Геометрия. Сборник задач по геометрии и алгебре. Ке мерово, 2008 г. Первое издание этого задачника вышло в 1996 году со следующей аннотацией

• Название: Сборник задач по геометрии и алгебре. Ке мерово, 2008 г. Первое издание этого задачника вышло в 1996 году со следующей аннотацией
• Анкор: Геометрия
• Дата: 23.12.2019
• Размер: 416.23 Kb.
• Имя файла: М.И.Кабенюк, Сборник задач по геомеÑ.pdf
• Тип: Сборник задач; #101707
• страница: 8 из 8

x ? 16y + 20 = 0
Определить тип кривой, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат:
1230. 5x
2
+ 4xy + 8y
2
? 32x ? 56y + 80 = 0 1231. 5x
2
+ 12xy ? 22x ? 12y ? 19 = 0 1232. x
2
? 4xy + 4y
2
+ 4x ? 3y ? 7 = 0 1233. x
2
? 5xy + 4y
2
+ x + 2y ? 2 = 0 1234. 4x
2
? 12xy + 9y
2
? 2x + 3y ? 2 = 0 1235. 9x
2
? 4xy + 6y
2
+ 16x ? 8y ? 2 = 0 1236. 8x
2
+ 6xy ? 26x ? 12y + 11 = 0 1237. x
2
? 2xy + y
2
? 10x ? 6y + 25 = 0 1238. 2x
2
? 5xy + 12y
2
? x + 26y ? 10 = 0 1239. 4x
2
? 4xy + y
2
? 6x + 3y ? 4 = 0
ГЛАВА 14.
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
55. Алгоритм Лагранжа
Найти нормальный вид над R, для следующих квадратичных форм:
1240. x
2 1
+x
2 2
+3x
2 3
+4x
1
x
2
+2x
1
x
3
+2x
2
x
3 1241. x
2 1
?2x
2 2
+x
2 3
+2x
1
x
2
+4x
1
x
3
+2x
2
x
3 1242. x
2 1
? 3x
2 3
? 2x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
? 6x
2
x
3 1243. x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
1
x
4
+ x
2
x
3
+ x
2
x
4
+ x
3
x
4 1244. x
2 1
+ 2x
2 2
+ x
2 4
+ 4x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
+ 2x
1
x
4
+ 2x
2
x
3
+ 2x
2
x
4
+ 2x
3
x
4
Найти нормальный вид и невырожденную замену, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных форм:
1245. x
2 1
+ 5x
2 2
? 4x
2 3
+ 2x
1
x
2
? 4x
1
x
3 1246. 4x
2 1
+ x
2 2
+ x
2 3
? 4x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
? 3x
2
x
3 61

1247. x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3 1248. 2x
2 1
+ 18x
2 2
+ 8x
2 3
? 12x
1
x
2
+ 8x
1
x
3
? 27x
2
x
3 1249. ?12x
2 1
? 3x
2 2
? 12x
2 3
+ 12x
1
x
2
? 24x
1
x
3
+ 8x
2
x
3 1250. x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
4
+ x
4
x
1 1251. 3x
2 1
+ 2x
2 2
? x
2 3
? 2x
2 4
+ 2x
1
x
2
? 4x
2
x
3
+ 2x
2
x
4
Следующие квадратичные формы привести к каноническому виду с целыми коэф- фициентами посредством невырожденного линейного преобразования с рациональными коэффициентами и найти выражение новых неизвестных через старые:
1252. 2x
2 1
+3x
2 2
+4x
2 3
?2x
1
x
2
+4x
1
x
3
?3x
2
x
3 1253. 3x
2 1
?2x
2 2
+2x
2 3
+4x
1
x
2
?3x
1
x
3
?x
2
x
3 1254.
1 2
x
2 1
+ 2x
2 2
+ 3x
2 4
? x
1
x
2
+ x
2
x
3
? x
3
x
4
Для следующих квадратичных форм найти невырожденное линейное преобразова- ние, переводящее форму f в форму g (искомое преобразование определено не однознач- но):
1255. f = 2x
2 1
+ 9x
2 2
+ 3x
2 3
+ 8x
1
x
2
? 4x
1
x
3
? 10x
2
x
3
;
g = 2y
2 1
+ 3y
2 2
+ 6y
2 3
? 4y
1
y
2
? 4y
1
y
3
+ 8y
2
y
3
.
1256. f = 3x
2 1
+ 10x
2 2
+ 25x
2 3
? 12x
1
x
2
? 18x
1
x
3
+ 40x
2
x
3
;
g = 5y
2 1
+ 6y
2 2
+ 12y
1
y
2
.
1257. f = 5x
2 1
+ 5x
2 2
+ 2x
2 3
+ 8x
1
x
2
+ 6x
1
x
3
+ 6x
2
x
3
;
g = 4y
2 1
+ y
2 2
+ 9y
2 3
? 12y
1
y
3
.
Выяснить, какие из следующих форм эквивалентны между собой в области веще- ственных чисел:
1258. f
1
= x
2 1
? x
2
x
3
;
f
2
= y
1
y
2
? y
2 3
;
f
3
= z
1
z
2
+ z
2 3
.
1259. f
1
= x
2 1
+ 4x
2 2
+ x
2 3
+ 4x
1
x
2
? 2x
1
x
3
;
f
2
= y
2 1
+ 2y
2 2
? y
2 3
+ 4y
1
y
2
? 2y
1
y
3
? 4y
2
y
3
;
f
3
= ?4z
2 1
? z
2 2
? z
2 3
? 4z
1
z
2
+ 4z
1
z
3
+ 18z
2
z
3
.
1260. Показать, что все квадратичные формы от n неизвестных можно разбить на классы так, что две формы будут эквивалентны тогда и только тогда, когда они при- надлежат к одному и тому же классу. Найти число этих классов в комплексной и в вещественной областях.
1261. Какими значениями ранга и сигнатуры характеризуются те классы веществен- но эквивалентных квадратичных форм, для которых форма f эквивалентна форме ?f.
56. Положительно определенные квадратичные формы
Найти все значения параметра ?, при которых положительно определены следующие квадратичные формы:
1262. 5x
2 1
+ x
2 2
+ ?x
2 3
+ 4x
1
x
2
? 2x
1
x
3
? 2x
2
x
3 1263. 2x
2 1
+ x
2 2
+ 3x
2 3
+ 2?x
1
x
2
+ 2x
1
x
3 1264. x
2 1
+ x
2 2
+ 5x
2 3
+ 2?x
1
x
2
? 2x
1
x
3
+ 4x
2
x
3 1265. x
2 1
+ 4x
2 2
+ x
2 3
+ 2?x
1
x
2
+ 10x
1
x
3
+ 6x
2
x
3 1266. 2x
2 1
+ 2x
2 2
+ x
2 3
+ 2?x
1
x
2
+ 6x
1
x
3
+ 2x
2
x
3
Найти все значения параметра ?, при которых отрицательно определены следующие квадратичные формы:
1267. ?x
2 1
+ ?x
2 2
? x
2 3
+ 4x
1
x
2
+ 8x
2
x
3 1268. ?x
2 1
? 2x
2 2
? 3x
2 3
+ 2x
1
x
2
? 2x
1
x
3
+ 2x
2
x
3 62

57. Приведение к главным осям
Найти ортогональную замену, приводящую следующие формы к каноническому виду
(привести к главным осям), и написать этот канонический вид:
1269. 6x
2 1
+5x
2 2
+7x
2 3
?4x
1
x
2
+4x
1
x
3 1270. 11x
2 1
+5x
2 2
+2x
2 3
+16x
1
x
2
+4x
1
x
3
?20x
2
x
3 1271. x
2 1
+x
2 2
+5x
2 3
?6x
1
x
2
?2x
1
x
3
+2x
2
x
3 1272. x
2 1
+x
2 2
+x
2 3
+4x
1
x
2
+4x
1
x
3
+4x
2
x
3 1273. 17x
2 1
+ 14x
2 2
+ 14x
2 3
? 4x
1
x
2
? 4x
1
x
3
? 8x
2
x
3 1274. x
2 1
? 5x
2 2
+ x
2 3
+ 4x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
+ 4x
2
x
3 1275. 8x
2 1
? 7x
2 2
+ 8x
2 3
+ 8x
1
x
2
? 2x
1
x
3
+ 8x
2
x
3 1276. 2x
1
x
2
? 6x
1
x
3
? 6x
2
x
4
+ 2x
3
x
4 1277. 5x
2 1
+ 5x
2 2
+ 5x
2 3
+ 5x
2
x
4
? 10x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
+ 6x
1
x
4
+ 6x
2
x
3
+ 2x
2
x
4
? 10x
3
x
4 1278. 3x
2 1
+ 8x
1
x
2
? 3x
2 2
+ 4x
2 3
? 4x
3
x
4
+ x
2 4
1279. x
2 1
+ 2x
1
x
2
+ x
2 2
? 2x
2 3
? 4x
3
x
4
? 2x
2 4
1280. 9x
2 1
+ 5x
2 2
+ 5x
2 3
+ 8x
2 4
+ 8x
2
x
3
? 4x
2
x
4
+ 4x
3
x
4 1281. 4x
2 1
? 4x
1
x
2
+ x
2 2
+ 5x
2 3
? 4x
2 4
+ 12x
4
x
5
+ x
2 5
1282. 4x
2 1
? 4x
2 2
? 8x
2
x
3
+ 2x
2 3
? 5x
2 4
+ 6x
4
x
5
+ 3x
2 5
1283. 3x
2 1
+ 8x
1
x
2
? 3x
2 2
+ 4x
2 3
? 6x
3
x
4
? 4x
2 4
+ 4x
2 5
+ 4x
5
x
6
+ x
2 6
Найти канонический вид, к которому следующие формы приводятся ортогональным преобразованием, и выразить новые неизвестные через старые (искомое преобразование не однозначно):
1284.
n
P
i=1
x
2
i
+
P
i
x
i
x
j
.
1285.
n
P
i
x
i
x
j
.
63