Геометрия. Сборник задач по геометрии и алгебре. Ке мерово, 2008 г. Первое издание этого задачника вышло в 1996 году со следующей аннотацией
 Скачать 416.23 Kb.
|
|
V размерности n над полем F . Найти число таких подпространств W в V , что V = U ? W . 980. Пусть V линейное пространство над бесконечным полем F и V 1 , . . . , V k подпространства в V , причем V = V 1 ? . . . ? V k . Доказать, что V = V i для некоторого i. 46 ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 38. Определение линейного оператора. Ядро и образ Какие из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах яв- ляются линейными операторами. Для линейных операторов найти ядро и образ: 981. x 7? a (a фиксированный вектор). 982. x 7? x + a (a фиксированный вектор). 983. x 7? ?x (? фиксированный скаляр). 984. x 7? (x, a)b ((x, a) скалярное произведение, a, b фиксированные векторы). 985. x 7? (a, x)x ((x, a) скалярное произведение, a фиксированный вектор). 986. f(x) 7? f(ax + b) (f ? R n [x] , a, b фиксированные числа). 987. f(x) 7? f(x + 1) ? f(x) (f ? R n [x] ). 988. f(x) 7? f (k) (x) (f ? R n [x] ). 989. (x 1 , x 2 , x 3 ) 7? (x 1 + 2, x 2 + 5, x 3 ) 990. (x 1 , x 2 , x 3 ) 7? (x 2 + x 3 , 2x 1 + x 3 , 3x 1 ? x 2 + x 3 ) 991. (x 1 , x 2 , x 3 ) 7? (x 1 + 3x 3 , x 3 2 , x 1 + x 3 ) 992. (x 1 , x 2 , x 3 ) 7? (x 1 , x 2 , x 1 + x 2 + x 3 ) 993. Доказать, что всякий линейный оператор любую линейно зависимую систему векторов переводит в линейно зависимую систему. 994. Доказать, что в n-мерном пространстве для любой линейно независимой систе- мы векторов a 1 , . . . , a n и произвольной системы векторов b 1 , . . . , b n найдется единствен- ный линейный оператор, переводящий a i в b i (i = 1, . . . , n). 995. Доказать, что в одномерном векторном пространстве всякий линейный оператор имеет вид x 7? ?x, где ? некоторый скаляр. 996. Доказать, что всякое подпространство векторного пространства является: а) ядром некоторого линейного оператора; б) образом некоторого линейного оператора. 997. Доказать, что если два линейных оператора ранга 1 имеют равные ядра и рав- ные образы, то они перестановочны. 998. Если для линейного оператора ? векторного пространства V выполняется ра- венство ? 2 = ? , то V = Ker ? ? Im ?. Доказать. 999. Пусть ? линейный оператор ранга 1. Доказать, что хотя бы один из операто- ров ? + ?, ? ? ? обратим. (Здесь ? тождественный оператор.) 1000. Пусть ? линейный оператор в пространстве V , L подпространство V и L ? Ker ? = 0. Доказать, что любая линейно независимая система векторов из L оператором ? переводится в линейно независимую систему. 39. Матрица линейного оператора Найти матрицу оператора в указанном базисе: 1001. (x 1 , x 2 , x 3 ) 7? (x 1 , x 1 + 2x 2 , x 2 + 3x 3 ) в пространстве R 3 в базисе из единичных векторов. 1002. Поворот плоскости на угол ? вокруг начала координат в произвольном орто- нормированном базисе. 1003. Поворот трехмерного пространства на угол 2? 3 вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями x 1 = x 2 = x 3 , в базисе из единичных векторов осей координат. 47 1004. Проектирование трехмерного пространства на координатную ось вектора e 2 параллельно координатной плоскости векторов e 1 и e 3 в базисе e 1 , e 2 , e 3 1005. x 7? (x, a)a в пространстве R 3 в ортонормированном базисе e 1 , e 2 , e 3 , если a = e 1 ? 2e 3 1006. X 7? µ a b c d ¶ X в пространстве M 2 (R) в базисе из матричных единиц. 1007. X 7? X µ a b c d ¶ в пространстве M 2 (R) в базисе из матричных единиц. 1008. X 7? X T в пространстве M 2 (R) в базисе из матричных единиц. 1009. X 7? AXB (A, B фиксированные матрицы в пространстве M 2 (R) в базисе, состоящем из матричных единиц. 1010. X 7? AX + XB (A, B фиксированные матрицы в пространстве M 2 (R) в базисе, состоящем из матричных единиц. 1011. Дифференцирование в пространстве R n [x] в базисе 1, x, . . . , x n 1012. Дифференцирование в пространстве R n [x] в базисе x n , x n?1 , . . . , 1 1013. Дифференцирование в пространстве R n [x] в базисе 1, x ? 1, (x ? 1) 2 2 , . . . , (x ? 1) n n! 1014. Доказать, что в пространстве R 3 существует единственный линейный опера- тор, переводящий векторы (1, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 2) соответственно в векторы (1, 1, 1), (0, 1, 0) , (1, 0, 1) и найти матрицу этого оператора в базисе, состоящем из единичных векторов. 1015. Пусть линейный оператор в пространстве V в базисе e 1 , e 2 , e 3 , e 4 имеет матрицу ? ? ? ? 0 1 2 3 5 4 0 ?1 3 2 0 3 6 1 ?1 7 ? ? ? ? . Найти матрицу этого оператора в базисах: а) e 2 , e 1 , e 3 , e 4 ; б) e 1 , e 1 + e 2 , e 1 + e 2 + e 3 , e 1 + e 2 + e 3 + e 4 1016. Линейный оператор в пространстве R 2 [x] имеет в базисе 1, x, x 2 матрицу ? ? 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ? ? . Найти его матрицу в базисе 3x 2 + 2x + 1 , x 2 + 3x + 2 , 2x 2 + x + 3 1017. Линейный оператор в пространстве R 3 имеет в базисе (8, ?6, 7), (?16, 7, ?13), (9, ?3, 7) матрицу ? ? 1 ?18 15 ?1 ?22 20 1 ?25 22 ? ? . Найти его матрицу в базисе (1, ?2, 1), (3, ?1, 2), (2, 1, 2). 1018. Пусть линейный оператор ? в n-мерном векторном пространстве V переводит линейно независимые векторы a 1 , . . . , a n в векторы b 1 , . . . , b n соответственно. Доказать, 48 что матрица этого оператора в некотором базисе e 1 , . . . , e n равна BA ?1 , где столбцы мат- риц A и B состоят соответственно из координат заданных векторов в базисе e 1 , . . . , e n 1019. Найти общий вид матрицы линейного оператора ? в базисе, первые k векторов которого составляют: а) базис ядра оператора ?; б) базис образа оператора ?. 1020. Оператор ? в базисе a 1 = (1, 2) , a 2 = (2, 3) имеет матрицу µ 3 5 4 3 ¶ . Оператор ? в базисе b 1 = (3, 1) , b 2 = (4, 2) имеет матрицу µ 4 6 6 9 ¶ Найти матрицу оператора ? + ? в базисе b 1 , b 2 1021. Оператор ? в базисе a 1 = (?3, 7) , a 2 = (1, ?2) имеет матрицу µ 2 ?1 5 ?3 ¶ Оператор ? в базисе b 1 = (6, ?7) , b 2 = (?5, 6) имеет матрицу µ 1 3 2 7 ¶ Найти матрицу оператора ?? в том базисе, в котором даны координаты всех векто- ров. 40. Собственные векторы Найти собственные векторы и собственные значения операторов: 1022. Оператор дифференцирования в пространстве R n [x] 1023. Оператор X 7? X T в пространстве M n (R) 1024. Оператор x d dx в пространстве R n [x] 1025. Оператор 1 x x Z 0 f (t)dt в пространстве R n [x] 1026. Доказать, что в пространстве R n [x] линейный оператор f 7? f(ax + b) имеет следующие собственные значения: 1, a, . . . , a n 1027. Доказать, что собственный вектор линейного оператора ? с собственным зна- чением ? является собственным вектором оператора f(?), где f(x) многочлен, с собственным значением f(?). 1028. Доказать, что если оператор ? невырожденный, то операторы ? и ? ?1 имеют одни и те же собственные векторы. 1029. Доказать, что все ненулевые векторы пространства являются собственными для линейного оператора ? тогда и только тогда, когда ? оператор подобия x 7? ?x, где ? некоторый фиксированный скаляр. 1030. Доказать, что если линейный оператор ? в n-мерном пространстве имеет n различных собственных значений, то любой линейный оператор, перестановочный с ?, имеет базис, состоящий из его собственных векторов. 1031. Доказать, что если оператор ? 2 имеет собственное значение ? 2 , то одно из чисел ? и ?? является собственным значением оператора ?. 1032. Доказать, что всякий многочлен степени n со старшим коэффициентом (?1) n является характеристическим многочленом некоторой матрицы порядка n. 1033. Доказать, что если A и B квадратные матрицы одинакового порядка, то матрицы AB и BA имеют совпадающие характеристические многочлены. 49 1034. Найти характеристические числа матрицы A T · A , где A матрица-строка (a 1 , . . . , a n ) 1035. Доказать, что все характеристические числа матрицы отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица невырождена. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами: 1036. ? ? 2 ?1 2 5 ?3 3 ?1 0 ?2 ? ? . 1037. ? ? 0 1 0 ?4 4 0 ?2 1 2 ? ? . 1038. ? ? 4 ?5 2 5 ?7 3 6 ?9 4 ? ? . 1039. ? ? 7 ?12 6 10 ?19 10 12 ?24 13 ? ? . 1040. ? ? 4 ?5 7 1 ?4 9 ?4 0 5 ? ? . 1041. ? ? ? ? 3 ?1 0 0 1 1 0 0 3 0 5 ?3 4 ?1 3 ?1 ? ? ? ? . Выяснить, какие из следующих матриц можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису над полем R или над полем C: 1042. ? ? ?1 3 ?1 ?3 5 ?1 ?3 3 1 ? ? . 1043. ? ? 4 7 ?5 ?4 5 0 1 9 ?4 ? ? . 1044. ? ? 4 2 ?5 6 4 ?9 5 3 ?7 ? ? . 1045. ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 ?1 ?1 1 ?1 1 ?1 1 ?1 ?1 1 ? ? ? ? . 41. Инвариантные подпространства 1046. Найти инвариантные подпространства для оператора дифференцирования в пространстве R n [x] 1047. Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов ли- нейного оператора ? инвариантна относительно ?. 1048. Ядро и образ линейного оператора ? инвариантны относительно ?. Доказать. 1049. Доказать, что всякое подпространство, содержащее образ оператора ?, инва- риантно относительно ?. 1050. Доказать, что если подпространство L инвариантно относительно ?, то его образ и полный прообраз инвариантны относительно ?. 1051. Доказать, что если линейный оператор ? невырожден, то всякое подпро- странство, инвариантное относительно ?, инвариантно относительно ? ?1 1052. Доказать, что в n-мерном комплексном пространстве всякий линейный опера- тор имеет инвариантное подпространство размерности n ? 1. 1053. Пусть линейный оператор ? в n-мерном пространстве имеет в некотором ба- зисе диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все под- пространства, инвариантные относительно ?. 1054. Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвари- антные относительно линейного оператора с матрицей ? ? 4 ?2 2 2 0 2 ?1 1 1 ? ? . 50 1055. Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвари- антные одновременно относительно двух линейных операторов, заданных матрицами ? ? 5 ?1 ?1 ?1 5 ?1 ?1 ?1 5 ? ? , ? ? ?6 2 3 2 ?3 6 3 6 2 ? ? . 1056. В R n [x] найти все подпространства, инвариантные относительно оператора а) ?(f) = x df dx ; б) ?(f) = 1 x x Z 0 f (t)dt 1057. Доказать, что если для операторов ?, ? конечномерного векторного простран- ства V над полем C выполняются равенства ? 2 = ? 2 = ? , то в V существует одномерное или двумерное подпространство, инвариантное относительно ? и ?. 1058. Доказать, что комплексное векторное пространство, содержащее только одну прямую, инвариантную относительно линейного оператора ?, неразложимо в прямую сумму ненулевых подпространств, инвариантных относительно ?. ГЛАВА 12. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 42. Скалярное произведение 1059. Пусть x = (x 1 , x 2 ) , y = (y 1 , y 2 ) . Доказать, что каждое из перечисленных ниже правил задает на R 2 скалярное умножение: а) (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 , б) (x, y) = 2x 1 y 1 + 5x 2 y 2 , в) (x, y) = x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 2x 2 y 2 Вычислить скалярное произведение векторов x = (1, 1), y = (?3, 2) в каждом случае. 1060. Доказать, что в евклидовом пространстве |x| = |y| тогда и только тогда, когда векторы x ? y и x + y ортогональны. 1061. В пространстве M n (R) со скалярным произведением (X, Y ) = tr XY T найти ортогональное дополнение к подпространству: а) матриц с нулевым следом; б) симметрических матриц; в) кососимметрических матриц; г) верхнетреугольных матриц. Дополнить до ортогонального базиса систему векторов евклидова пространства: 1062. (1, ?2, 2, ?3), (2, ?3, 2, 4). 1063. (1, 1, 1, 2), (1, 2, 3, ?3). Дополнить до ортонормированного базиса систему векторов евклидова пространства: 1064. µ 2 3 , 1 3 , 2 3 ¶ , µ 1 3 , 2 3 , ? 2 3 ¶ 1065. µ 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 ¶ , µ 1 2 , 1 2 , ? 1 2 , ? 1 2 ¶ 1066. Найти ортогональную проекцию вектора x евклидова пространства на линей- ную оболочку ортонормированной системы векторов e 1 , . . . , e k 51 1067. Доказать, что в любых двух подпространствах евклидова пространства мож- но выбрать ортонормированные базисы e 1 , . . . , e k и f 1 , . . . , f l таким образом, чтобы (e i , f j ) = 0 при i 6= j и (e i , f j ) > 0 1068. Пусть e 1 , . . . , e k и f 1 , . . . , f l ортонормированные базисы подпространств L и M евклидова пространства, A = ((e i , f j )) матрица порядка k Ч l. Доказать, что все характеристические числа матрицы A T · A принадлежит отрезку [0, 1] и не зависят от выбора базисов в подпространствах |