лекция 1. Смирнов В. А., Смирнова И. М
 Скачать 3.75 Mb.
|
|
2. Равенство треугольников Уровень В 7. Треугольники ABD и ACE равны по первому признаку равенства треугольников (АВ=АС, АD = AE, угол A общий). Следовательно, равны соответствующие стороны BD и CE этих треугольников. 8. Треугольники OCE и ODE равны по первому признаку равенства треугольников (OC = OD, COE = DOE, сторона OE – общая). Следовательно, равны соответствующие стороны EC и ED этих треугольников. 9. Треугольники ABD и ACE равны по первому признаку равенства треугольников (AC = AD, АВ=АE,угол A – общий). Следовательно, равны соответствующие углы ABD и AEC. Из равенства этих углов следует равенство смежных с ними углов CBD и DEC. 168 10. Треугольники AOD и BOC равны по первому признаку равенства треугольников (AO = BO, DO=CO, AOD = BOC). Следовательно, равны соответствующие стороны AD и ВС этих треугольников. 11. Треугольник AOB – равнобедренный, следовательно, OAB = OBA. Учитывая равенство углов DAC и DBC, получаем равенство углов ABD и BAC. Треугольники ABC и BAD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, ABC = BAD, BAC = ABD). Следовательно, равны соответствующие углы C и D этих треугольников. 12. Треугольник AOB – равнобедренный, следовательно, OAB = OBA. Учитывая равенство углов DAC и DBC, получаем равенство углов ABD и BAC. Треугольники ABC и BAD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, ABC = BAD, BAC = ABD). Следовательно, равны соответствующие стороны AC = BD этих треугольников. 169 13. Из равенства углов 1 и 2 следует равенство смежных углов ACB и DFE. Из равенства отрезков AD и CF следует равенство отрезков AC и DF. Треугольники ACB и DFE равны по второму признаку равенства треугольников (AC = DF, ВAC = EDF, ACB = DFE). 14. Треугольники AOC и DOB равны по второму признаку равенства треугольников (OC = OB, ACO = DBO, AOC = DOB). 15. Треугольники AOB и COD равны по второму признаку равенства треугольников (AO = CO, OAB = OCD, AOB = COD). 170 16. Из равенства углов 1 и 2 следует равенство смежных с ними углов ACO и BDO. Треугольники ACO и BDO равны по второму признаку равенства треугольников (CO = DO, ACO = BDO, AOC = BOD). Следовательно, равны соответствующие стороны OA и OB этих треугольников. 17. Треугольник ABC – равнобедренный. Следовательно, B = C. Треугольники ABE и ACD равны по второму признаку равенства треугольников (AB = AC, 1= 2, B = C). Следовательно, равны соответствующие стороны AE и AD этих треугольников. Треугольник AED – равнобедренный. Следовательно, 3 = 4. 18. Треугольник ADE – равнобедренный. Следовательно, D = E. Треугольники ACD и ABE равны по второму признаку равенства треугольников (AD = AE, D= E, CAD = BAE). Следовательно, равны соответствующие стороны CD и BE. Значит, равны и отрезки BD и CE. 171 19. Треугольники ABC и BAD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, ABC = BАD, BAC = ABD. Следовательно, равны соответствующие стороны АС и BD этих треугольников. 20. Из равенства треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 следует равенство соответствующих сторон BC и B 1 C 1 , а также соответствующих углов B и B 1 Треугольники BCD и B 1 C 1 D 1 равны по второму признаку равенства треугольников (BC = B 1 C 1 , B = B 1 , BCD = B 1 C 1 D 1 ). Следовательно, равны соответствующие стороны BD и B 1 D 1 этих треугольников. Из равенства треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 следует равенство соответствующих сторон AB и A 1 B 1 . Следовательно, имеет место равенство отрезков AD и A 1 D 1 21. Треугольник ABC – равнобедренный. Следовательно, A = C. Значит, равны и смежные с ними углы 1 и 2. 172 22. Треугольник ABC – равнобедренный. Следовательно, BAC = 1. Углы BAC и 2 равны как вертикальные. Значит, 1 = 2. 23. Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (AD – общая сторона, BD = CD, ADB = ADC). Следовательно, равны соответствующие стороны AB и AC этих треугольников. Треугольник ABC – равнобедренный и, значит, ACB = ABC. 24. Треугольники ABС и ABD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, ABC = ABD, BAC = BAD). Следовательно, равны соответствующие стороны BC и BD этих треугольников. Треугольник BCD – равнобедренный, значит, 3 = 4. 173 25. Треугольники ABC и DCB равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = DC, AC = DB, BC – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы BAC и CDB этих треугольников. 26. В четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = CD, BC = DA, AC – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы ABC и CDA этих треугольников. 27. Треугольники ABC и CDA равны по первому признаку равенства треугольников (AB = CD, AC – общая сторона, BAC = DCA). Следовательно, равны соответствующие углы B и D этих треугольников. 174 28. Треугольники ABC и CDA равны по первому признаку равенства треугольников (AB = CD, AC – общая сторона, BAC = DCA). Следовательно, равны соответствующие стороны AD и BC этих треугольников. 29. Треугольники ABC и ADC равны по первому признаку равенства треугольников (AB = AD, AC – общая сторона, BAC = DAC). Следовательно, равны соответствующие стороны BC и DC этих треугольников. 30. Треугольники ABC и ADC равны по первому признаку равенства треугольников (AB = AD, AC – общая сторона, BAC = DAC). Следовательно, равны соответствующие углы B и D этих треугольников. 175 31. Проведем отрезок BD. Треугольник ABD – равнобедренный (AB = AD). Следовательно, ABD = ADB.Треугольник CBD – равнобедренный (CB = CD). Следовательно, CBD = CDB.Значит, ABC = ADC. 32. Проведем отрезок BD. Треугольник BCD – равнобедренный (BC = DC). Следовательно, DBC = BDC.Из этого равенства и равенства углов ABC и ADC следует равенство углов ABD и ADB.Значит, треугольник ABD – равнобедренный, следовательно, АВ = AD. 33. Треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, BAC = BCA. Треугольник CDE – равнобедренный, следовательно, DCE = DEC. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Следовательно, BAC = DEC. 176 34. Углы ACB и ECD равны, как вертикальные. Треугольники ABC и EDC равны по второму признаку равенства треугольников (BC = DC, ABC = EDC, ACB = ECD). Следовательно, равны соответствующие стороны AC и EC этих треугольников. 35. Из равенства отрезков AD и CF следует равенство отрезков AC и DF. Треугольники ABC и FED равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = FE, BC = ED, AC = FD). Следовательно, равны соответствующие углы ACB и FDE этих треугольников, значит, равны и смежные с ними углы 1 и 2. 36. Проведем отрезок BD. Треугольники ABD и CBD равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = CB, AD = CD, BD – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы 1 и 2 этих треугольников. 177 37. Проведем отрезок AC. Треугольник ABC – равнобедренный (AB = BC). Следовательно, BAC = BCA. Из этого равенства и равенства углов 1 и 2 следует равенство углов DAC и DCA. Значит, треугольник DAC – равнобедренный, следовательно, AD = CD. 38. Треугольники AOD и COD равны по третьему признаку равенства треугольников (AO = CO, AD = CD, OD – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы ADO и CDO. Треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (AD = CD, BD – общая сторона, ADB = CDB). Следовательно, равны соответствующие стороны AB и CB этих треугольников. 39. Треугольники ABD и CBD равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = CB, AD = CD, BD – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы ABO и CBO. Треугольники ABO и CBO равны по первому признаку равенства треугольников (AB = CB, BO – общая сторона, ABO = CBO). Следовательно, равны соответствующие стороны AO и CO этих треугольников. 178 40. Треугольники ABC и BAD равны по первому признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, BC = AD, ABC = BAD). Следовательно, равны соответствующие стороны AC и BD этих треугольников. 41. Из равенства треугольников АВС и BAD следует равенство соответствующих сторон AC и BD, BC и AD. Треугольники CBD и DAC равны по третьему признаку равенства треугольников (CB = DA, BD = AC, CD – общая сторона). 42. Из равенства треугольников ABD 1 и ABD 2 следует равенство соответствующих сторон BD 1 и BD 2 , а также равенство соответствующих углов ABD 1 и ABD 2 . Из равенства указанных углов следует равенство смежных с ними углов CBD 1 и CBD 2 . Треугольники BCD 1 и BCD 2 равны по первому признаку равенства треугольников (BD 1 = BD 2 , BC – общая сторона, CBD 1 = CBD 2 ). 179 43. Из предыдущей задачи следует, что из равенства треугольников ABE 1 и ABE 2 вытекает равенство треугольников BCE 1 и BCE 2 , которое, в свою очередь, влечет равенство треугольников CDE 1 и CDE 2 44. Треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку равенства треугольников (АВ = CD, BC = DA, AC – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы ABC и CDA, BAC и DCA. Из равенства углов ABC и CDA следует равенство углов ABE и CDF. Треугольники ABE и CDF равны по второму признаку равенства треугольников (AB = CD, BAE = DCF, ABE = CDF). 45. Из равенства сторон правильного треугольника и равенства отрезков AD, BE и CF следует равенство отрезков AF, CE и BD. Треугольники ADF, BED и CFE равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE = CF, AF = BD = CE, A = B = C). Следовательно, равны соответствующие стороны DF, ED и FE этих треугольников. Значит, треугольник DEF тоже правильный. 180 46. Из равенства сторон правильного треугольника ABC и равенства отрезков BD, CE и AF следует равенство отрезков AD, BE и CF. Из равенства углов правильного треугольника ABC следует равенство углов FAD, DBE и ECF. Треугольники ADF, BED и CFE равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE = CF, AF = BD = CE, FAD = DBE = ECF). Следовательно, равны соответствующие стороны DF, ED и FE этих треугольников. Значит, треугольник DEF тоже правильный. 47. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , AC = A 1 C 1 , высота СH равна высоте С 1 H 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Значит, A = A 1 , следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними. 181 48. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AС = A 1 С 1 , BC = B 1 C 1 , высота СH равна высоте С 1 H 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Значит, AH = A 1 H 1 . Прямоугольные треугольники BCH и B 1 C 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Значит, BH = B 1 H 1 . Следовательно, AB = A 1 B 1 , итреугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам. 49. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 A = A 1 , AB = A 1 B 1 , высота СH равна высоте С 1 H 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по катету и острому углу. Значит, AC = A 1 C 1 , следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними. 50. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 A = A 1 , AB = A 1 B 1 , высота AH равна высоте A 1 H 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. 182 Действительно, прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Значит, B = B 1 , следовательно,треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 51. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 A = A 1 , BC = B 1 C 1 , высота CH равна высоте C 1 H 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по катету и острому углу. Значит, AC = A 1 C 1 и AH = A 1 H 1 Прямоугольные треугольники BCH и B 1 C 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Значит, BH = B 1 H 1 , следовательно, AB = A 1 B 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам. 52. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 A = A 1 , B = B 1 , высота CH равна высоте C 1 H 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по катету и острому углу. Значит, AH = A 1 H 1 . Прямоугольные треугольники BCH и B 1 C 1 H 1 равны по катету и острому углу. Значит, BH = B 1 H 1 , следовательно, AB = A 1 B 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 183 53. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 A = A 1 , B = B 1 , высота AH равна высоте A 1 H 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 равны по катету и острому углу. Значит, AB = A 1 B 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 54. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 A = A 1 , высота BG равна высоте B 1 G 1 , высота CH равна высоте C 1 H 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники ABG и A 1 B 1 G 1 равны по катету и острому углу. Значит, AB = A 1 B 1 . Прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по катету и острому углу. Значит, AC = A 1 C 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними. 55. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 A = A 1 , высота AG равна высоте A 1 G 1 , высота CH равна высоте C 1 H 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по катету и острому углу. Значит, AC = A 1 C 1 . Прямоугольные треугольники ACG и A 1 C 1 G 1 равны по гипотенузе и катету. Значит, C = C 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 184 56. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , высота AH равна высоте A 1 H 1 , высота BG равна высоте B 1 G 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Значит, B = B 1 . Прямоугольные треугольники ABG и A 1 B 1 G 1 равны по гипотенузе и катету. Значит, A = A 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 57. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , высота AG равна высоте A 1 G 1 , высота CH равна высоте C 1 H 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники ABG и A 1 B 1 G 1 равны по гипотенузе и катету. Значит, B = B 1 и BH = B 1 H 1 . Следовательно, AH = A 1 H 1 , значит, прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по двум катетам. Следовательно, A = A 1 , и треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 185 58. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , AC = A 1 C 1 , медиана CM равна медиане C 1 M 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, треугольники ACM и A 1 C 1 M 1 равны по трем сторонам. Значит, A = A 1 , следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними. 59. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 A = A 1 , AB = A 1 B 1 , биссектриса AD равна биссектрисе A 1 D 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, треугольники ABD и A 1 B 1 D 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, B = B 1 , следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 60. Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 основание AB равно основанию A 1 B 1 , С = С 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, из равенства углов C и C 1 следует равенство углов при основаниях AB и A 1 B 1 треугольников. Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 186 61. Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 основание AB равно основанию A 1 B 1 , высота CH равна высоте C 1 H 1 Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Так как высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой, то прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по двум катетам. Значит, A = A 1 . Прямоугольные треугольники BCH и B 1 C 1 H 1 равны по двум катетам. Значит, B = B 1 Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 62. Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 равны боковые стороны AС и A 1 C 1 , высота CH равна высоте C 1 H 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. 187 Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Значит, AH = A 1 H 1 . Прямоугольные треугольники BCH и B 1 C 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Значит, BH = B 1 H 1 и AB = A 1 B 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам. 63. Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 основание AB равно основанию A 1 B 1 , высота AH равна высоте A 1 H 1 Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Значит, B = B 1 . Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 64. Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 равны боковые стороны BС и B 1 C 1 , высота AH равна высоте A 1 H 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Значит, С = С 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними. 188 65. Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 равны боковые стороны BС и B 1 C 1 , медиана AM равна медиане A 1 M 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, треугольники ACM и A 1 C 1 M 1 равны по трем сторонам. Значит, С = С 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними. 66. Пусть в прямоугольных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 ( B = B 1 = 90 о ) равны катеты AB и A 1 B 1 , медиана CM равна медиане C 1 M 1 Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники BCM и B 1 C 1 M 1 равны по гипотенузе и катету. Значит, BС = B 1 С 1 . Следовательно, прямоугольные треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум катетам. 67. Пусть в прямоугольных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 ( B = B 1 = 90 о ) равны катеты BС и B 1 C 1 , медиана CM равна медиане C 1 M 1 Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. 189 Действительно, прямоугольные треугольники BCM и B 1 C 1 M 1 равны по гипотенузе и катету. Значит, BM = B 1 M 1 и, следовательно, AB = A 1 B 1 Таким образом, прямоугольные треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум катетам. 68. Пусть в прямоугольных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 ( C = C 1 = 90 о ) равны катеты BС и B 1 C 1 , медиана CM равна медиане C 1 M 1 Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, так как гипотенуза прямоугольного треугольника в два раза больше медианы, к ней проведенной, то из равенства медиан CM и C 1 M 1 следует равенство гипотенуз AB и A 1 B 1 . Значит, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по гипотенузе и катету. |