Щербаков а. Н., Проскурін м. П., Грушко с. С. Прикладна теорія цифрових автоматів

• Название: Щербаков а. Н., Проскурін м. П., Грушко с. С. Прикладна теорія цифрових автоматів
• Анкор: Ukr1_PTTsA_kl_ch1_10-02-2010.doc
• Дата: 13.02.2018
• Размер: 2.54 Mb.
• Имя файла: Ukr1_PTTsA_kl_ch1_10-02-2010.doc
• Тип: Протокол; #15521
• страница: 4 из 26

3 ПОЗИЦІЙНІ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ

3.1 Представлення чисел в позиційних системах числення

Система числення, в якій значення базисної цифри визначається її положенням в розрядах числа, називається позиційною. Наприклад, в десятковій системі числення в числі 222, перша цифра зліва від коми означає дві одиниці, друга  два десятки, третя  дві сотні.

Позиційна система числення визначається своєю основою.

Основа q позиційної системи числення  кількість знаків, що використовуються для відображення числа в даній системі.

Якщо q  ціле позитивне число, то позиційна система числення називається природна.

Позиційних систем числення може бути багато оскільки за основу можна прийняти будь-яке число і утворити нову систему числення.

Число в позиційній системі числення визначається рівністю:

<sub>,

або</sub>

де а_i коефіцієнти розрядів в знаках системи; q основа системи числення; A(q)  довільне число; m, n  кількість дробових і цілих розрядів.

При записі числа, запис основи і знак "+" опускають, а ступінь визначають по розряду від коми,

тобто .

Наприклад, число 934,125 записано в десятковій системі числення. Число 124,57₍₈₎ записано у 8-й системі числення (беруться цифри 0, 1, ..., 7).

У двійковій системі числення використовують цифри 0, 1.

Наприклад, число 1001,1 = 12³ + 12⁰+12^-1 =17,5 (див. таблицю 3.1).

Вага розряду Р_i числа в позиційній системі числення- це відношення де і  це номер розряду справа наліво. Вага розрядів росте справа наліво. Якщо візьмемо розряд Р_і=10^К, то наступний старший матиме вагу P_i+1=10^K+1, а молодший P_i-1=10^K-1. Такий взаємозв’язок розрядів припускає, при виконанні операцій, передачу інформації між ними.

Таблиця 3.1  Еквіваленти десяткових чисел в різних системах числення

Десяткова цифра
	q=2	q=3	q=5	q=8	q=16
0	0000	000	00 00	00	0
1	0001	001	01	01	1
2	0010	002	02	02	2
3	0011	010	03	03	3
4	0100	011	04	04	4
5	0101	012	10	05	5
6	0110	020	11	06	6
7	0111	021	12	07	7
8	1000	022	13	10	8
9	1001	100	14	11	9
10	1010	101	20	12	A
11	1011	102	21	13	В
12	1100	110	22	14	С
13	1101	111	23	15	D
14	1110	112	24	16	E
15	1111	120	30	17	F

Якщо в даному розряді накопичилося значення одиниць (десятків, сотень, і т.д.) рівне або більше q, то повинна відбуватися передача одиниці в сусідній, старший розряд. При складанні, такі передачі назвемо переносом одиниці в старший розряд, а при відніманні – позикою одиниці ізстаршого розряду. Приклад: 9 + 2 = 11; 17 – 8 = 9.

Глибина числа – це кількість знаків (зображень), які використано при записі числа в одному розряді. Поняття «глибина числа» співпадає з поняттям «основа» і дорівнює значенню q – тобто для 10-ї, 8-ї, 2-ї систем числення, відповідно: 0, 1, 2, …, 9 (десять); 0, 1, 2, …, 7 (вісім); 0, 1 (два).

Довжина числа – це кількість розрядів в записі числа. Часто вжива-ється термін – довжина розрядної сітки пристрою (кількість розрядів n).

Для різних систем характерна своя довжина розрядної сітки для запису одного і того ж числа. Наприклад, 96₍₁₀₎ = 140₍₈₎ = 10120₍₃₎ = 1100000_(2). Чим менша основа, тим більше потрібно розрядів для запису числа і навпаки.


Рисунок 3.1 Числова вісь діапазону чисел, що представляються

Величина розрядної сітки n, що прийнята в ЦА, у свою чергу накладає обмеження на уявний діапазон чисел (яким він може оперувати) – це інтервал числової вісі між максимальним і мінімальним числом (рис. 3.1). У загальному випадку, максимальне (мінімальне) число уявного діапазону, залежить від основи системи числення і кількості виділених розрядів n: N(q) _max = (qⁿ1), N(q) _min =  (qⁿ1). Наприклад, три розряди десяткової системи забезпечать діапазон чисел (з урахуванням знаку) N_min= 999, N_max= 999.