 5 271. ?1 5 4 3 ?2 0 ?1 3 6 272. 0 2 2 2 0 2 2 2 0 273. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 274. 1 1 1 ?1 0 1 ?1 ?1 0 275. 0 1 1 1 0 1 1 1 0 276. 1 1 1 1 2 3 1 3 6 277. a b c b c a c a b 278. 0 a 0 b c d 0 e 0 279. a a a ?a a a ?a ?a a 280. sin ? cos ? 1 sin ? cos ? 1 sin ? cos ? 1 Пользуясь определителями, решить системы уравнений: 281. 2x + 3y + 5z = 2, 3x + 7y + 4z = 3, x + 2y + 2z = 3. 282. 5x ? 6y + 4z = 3, 3x ? 3y + 2z = 2, 4x ? 5y + 2z = 1. 283. 4x ? 3y + 2z + 4 = 0, 6x ? 2y + 3z + 1 = 0, 5x ? 3y + 2z + 3 = 0. 284. 5x + 2y + 3z +2 = 0, 2x ? 2y + 5z = 0, 3x + 4y + 2z+10 = 0. 285. 2ax ? 3by + cz = 0, 3ax ? 6by + 5cz= 2abc, 5ax ? 4by + 2cz= 3abc, abc 6= 0. 286. 4bcx + acy ? 2abz = 0, 5bcx + 3acy ? 4abz + abc = 0, 3bcx + 2acy ? abz ? 4abc = 0, abc 6= 0. Исследовать, будет ли система уравнений определена, неопределена или несовместна: 287. 2ax?23y+29z = 4, 7x+ ay+ 4z = 7, 5x+ 2y+ az = 5. 288. ax ? 3y+ 5z = 4, x ? ay+ 3z = 2, 9x ? 7y+8az = 0. 289. ax + 4y + z = 0, 2y + 3z ? 1 = 0, 3x ? by + 2 = 0. 290. ax + 2z = 2, 5x + 2y = 1, x ? 2y + bz = 3. 291. Прямым вычислением по правилу треугольников доказать следующие свойства определителя третьего порядка: (i) определитель не изменяется при транспонировании; (ii) при перестановке двух строк (столбцов) определитель изменяет знак; (iii) при умножении какой-нибудь строки (столбца) на одно и то же число определи- тель умножается на это число; (iv) если каждый элемент некоторой строки определителя представлен в виде двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме данной, прежние, а в данной строке в первом определителе стоят первые слага- емые, а во втором вторые (то же верно для столбцов); 16 (v) определитель равен нулю, если какая-нибудь строка равна нулю или имеется две одинаковых или пропорциональных строки (то же верно для столбцов); (vi) если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие эле- менты другой строки, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится (то же верно для столбцов); Пользуясь свойствами определителей из предыдущей задачи, вычислить следующие определители: 292. sin 2 ? 1 cos 2 ? sin 2 ? 1 cos 2 ? sin 2 ? 1 cos 2 ? 293. sin 2 ? cos 2? cos 2 ? sin 2 ? cos 2? cos 2 ? sin 2 ? cos 2? cos 2 ? 294. x u ax + bu y v ay + bv z w az + bw 295. a + b c 1 b + c a 1 c + a b 1 296. sin ? cos ? sin(? + ?) sin ? cos ? sin(? + ?) sin ? cos ? sin(? + ?) Не развертывая определителей, доказать следующие тождества: 297. a 1 b 1 a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 b 2 a 2 x + b 2 y + c 2 a 3 b 3 a 3 x + b 3 y + c 3 = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 298. a 1 + b 1 x a 1 ? b 1 x c 1 a 2 + b 2 x a 2 ? b 2 x c 2 a 3 + b 3 x a 3 ? b 3 x c 3 = ?2x a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 299. a 1 + b 1 x a 1 x + b 1 c 1 a 2 + b 2 x a 2 x + b 2 c 2 a 3 + b 3 x a 3 x + b 3 c 3 = (1 ? x 2 ) a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 300. 1 a bc 1 b ca 1 c ab = (b ? a)(c ? a)(c ? b) 301. 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2 = (b ? a)(c ? a)(c ? b) 302. 1 1 1 a b c a 3 b 3 c 3 = (a + b + c)(b ? a)(c ? a)(c ? b) 303. 1 1 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 = (ab + bc + ca)(b ? a)(c ? a)(c ? b) 10. Перестановки 304. Выписать транспозиции, посредством которых от перестановки (1, 2, 3, 4, 5) мож- но перейти к перестановке (2, 5, 4, 3, 1). Определить число инверсий в перестановках и определить их четность: 305. (2, 3, 5, 4, 1). 306. (6, 3, 1, 2, 5, 4). 307. (1, 9, 6, 3, 2, 5, 4, 7, 8). 308. (7, 5, 6, 4, 1, 3, 2). 309. (1, 3, 4, 7, 8, 2, 6, 9, 5). 310. (2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4). 311. Подобрать i и k так, чтобы: а) перестановка (1, 2, 7, 4, i, 5, 6, k, 9) была четной, б) перестановка (1, i, 2, 5, k, 4, 8, 9, 7) была нечетной. 17 Определить число инверсий и четность перестановок в зависимости от n: 312. (n, n ? 1, . . . , 2, 1). 313. (1, 3, 5, . . . , 2n ? 1, 2, 4, 6, . . . , 2n). 314. (2, 4, 6, . . . , 2n, 1, 3, 5, . . . , 2n ? 1). 315. (1, 4, 7, . . . , 3n ? 2, 2, 5, 8, . . . , 3n ? 1, 3, 6, 9, . . . , 3n). 316. (3, 6, 9, . . . , 3n, 2, 5, 8, . . . , 3n ? 1, 1, 4, 7, . . . , 3n ? 2). 317. (2, 5, 8, . . . , 3n ? 1, 3, 6, 9, . . . , 3n, 1, 4, 7, . . . , 3n ? 2). 318. (2, 5, 8, . . . , 3n ? 1, 1, 4, 7, . . . , 3n ? 2, 3, 6, 9, . . . , 3n). 319. (1, 5, . . . , 4n ? 3, 2, 6, . . . , 4n ? 2, 3, 7, . . . , 4n ? 1, 4, 8, . . . , 4n). 320. (1, 5, . . . , 4n ? 3, 3, 7, . . . , 4n ? 1, 2, 6, . . . , 4n ? 2, 4, 8, . . . , 4n). 321. В перестановке (i 1 , i 2 , . . . , i n ) имеется k инверсий. Сколько инверсий имеется в перестановке (i n , i n?1 , . . . , i 2 , i 1 ) ? 322. В какой перестановке чисел (1, 2, . . . , n) число инверсий наибольшее и чему оно равно? 323. Сколько инверсий образует число 1, стоящее на k-том месте перестановки? 324. Сколько инверсий образует число n, стоящее на k-том месте перестановки? 325. Чему равна сумма числа инверсий и числа порядков в любой перестановке чисел 1, 2, . . . , n ? 326. Для каких чисел n четность числа инверсий и числа порядков во всех переста- новках чисел 1, 2, . . . , n одинакова и для каких противоположна? 327. Сколько инверсий во всех перестановках n элементов вместе? 328. Доказать, что для любого целого k (0 6 k 6 C 2 n ) существует перестановка чисел 1, 2, . . . , n , число инверсий которой равно k. 11. Определение определителя Выяснить, входят ли и с каким знаком входят в определители соответствующих порядков произведения: 329. a 43 a 21 a 35 a 12 a 54 330. a 13 a 24 a 23 a 41 a 55 331. a 21 a 13 a 34 a 55 a 42 332. a 23 a 31 a 42 a 56 a 14 a 65 333. a 32 a 43 a 14 a 51 a 66 a 25 334. a 61 a 23 a 45 a 36 a 12 a 54 335. a 27 a 36 a 51 a 74 a 25 a 43 a 62 336. a 33 a 16 a 72 a 27 a 55 a 61 a 44 337. a 12 a 23 a 34 . . . a n?1,n a kk , 1 6 k 6 n. 338. a 12 a 23 . . . a n?1,n a n,1 339. a 12 a 21 a 34 a 43 . . . a 2n?1,2n a 2n,2n?1 340. a 11 a 2,n a 3,n?1 . . . a n,2 341. Выбрать значения i и k так, чтобы произведение a 62 a i5 a 33 a k4 a 46 a 21 входило бы в определитель 6-го порядка со знаком минус. 342. Подобрать i и k так, чтобы произведение a 47 a 63 a 1i a 55 a 7k a 24 a 31 входило в опре- делитель 7-го порядка со знаком плюс. 343. Подобрать i и k так, чтобы произведение a 1i a 32 a 4k a 25 a 53 входило в определитель 5-го порядка со знаком плюс. 344. Выписать все слагаемые, входящие в состав определителя 4-го порядка со зна- ком минус и содержащие множителем a 23 345. Найти члены определителя 4-го порядка, содержащие элемент a 32 и входящие в определитель со знаком плюс. 346. Выписать все слагаемые, входящие в определитель 5-го порядка и имеющие вид a 14 a 23 a 3? 3 a 4? 4 a 5? 5 . Что получится, если из суммы вынести a 14 a 23 |