Геометрия. Сборник задач по геометрии и алгебре. Ке мерово, 2008 г. Первое издание этого задачника вышло в 1996 году со следующей аннотацией

• Название: Сборник задач по геометрии и алгебре. Ке мерово, 2008 г. Первое издание этого задачника вышло в 1996 году со следующей аннотацией
• Анкор: Геометрия
• Дата: 23.12.2019
• Размер: 416.23 Kb.
• Имя файла: М.И.Кабенюк, Сборник задач по геомеÑ.pdf
• Тип: Сборник задач; #101707
• страница: 2 из 8

за скобки?
347. С каким знаком входит в определитель порядка n произведение элементов глав- ной диагонали?
18

348. С каким знаком входит в определитель порядка n произведение элементов по- бочной диагонали?
Руководствуясь только определением, вычислить коэффициенты при x
4
и x
3
в опре- делителях:
349. 2x x 1 2
1 x 1 ?1 3 2 x
1 1 1 1
x
350. 5x 1 2 3
x
x 1 2
1 2 x
3
x
1 2 2x
Пользуясь только определением, вычислить определители:
351.
0
. . .
0 0
a
1n
0
. . .
0
a
2,n?1
a
2n
0
. . . a
3,n?2
a
3,n?1
a
3n
· · · · · · · · · · · · · · · ·
a
n1
. . . a
n,n?2
a
n,n?1
a
nn
352. a
11
a
12
a
13
a
14
a
15
a
21
a
22
a
23
a
24
a
25
a
31
a
32 0
0 0
a
41
a
42 0
0 0
a
51
a
52 0
0 0
12. Свойства определителя
Решить уравнения:
353. 1 x x
2
. . . x
n
1 a
1
a
2 1
. . . a
n
1 1 a
2
a
2 2
. . . a
n
2
· · · · · · · · · ·
1 a
n
a
2
n
. . . a
n
n
= 0 354. 1 1
1
. . .
1 1 1 ? x
1
. . .
1 1
1 2 ? x . . .
1
· · · · · · · · · · · · · · · ·
1 1
1
. . . n ? x
= 0 355. Как изменится определитель порядка n, если первый столбец переставить на последнее место, а остальные столбцы передвинуть влево, сохраняя их расположение?
356. Как изменится определитель порядка n, если его строки написать в обратном порядке?
357. Определитель называется кососимметрическим, если элементы, симметрично лежащие относительно главной диагонали, отличаются знаком, то есть a
ik
= ?a
ki
для любых индексов i, k. Доказать, что кососимметрический определитель нечетного по- рядка n равен нулю.
358. Как изменится определитель порядка n, если у всех его элементов изменить знак на противоположный?
359. Как изменится определитель, если каждый его элемент a
ik
умножить на c
i?k
,
где c 6= 0?
360. Числа 204, 527 и 255 делятся на 17. Доказать, что
2 0 4 5 2 7 2 5 5
делится на 17.
361. Числа 20604, 53227, 25755, 20927 и 289 делятся на 17. Доказать, что
2 0 6 0 4 5 3 2 2 7 2 5 7 5 5 2 0 9 2 7 0 0 2 8 9 19

делится на 17.
362. Придумать задачу, аналогичную двум предыдущим, для определителя 4-го по- рядка и с делителем, равным 19.
Вычислить определители, не развертывая их:
363.
x
y
z
1
y
z
x
1
z
x
y
1
x + z
2
x + y
2
y + z
2 1
364. ?
2
(? + 1)
2
(? + 2)
2
(? + 3)
2
?
2
(? + 1)
2
(? + 2)
2
(? + 3)
2
?
2
(? + 1)
2
(? + 2)
2
(? + 3)
2
?
2
(? + 1)
2
(? + 2)
2
(? + 3)
2
Не развертывая определителей, доказать следующие тождества:
365. b + c
c + a
a + b
b
1
+ c
1
c
1
+ a
1
a
1
+ b
1
b
2
+ c
2
c
2
+ a
2
a
2
+ b
2
= 2 ·
a
b
c
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2 366. 0 x y z
x 0 z y
y z 0 x
z y x 0
=
0 1 1
1 1 0
z
2
y
2 1 z
2 0
x
2 1 y
2
x
2 0
Вычислить определители:
367. a
1
+ x
x
. . .
x
x
a
2
+ x . . .
x
· · · · · · · · · · · · · · · ·
x
x
. . . a
n
+ x
368. a
1
+ x
a
2
. . .
a
n
a
1
a
2
+ x . . .
a
n
· · · · · · · · · · · · · · · ·
a
1
a
2
. . . a
n
+ x
369. 1 + x
1
y
1 1 + x
1
y
2
. . . 1 + x
1
y
n
1 + x
2
y
1 1 + x
2
y
2
. . . 1 + x
2
y
n
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
1 + x
n
y
1 1 + x
n
y
2
. . . 1 + x
n
y
n
Вычислить определители, разлагая их по строке или столбцу, состоящему из пара- метров:
370.
1 0 ?1 ?1 0 ?1 ?1 1
a
b
c
d
?1 ?1 1
0 371. 2 1 1 x
1 2 1 y
1 1 2 z
1 1 1 t
372. a 1 1 1
b 0 1 1
c 1 0 1
d 1 1 0 373. 2 ?3 4 1 4 ?2 3 2
a
b c d
3 ?1 4 3 374. 5 a 2 ?1 4 b 4 ?3 2 c 3 ?2 4 d 5 ?4
Вычислить определители:
375. a 3 0 5 0 b 0 2 1 2 c 3 0 0 0 d
376. 1 0 2 a
2 0 b 0 3 c 4 5
d 0 0 0 377. x a b 0 c
0 y 0 0 d
0 e z 0 f
g h k u l
0 0 0 0 v
20

378. x y 0 . . . 0 0 0 x y . . . 0 0 0 0 x . . . 0 0
· · · · · · · · · · ·
0 0 0 . . . x y
y 0 0 . . . 0 x
379.
a
0
a
1
a
2
. . . a
n?1
a
n
?y
1
x
1 0
. . .
0 0
0
?y
2
x
2
. . .
0 0
· · · · · · · · · · · · · · · · ·
0 0
0
. . . x
n?1 0
0 0
0
. . . ?y
n
x
n
380.
a
0
?1 0
0 . . . 0 0
a
1
x ?1 0 . . . 0 0
a
2 0
x ?1 . . . 0 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
a
n?1 0
0 0 . . . x ?1
a
n
0 0
0 . . . 0
x
381. n!a
0
(n ? 1)!a
1
(n ? 2)!a
2
. . . a
n
?n
x
0
. . .
0 0
?(n ? 1)
x
. . .
0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
0 0
0
. . . x
382.
1 2 3 . . . n ? 1 n
?1
x 0 . . .
0 0
0 ?1 x . . .
0 0
· · · · · · · · · · · · · · ·
0 0 0 . . .
x
0 0
0 0 . . .
?1
x
383.
n
?1 0
0 . . . 0 0
n ? 1
x ?1 0 . . . 0 0
n ? 2 0
x ?1 . . . 0 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
2 0
0 0 . . . x ?1 1
0 0
0 . . . 0
x
13. Числовые определители
Вычислить определители:
384. 1 1
1 1
1 ?1 1
1 1
1 ?1 1
1 1
1 ?1 385. 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 386.
2 ?5 1 2
?3 7 ?1 4 5 ?9 2 7 4 ?6 1 2 387. ?3 9
3 6
?5 8
2 7
4 ?5 ?3 ?2 7 ?8 ?4 ?5 388.
3 ?3 ?5 8
?3 2
4 ?6 2 ?5 ?7 5
?4 3
5 ?6 389.
2 ?5 4 3 3 ?4 7 5 4 ?9 8 5
?3 2 ?5 3 390. 3 ?3 ?2 ?5 2
5 4
6 5
5 8
7 4
4 5
6 391.
3 ?5 ?2 2
?4 7
4 4 4 ?9 ?3 7 2 ?6 ?3 2 392.
3 ?5 2 ?4
?3 4 ?5 3
?5 7 ?7 5
8 ?8 5 ?6 393. 3 2 2 2
9 ?8 5 10 5 ?8 5 8
6 ?5 4 7
394. 7 6 3 7 3 5 7 2 5 4 3 5 5 6 5 4 395.
6 ?5 8
4 9
7 5
2 7
5 3
7
?4 8 ?8 ?3 396. 7 3 2 6 8 ?9 4 9 7 ?2 7 3 5 ?3 3 4 397. 1 2
3 4
5 2
3 7
10 13 3
5 11 16 21 2 ?7 7
7 2
1 4
5 3
10 398. 3 6
5 6 4 5
9 7 8 6 6 12 13 9 7 4
6 6 5 4 2
5 4 5 3 21

399. 35 59 71 52 42 70 77 54 43 68 72 52 29 49 65 50 400. 27 44 40 55 20 64 21 40 13 ?20 ?13 24 46 45 ?55 84 401. 24 11 13 17 19 51 13 32 40 46 61 11 14 50 56 62 20 7
13 52 80 24 45 57 70 402. 3/2 ?9/2 ?3/2
?3 5/3 ?8/3 ?2/3 ?7/3 4/3 ?5/3
?1 ?2/3 7
?8
?4
?5 403.
1/3 ?5/2 2/5 3/2 3
?12 21/5 15 2/3 ?9/2 4/5 5/2
?1/7 2/7 ?1/7 3/7 404. 3/4 2 ?1/2
?5 1
?2 3/2 8
5/6 ?4/3 4/3 14/3 2/5 ?4/5 1/2 12/5 405.
?
2
?
3
?
5
?
3
?
6
?
21
?
10 ?2
?
3
?
10 2
?
15 5
?
6 2
2
?
6
?
10
?
15 406. 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 407. 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 408. 1 1 1 1
1 2 3
4 1 4 9
16 1 8 27 64 409.
1 2
3 4
?2 1 ?4 3
3 ?4 ?1 2
4 3 ?2 ?1 410. 2 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 6 411. 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 14. Вычисление определителей приведением к треугольному виду
Приведением к треугольному виду вычислить следующие определители:
412.
1 2
3 . . . n
?1 0
3 . . . n
?1 ?2 0 . . . n
· · · · · · · · · · · ·
?1 ?2 ?3 . . . 0 413. 1 n n . . . n
n 2 n . . . n
n n 3 . . . n
· · · · · · · · ·
n n n . . . n
414. 1 2 0 0 . . . 0 1 3 2 0 . . . 0 0 1 3 2 . . . 0
· · · · · · · · · ·
0 0 0 0 . . . 3 415. x
1
a
12
a
13
. . . a
1n
x
1
x
2
a
23
. . . a
2n
x
1
x
2
x
3
. . . a
3n
· · · · · · · · · · · ·
x
1
x
2
x
3
. . . x
n
416.
1
. . .
1 1
1
a
1
. . .
a
1
a
1
? b
1
a
1
a
2
. . . a
2
? b
2
a
2
a
2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
a
n
? b
n
. . .
a
n
a
n
a
n
417. 1 2 3 . . . n ? 2 n ? 1 n
2 3 4 . . . n ? 1
n
n
3 4 5 . . .
n
n
n
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
n n n . . .
n
n
n
22

418.
1
x
x
2
x
3
. . .
x
n
a
11 1
x
x
2
. . . x
n?1
a
21
a
22 1
x
. . . x
n?2
· · · · · · · · · · · · · · · · ·
a
n1
a
n2
a
n3
a
n4
. . .
1 419.
1 1 . . .
1 ?n
1 1 . . . ?n
1
· · · · · · · · · · · · ·
1 ?n . . .
1 1
?n
1 . . .
1 1
420. n 1 1 . . . 1 1 n 1 . . . 1 1 1 n . . . 1
· · · · · · · · ·
1 1 1 . . . n
421. 0 1 1 . . . 1 1 0 1 . . . 1 1 1 0 . . . 1
· · · · · · · ·
1 1 1 . . . 0 422. 3 2 2 . . . 2 2 3 2 . . . 2 2 2 3 . . . 2
· · · · · · · ·
2 2 2 . . . 3 423. a b . . . b b
b a . . . b b
· · · · · · · · ·
b b . . . a b
b b . . . b a
424.
a
0
a
1
a
2
. . . a
n
?x
x
0 . . .
0 0
?x x . . .
0
· · · · · · · · · · · ·
0 0
0 . . . x
425. 1
a
1
a
2
. . .
a
n
1 a
1
+ b
1
a
2
. . .
a
n
1
a
1
a
2
+ b
2
. . .
a
n
· · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
1
a
1
a
2
. . . a
n
+ b
n
426. 1 x
1
x
2
. . . x
n?1
x
n
1 x x
2
. . . x
n?1
x
n
1 x
1
x . . . x
n?1
x
n
· · · · · · · · · · · · · ·
1 x
1
x
2
. . .
x
x
n
1 x
1
x
2
. . . x
n?1
x
427. 1 2 2 . . . 2 2 2 2 . . . 2 2 2 3 . . . 2
· · · · · · · · ·
2 2 2 . . . n
428. x a
1
a
2
. . . a
n?1 1
a
1
x a
2
. . . a
n?1 1
a
1
a
2
x . . . a
n?1 1
· · · · · · · · · · · · · ·
a
1
a
2
a
3
. . .
x
1
a
1
a
2
a
3
. . .
a
n
1 429.
x
a
a . . .
a a
?a
x
a . . .
a a
?a ?a
x . . .
a a
· · · · · · · · · · · · · · ·
?a ?a ?a . . . ?a x
430. ?a
1
a
1 0
. . .
0 0
0
?a
2
a
2
. . .
0 0
0 0
?a
3
. . .
0 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
0 0
0
. . . ?a
n
a
n
1 1
1
. . .
1 1
431. a
1
?a
2 0
. . .
0 0
0
a
2
?a
3
. . .
0 0
0 0
a
3
. . .
0 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
0 0
0
. . . a
n?1
?a
n
1 1
1
. . .
1 1 + a
n
432. 0 1 1 . . . 1 1 1 0 x . . . x x
1 x 0 . . . x x
· · · · · · · · · · ·
1 x x . . . 0 x
1 x x . . . x 0 23

ГЛАВА 5.
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ.
РАНГ МАТРИЦЫ
15. Линейная зависимость
433. Найти линейную комбинацию 3a
1
+ 5a
2
? a
3
строк a
1
= (4, 1, 3, ?2)
, a
2
=
(1, 2, ?3, 2)
, a
3
= (16, 9, 1, ?3)
434. Найти вектор x из уравнений:
а) a
1
+ 2a
2
+ 3a
3
+ 4x = 0
, где a
1
= (5, ?8, ?1, 2)
, a
2
= (2, ?1, 4, ?3)
, a
3
= (?3, 2, ?5, 4)
;
б) 3(a
1
?x)+2(a
2
+x) = 5(a
3
+x)
, где a
1
= (2, 5, 1, 3)
, a
2
= (10, 1, 5, 10)
, a
3
= (4, 1, ?1, 1)
Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми:
435. a
1
= (1, 2, 3),
a
2
= (3, 6, 7).
436. a
1
= (4, ?2, 6),
a
2
= (6, ?3, 9).
437. a
1
= (2, ?3, 1),
a
2
= (3, ?1, 5),
a
3
= (1, ?4, 3).
438. a
1
= (5, 4, 3),
a
2
= (3, 3, 2),
a
3
= (8, 1, 3).
439. a
1
= (4, ?5, 2, 6),
a
2
= (2, ?2, 1, 3),
a
3
= (6, ?3, 3, 9),
a
4
= (4, ?1, 5, 6).
440. a
1
= (1, 0, 0, 2, 5),
a
2
= (0, 1, 0, 3, 4),
a
3
= (0, 0, 1, 4, 7),
a
4
= (2, ?3, 4, 11, 12).
441. Из координат каждого вектора данной системы векторов одного и того же числа измерений выберем координаты, стоящие на определенных (одних и тех же для всех векторов) местах, сохраняя их порядок; полученную систему векторов будем называть укороченной для первой системы, а первую систему будем называть удлиненной для второй. Доказать, что а) укороченная система любой линейно зависимой системы векторов линейно зави- сима;
б) удлиненная система любой линейно независимой системы векторов линейно неза- висима.
442. Доказать, что если векторы a
1
, a
2
, a
3
линейно зависимы и вектор a
3
не вы- ражается линейно через векторы a
1
и a
2
, то a
1
и a
2
различаются между собой лишь числовым множителем.
443. Если векторы a
1
, a
2
, . . . , a
k
линейно независимы, а векторы a
1
, a
2
, . . . , a
k
, b
ли- нейно зависимы, то вектор b линейно выражается через a
1
, a
2
, . . . , a
k
. Доказать это.
444. Пусть система векторов a
1
, a
2
, a
3
, a
4
линейно независима. Является ли линейно зависимой система векторов
b
1
= 3a
1
+ 2a
2
+ a
3
+ a
4
,
b
2
= 2a
1
+ 5a
2
+ 3a
3
+ 2a
4
,
b
3
= 3a
1
+ 4a
2
+ 2a
3
+ 3a
4
?
445. Пусть система векторов a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
линейно независима. Является ли ли- нейно зависимой система векторов
b
1
= 3a
1
+ 4a
2
? 5a
3
? 2a
4
+ 4a
5
,
b
2
= 8a
1
+ 7a
2
? 2a
3
+ 5a
4
? 10a
5
,
b
3
= 2a
1
? a
2
+ 8a
3
? a
4
+ 2a
5
?
24

Пусть система векторов a
1
, a
2
, . . . , a
k
линейно независима. Выяснить, являются ли линейно зависимыми или линейно независимыми системы векторов:
446. b
1
= a
1
, b
2
= a
1
+ a
2
, b
3
= a
1
+ a
2
+ a
3
, . . . , b
k
= a
1
+ a
2
+ . . . + a
k
447. b
1
= a
1
, b
2
= a
1
+ 2a
2
, b
3
= a
1
+ 2a
2
+ 3a
3
, . . . , b
k
= a
1
+ 2a
2
+ 3a
3
+ . . . + ka
k
448. b
1
= a
1
+ a
2
, b
2
= a
2
+ a
3
, b
3
= a
3
+ a
4
, . . . , b
k?1
= a
k?1
+ a
k
, b
k
= a
k
+ a
1 449. b
1
= a
1
? a
2
, b
2
= a
2
? a
3
, b
3
= a
3
? a
4
, . . . , b
k?1
= a
k?1
? a
k
, b
k
= a
k
? a
1 450. Даны векторы a
1
= (0, 1, 0, 2, 0)
, a
2
= (7, 4, 1, 8, 3)
, a
3
= (0, 3, 0, 4, 0)
, a
4
=
(1, 9, 5, 7, 1)
, a
5
= (0, 1, 0, 5, 0)
. Существуют ли числа c
ij
такие, что векторы b
i
=
5
P
j=1
c
ij
a
j
,
i = 1, 2, 3, 4, 5