Геометрия. Сборник задач по геометрии и алгебре. Ке мерово, 2008 г. Первое издание этого задачника вышло в 1996 году со следующей аннотацией
 Скачать 416.23 Kb.
|
|
? ? 2 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 0 ? 2 ? ?. 1147. 1 3 ? ? 2 2 ?1 ?1 2 2 2 ?1 2 ? ?. 56 1148. 1 2 ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 ?1 ?1 1 ?1 1 ?1 1 ?1 ?1 1 ? ? ? ?. 1149. 1 2 ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 ?1 ?1 ?1 1 ?1 1 ?1 1 1 ?1 ? ? ? ?. 1150. 1 9 ? ? 1 ?8 4 4 4 7 ?8 1 4 ? ?. 1151. 1 7 ? ? 3 ?2 6 6 3 ?2 ?2 6 3 ? ?. 1152. 1 3 ? ? ? ? ? 3 ? 2 0 ? 3 ? 2 1 ? 2 4 ? 2 1 ? 2 2 ?1 2 ? ? ? ? ? 1153. 1 4 ? ? 3 1 ? 6 1 3 ? ? 6 ? ? 6 ? 6 2 ? ?. ГЛАВА 13. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 49. Окружность 1154. Составить уравнение окружности с центром в точке (a, 0) (a > 0), касающейся оси Oy. 1155. Составить уравнение окружности радиуса r, касающейся осей координат. Найти координаты центра и радиус следующих окружностей: 1156. x 2 + y 2 + x = 0 1157. x 2 + y 2 + 3y = 0 1158. x 2 + y 2 + 2x ? 4y = 0 1159. 3x 2 + 3y 2 ? 6x + 4y ? 1 = 0 Охарактеризовать геометрически множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условиям: 1160. (x ? 3) 2 + (y ? 3) 2 < 8 , x > y. 1161. x 2 + y 2 + x + y > 0 , y > 2x. 1162. x 2 + y 2 ? 2x < 0 , |y| < 1/4. 1163. Составить уравнение окружности, проходящей через три не лежащие на одной прямой точки (x 1 , y 1 ) , (x 2 , y 2 ) , (x 3 , y 3 ) 1164. Составить уравнение окружности, проходящей через точки M 1 = (x 1 , y 1 ) и M 2 = (x 2 , y 2 ) и через начало координат при условии, что прямая M 1 M 2 не проходит через начало координат. 1165. Составить уравнение окружности, проходящей через точки (1, 1), (0, 2) и ка- сающейся окружности (x ? 5) 2 + (y ? 5) 2 = 16 1166. Составить уравнение окружности, касающейся оси Ox в начале координат и касающейся окружности (x ? 6) 2 + (y ? 13) 2 = 25 1167. Составить уравнение окружности, проходящей через точки (x 1 , y 1 ) , (x 2 , y 2 ) , зная, что ее центр лежит на прямой Ax + By + C = 0. 1168. Составить уравнение касательной к окружности (x ? a) 2 + (y ? b) 2 = r 2 в точке (x 0 , y 0 ) , лежащей на этой окружности. 1169. Составить уравнения касательных к окружности (x ? a) 2 + (y ? b) 2 = r 2 , параллельных прямой Ax + By + C = 0. 57 1170. Составить уравнение окружности, центр которой лежит на прямой x+2y+2 = 0 и которая пересекает ортогонально каждую из двух окружностей x 2 + y 2 ? 6x = 0 , x 2 + y 2 + 8x = 0 1171. Составить уравнение окружности, пересекающей ортогонально три окружно- сти: x 2 + y 2 + x + 2y = 0 , x 2 + y 2 + 2x + 2y + 3 = 0 , x 2 + y 2 + 3x + y ? 1 = 0 1172. Составить уравнение окружности, проходящей через точку (1, ?2) и точки пересечения прямой x ? 7y + 10 = 0 с окружностью x 2 + y 2 ? 2x + 4y ? 20 = 0 50. Преобразование координат на плоскости 1173. Написать формулы перехода от одной системы координат к другой, если на- чалом первой системы является вершина A параллелограмма ABCD, а базисом век- торы ??? AD , ?? AB ; началом второй системы является вершина C, а базисом ??? CB , ??? CD 1174. Даны две системы координат: Oxy и O 0 x 0 y 0 . Относительно первой системы начало второй системы находится в точке O 0 = (?4, 2) , ось O 0 x 0 пересекает ось Ox в точке A = (2, 0), а ось O 0 y 0 пересекает ось Oy в точке B = (0, 8). Принимая за базисные векторы второй системы векторы ??? O 0 A и ??? O 0 B , выразить координаты произвольной точки относительно первой системы через ее координаты во второй системе. 1175. Даны две системы координат: Oxy и O 0 x 0 y 0 . Координаты x и y произвольной точки относительно первой системы координат выражаются через ее координаты x 0 и y 0 относительно второй системы следующими формулами: x = 2x 0 ?5y 0 +3 , y = ?x 0 +2y 0 ?2 Найти координаты начала второй системы и единичных векторов ее осей относитель- но первой системы. 1176. Дан параллелограмм OACB. Рассмотрим две системы координат, принимая за начало обеих систем вершину параллелограмма O, за единичные векторы осей Ox и Oy первой системы соответственно стороны параллелограмма ?? OA и ??? OB , а за единичные векторы осей Ox 0 и Oy 0 второй системы соответственно векторы ??? OK и ?? OL (K и L середины сторон AC и BC). Найти координаты вершин параллелограмма во второй системе. 1177. В треугольнике OAB проведены медианы AD и BE, пересекающиеся в точке O 0 . Выразить координаты x и y произвольной точки относительно системы с началом в точке O и базисными векторами ?? OA и ??? OB через ее координаты x 0 , y 0 в системе с началом O 0 и базисными векторами ??? O 0 A и ??? O 0 B 1178. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC; O точка пересечения ее боковых сторон, O 0 точка пересечения диагоналей. Выразить коорди- наты x и y произвольной точки относительно системы с началом в точке O и базисом ??? OB , ?? OC через ее координаты в системе с началом O 0 и базисом ??? O 0 B , ??? O 0 C 1179. Написать формулы преобразования координат, принимая за новые оси O 0 x 0 и O 0 y 0 прямые 2x + y ? 4 = 0 и x ? y + 2 = 0, а за единичную точку точку (3, 7). 1180. Написать уравнение прямой x ? y ? 5 = 0 в системе координат, осями которой служат прямые 2x ? y + 7 = 0 (ось O 0 y 0 ), x + y ? 4 = 0 (ось O 0 x 0 ), а единичной точкой точка (0, 0). 1181. Написать формулы преобразования прямоугольных координат, если начало новой системы находится в точке O 0 = (?4, 2) , угол от положительного направления оси Ox до положительного направления оси O 0 x 0 равен 120 o и обе системы одинаково ориентированы. 58 1182. В системе Oxy дана точка (6, ?2); найти ее координаты в системе O 0 x 0 y 0 , полу- чающейся из системы Oxy переносом начала в точку O 0 = (3, ?4) и поворотом на угол ? arccos 12/13 1183. Даны две прямоугольные системы координат Oxy и O 0 x 0 y 0 . Начало второй системы находится в точке O 0 = (2, 3) . За положительное направление оси O 0 x 0 прини- мается направление вектора ??? O 0 A , где A = (6, 0) точка пересечения осей Ox и O 0 x 0 ; за положительное направление оси O 0 y 0 принимается направление вектора ??? OB , где B точка пересечения осей Oy и O 0 y 0 . Выразить координаты произвольной точки относи- тельно первой системы через ее координаты во второй системе. 1184. За начало первой прямоугольной системы координат Oxy принимается вер- шина O прямоугольного треугольника AOB, а за положительное направление осей Ox и Oy направления катетов ?? OA и ??? OB , причем |OA| = 3, |OB| = 1. За начало второй системы O 0 x 0 y 0 принимается основание O 0 перпендикуляра, опущенного из точки O на гипотенузу AB, за положительное направление оси O 0 x 0 направление ??? O 0 O , а положи- тельное направление оси O 0 y 0 выбирается так, чтобы обе системы имели одинаковую ориентацию. Выразить координаты произвольной точки относительно первой системы через ее координаты во второй системе. 1185. Относительно прямоугольной системы координат Oxy даны две взаимно пер- пендикулярные прямые: a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 , a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 Принимая эти прямые соответственно за оси O 0 y 0 и O 0 x 0 , а за положительные направ- ления осей O 0 x 0 и O 0 y 0 векторы (a 1 , b 1 ) и (a 2 , b 2 ) , найти выражения новых координат x 0 , y 0 произвольной точки M через ее старые координаты x и y. 51. Эллипс, гипербола, парабола 1186. Составить уравнение линии второго порядка, оси которой совпадают с осями координат, зная, что она проходит через точки (2, 2), (3, 1). 1187. Написать уравнение эллипса, описанного около равностороннего треугольника, две вершины которого находятся в точках (a, 0) и (?a, 0) и совпадают с вершинами эллипса, принадлежащими одной оси. 1188. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1, 2), асимптотами которой служат прямые y = 1/2x, y = ?1/2x. 1189. Доказать, что длина отрезка, соединяющего центр эллипса с произвольной его точкой, заключена между длинами полуосей этого эллипса. 1190. Найти длину стороны равностороннего треугольника, вписанного в параболу y 2 = 2px так, чтобы одна из вершин треугольника совпадает с вершиной параболы. 1191. Написать уравнение эллипса, пересекающего ось Ox в точках (1, 0) и (9, 0) и касающегося оси Oy в точке (0, 3), зная, что его оси параллельны осям координат. 1192. Написать уравнение эллипса, оси которого параллельны осям координат, ка- сающегося осей Ox и Oy соответственно в точках (5, 0) и (0, 3). 1193. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1, 0), асимптотами которой являются прямые x = 0, y = 1. 1194. Написать уравнение равносторонней гиперболы, для которой ось Ox служит асимптотой, а точка (1, 1) вершиной. 1195. Вычислить длины сторон равнобедренного треугольника ABC, вписанного в равностороннюю гиперболу с полуосями, равными a, зная, что вершина A совпадает с вершиной гиперболы и что угол при этой вершине равен 120 o 59 1196. Написать уравнение эллипса с вершинами (0, 6) и (0, ?2), зная, что на оси Ox этот эллипс высекает хорду длины 6. 1197. Написать уравнение линии второго порядка, для которой ось Ox является осью симметрии, ось 0y касательной к вершине, зная что линия проходит через две точки (2, 3) и (6, ?3). 52. Эллипс, гипербола, парабола (продолжение) 1198. Доказать, что произведение расстояний любой точки гиперболы до двух асим- птот одно и то же для всех точек гиперболы. 1199. Найти наибольший радиус круга, лежащего внутри параболы y 2 = 2px и каса- ющегося параболы в ее вершине. 1200. Доказать, что четыре точки пересечения двух парабол, оси которых взаимно перпендикулярны, лежат на одной окружности. 1201. Через фиксированную точку A 0 оси параболы проводятся всевозможные хор- ды. Доказать, что произведение расстояний от концов хорды до оси параболы не зависит от направления хорды. 1202. Написать уравнение параболы, вершина которой находится в точке (2, 6), а ось параллельна оси Oy, зная что на оси Ox эта парабола высекает хорду длины 6. 1203. Написать уравнение равносторонней гиперболы, одна из вершин которой на- ходится в точке (2, 2), действительная ось параллельна оси 0y при условии, что на оси Ox гипербола высекает хорду длины 8. 1204. Написать уравнение эллипса, для которого прямые x+y ?1 = 0 и x?y +1 = 0 суть большая и малая оси и длины полуосей которого a = 2, b = 1. 1205. Написать уравнение параболы, осью которой служит прямая x + y + 1 = 0 и которая проходит через точки (0, 0), (0, 1). 1206. Написать уравнение гиперболы, зная ее ось 2x ? y + 2 = 0, асимптоту y = 0 и точку (1, 1). 1207. Написать уравнение гиперболы, зная, что ее асимптоты параллельны осям координат и что гипербола проходит через следующие точки: (0, 0), (2, 1), (1, 2). 53. Фокусы и директрисы кривых второго порядка Найти фокусы F 1 , F 2 и соответствующие им директрисы линий: 1208. x 2 4 + y 2 20 = 1 1209. x 2 4 ? 2y 2 + 8 = 0 1210. y = 3 4 x 2 1211. Найти фокус и директрису параболы 3x 2 + 12x + 16y ? 12 = 0 1212. Найти фокус F и директрису d параболы y = ax 2 1213. Найти фокусы и директрисы равносторонней гиперболы 2xy = a 2 1214. Написать уравнения эллипса и гиперболы с фокусами (7, 0) и (?7, 0), прохо- дящих через точку (?2, 12). 1215. Написать уравнение линии второго порядка, зная ее фокус (2, 0), соответству- ющую ему директрису x = 8 и эксцентриситет e = 1/2. Найти второй фокус и вторую директрису линии. 1216. Написать уравнение линии второго порядка, фокус которой находится в точ- ке (2, 0), соответствующая ему директриса имеет уравнение x = 5, зная, что линия проходит через точку (10, 6) Найти второй фокус и вторую директрису этой линии. 60 1217. Написать уравнение линии второго порядка, фокус которой находится в точ- ке (2, 0), соответствующая ему директриса имеет уравнение x = 6, зная, что линия проходит через точку (?4, 8). 1218. Написать уравнение линии второго порядка, центр которой находится в точке (1, 0) , а одной из директрис служит прямая x = 2, зная, что линия проходит через точку (5, 6) 1219. Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус (1, 1) и асим- птоту x + y = 0. 1220. Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус (2, 0) и асим- птоту x = 1. 1221. Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты (1, 0), (0, 1) и большая ось равна 2. 1222. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой имеют координаты (1, 0), (0, 1) и асимптоты параллельны осям координат. 54. Определение типа кривой второго порядка по ее общему уравнению С помощью переноса начала системы координат установить тип кривой и найти ее расположение относительно данной системы координат (нарисовать картинку): 1223. 9x 2 + 16y 2 ? 54x + 64y + 1 = 0 1224. 4x 2 ? y 2 ? 16x ? 6y + 3 = 0 1225. 3y 2 ? 12x ? 6y + 11 = 0 1226. 25x 2 + 9y 2 ? 100x + 54y ? 44 = 0 1227. 4x 2 ? y 2 ? 16x + 6y + 23 = 0 1228. 3x 2 + 12x + 16y ? 12 = 0 1229. 9x 2 ? 4y 2 + 36 |