ТВиМС. Ответы по ТВиМС. Случайные события и предмет теории вероятностей

• Название: Случайные события и предмет теории вероятностей
• Анкор: ТВиМС
• Дата: 30.04.2023
• Размер: 1.02 Mb.
• Имя файла: Ответы по ТВиМС.docx
• Тип: Документы; #1098795
• страница: 2 из 6

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.



Свойство 2. Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от до x, т. е.



Свойство 3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок равна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е.



Свойство 4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

.

11. 
    Математическое ожидание С.В. и его свойства.
    

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.
Для непрерывной случайной величины математическое ожидание



Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку ,



Используя функцию распределения вероятностей F(x), математическое ожидание случайной величины можно выразить так:



Свойства математического ожидания:

Свойство 1. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Свойство 2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Свойство 3. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Свойство 4. Постоянный множитель случайной величины можно вынести за знак математического ожидания:

Свойство 5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

11. 
    Дисперсия С.В. и ее свойства.
    

В качестве меры рассеивания случайной величины используют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, которое называют дисперсией случайной величины X и обозначают D[X]:



Для дискретной случайной величины дисперсия равна сумме произведений квадратов отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания на соответствующие вероятности:



Для непрерывной случайной величины, закон распределения которой задан плотностью распределения вероятности f(x), дисперсия



Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины и поэтому ее нельзя интерпретировать геометрически. Этих недостатков лишено среднее квадратическое отклонение случайной величины, которое вычисляется по формуле
Свойства дисперсии случайных величин:

Свойство 1. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Свойство 2. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:



Свойство 3. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

Свойство 4. Постоянный множитель случайной величины, можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

Свойство 5. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин X и Y определяется по формуле

11. 
    Равномерный и нормальный закон распределения, стандартная форма нормального закона распределения С.В.
    

Равномерный закон распределения

Случайная величина X называется распределённой равномерно на отрезке [a; b], если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:



Все возможные значения равномерно распределённой случайной величины лежат в пределах некоторого интервала; кроме того. в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (обладают одной и той же плотностью вероятности). Равномерно распределение реализуется в экспериментах, где наудачу ставиться точка на отрезке [a; b] (X — абсцисса поставленной точки).
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой случайной величины


Характеристическая функция равномерного распределения задаётся формулой



График плотности равномерного распределения


Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины X выражается формулой



Кривая распределения изображена на рисунке. Она симметрична относительно точки x=a (точка максимума). При уменьшении ордината точки максимума неограниченно возрастает, при этом кривая пропорционально сплющивается вдоль оси абсцисс, так что площадь под её графиком остаётся равной единицы.


Математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой случайной величины:



Нормальный закон распределения полностью определяется математическим ожидание и дисперсией случайной величины:



Характеристическая функция нормального распределения случайной величины задаётся формулой



Стандартная форма нормального закона распределения С.В.:

Нормальный закон распределения с параметрами и называется стандартным или нормированным и обозначается :

.
16. Распределение Пирсона, t-распределение Стьюдента, F-распределение Фишера. Показательный закон распределения.
Распределение Пирсона — непрерывное распределение вероятностей, плотность вероятности которого является решением дифференциального уравнения , где числа являются параметрами распределения.
t-распределение Стьюдента (или просто t-распределение) - это любой член семейства непрерывных вероятностных распределений, возникающих при оценке среднего значения нормально распределенной популяции в ситуациях, когда размер выборки мал, а стандартное отклонение популяции неизвестно.
Пусть — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что Тогда распределение случайной величины t, где называется распределением Стьюдента с степенями свободы .
F–распределение Снедекора или распределение Фишера-Снедекора, представляет собой непрерывное распределение вероятностей, которое часто возникает как нулевое распределение тестовой статистики.

F-распределение с d1 и d2 степенями свободы является распределением:

, где S₁ и S₂ - независимые случайные величины с распределениями хи-квадрат с соответствующими степенями свободы d₁ и d₂.


Показательный (экспоненциальный закон распределения).

Случайная величина Х распределена по показательному закону распределения с параметром λ, если её плотность вероятности имеет вид:



Функция распределения имеет вид:



Математическое ожидание и дисперсия для случайной величины, распределенной по показательному закону, находятся по формулам:















То есть при

17. 
    Структурные характеристики распределения С.В.
    

К структурным характеристикам относятся такие характеристики, как начальные и центральные моменты. Структурные характеристики определяют некоторые свойства случайных величин.

Начальный момент порядка k случайной величины Х:



Для дискретной случайной величины начальный момент k порядка

, где - вероятность, - значение случайной величины.

Для непрерывной случайной величины, имеющей плотность вероятности , начальный момент k порядка .

Центральный момент случайной величины Х –величина, которая определяется как .

Особое значение имеют такие показателиначального и центрального моменты, которые называются коэффициент ассиметрии и коэффициент эксцесса

Для нормального распределения справедливо: 0, 0.
18. Системы С.В. Закон распределения системы (X, Y). Маржинальный закон распределения С.В.
Системы случайных величин

Если рассмотреть совместно две случайных величины ξ и η, то можно считать, что рассматривается система случайных величин. Геометрически пара случайных величин ξ и η может быть представлена как случайная точка M (x, y) на плоскости.

Законы распределения систем случайных величин

Закон распределения системы случайных величин – функция, которая ставит в соответствие любой паре значений случайных величин ξ и η вероятность её появления

P:_ _ [0,1].

Маржинальный закон распределения случайной величины

В дискретном случае вероятности распределяются по формулам:



19. Интегральный закон распределения системы С.В. и его свойства. Плотность вероятности системы С.В. Маржинальные плотности системы С.В.



Интегральная функция распределения вероятностей системы случайных величин:

и геометрически представляет собой вероятность попадания случайной точки с координатами (Х, У) в бесконечный прямоугольник с вершиной в точке М(х;у), лежащий левее и ниже ее.

Свойства интегральной функции распределения:

1)

2)

3)

4)
Для систем дискретных случайных величин интегральная функция распределения:



Свойства дифференциальной функции распределения (плотности вероятности):

1)

2) (условие нормировки);

3)

4) вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в область D:
Маржинальные плотности системы случайных величин

Для непрерывных случайных величин маргинальную функцию плотности вероятности можно записать как pX(x).