лекция 1. Смирнов В. А., Смирнова И. М
 Скачать 3.75 Mb.
|
|
Уровень С 1. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 недостаточно для равенства самих треугольников. Рассмотрим окружность и ее хорду AB. С центром в точке A проведем другую окружность, пересекающую первую окружность в некоторых точках C и C 1 . Тогда в треугольниках ABC и ABC 1 AB – общая сторона, AC = AC 1 , С = С 1 , однако треугольники ABC и ABC 1 не равны. 2. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 недостаточно для равенства самих треугольников. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 , в которых H = H 1 = 90 o , AH = A 1 H 1 , AB = A 1 B 1 . На продолжениях сторон BH и B 1 H 1 отложим неравные отрезки соответственно HC и H 1 C 1 . Тогда в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , B = B 1 , высоты AH и A 1 H 1 равны, однако сами треугольники не равны. 191 3. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 , медиана СM равна медиане С 1 M 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Продолжим медианы и отложим отрезки MD = CM и M 1 D 1 = C 1 M 1 Тогда четырехугольники ACBD и A 1 С 1 B 1 D 1 – параллелограммы. Треугольники ACD и A 1 C 1 D 1 равны по трем сторонам. Следовательно, ACD = A 1 C 1 D 1 . Аналогично, треугольники BCD и B 1 C 1 D 1 равны по трем сторонам. Следовательно, BCD = B 1 C 1 D 1 . Значит, С = С 1 , и треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними. 4. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого рассмотрим окружность с центром в точке M. Проведем два диаметра AB и A 1 B 1 . Через точки A, A 1 , M проведем еще одну окружность и выберем на ней точку C, как показано на рисунке. В треугольниках ABC и A 1 B 1 C AB = A 1 B 1 , A = A 1 , медиана СM – общая. Однако треугольники ABC и A 1 B 1 C не равны. 192 5. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого рассмотрим угол и окружность с центром в вершине A этого угла. На одной стороне угла отложим отрезок AB и через его середину K проведем прямую, параллельную другой стороне и пересекающую окружность в точках M и M 1 . Через точку B проведем прямые BM и BM 1 , пересекающие сторону угла соответственно в точках C и C 1 . В треугольниках ABC и ABC 1 угол A – общий, AB – общая сторона, медианы AM и AM 1 равны, однако треугольники ABC и ABC 1 не равны. 6. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого рассмотрим окружность с центром в точке O и окружность в два раза меньшего радиуса, касающуюся первой окружности внутренним образом в точке B. Напомним, что эта окружность без точки B является геометрическим местом середин хорд первой окружности, проходящих через точку B.Проведем хорду AB и окружность с центром в точке A, пересекающую вторую окружность в точках M и M 1 .Проведем прямые BM и BM 1 , пересекающие первую окружность соответственно в точках C и C 1 . В треугольниках ABC и ABC 1 сторона AB – общая, С = С 1 , медианы AM и AM 1 равны. Однако треугольники ABC и ABC 1 не равны. 193 7. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого рассмотрим окружность и проведем равные хорды AB и AB 1 . Через точку M окружности проведем прямые BM и B 1 M и отложим на них отрезки MC и MC 1 , соответственно равные BM и B 1 M.В треугольниках ABC и AB 1 C 1 AB = AB 1 , B = B 1 , медиана AM – общая, однако треугольники ABC и AB 1 C 1 не равны. 8. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 A = A 1 , B = B 1 , медиана AM равна медиане A 1 M 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, из равенства углов следует, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 подобны. Напомним, что преобразование подобия переводит медиану в медиану. Если бы AB A 1 B 1 , то AM A 1 M 1 , что противоречит условию. Значит, AB = A 1 B 1 , следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. 9. Решение аналогично решению предыдущей задачи. 10. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , медиана AM равна медиане A 1 M 1 , медиана BK равна медиане B 1 K 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, пусть O, O 1 – точки пересечения медиан данных треугольников. Так как медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то треугольники ABO и A 1 B 1 O 1 194 равны по трем сторонам. Следовательно, BAO = B 1 A 1 O 1 , значит, треугольники ABM и A 1 B 1 M 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому ABC = A 1 B 1 C 1 . Аналогично доказывается, что BAC = B 1 A 1 C 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 11. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , медиана AM равна медиане A 1 M 1 , медиана СK равна медиане С 1 K 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, пусть O, O 1 – точки пересечения медиан данных треугольников. Так как медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то треугольники AKO и A 1 K 1 O 1 равны по трем сторонам. Следовательно, KAO = K 1 A 1 O 1 , значит, треугольники ABM и A 1 B 1 M 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому ABC = A 1 B 1 C 1 и MB = M 1 B 1 , следовательно, BC = B 1 C 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними. 12. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого рассмотрим две равные окружности с центрами в точках O 1 и O 2 , касающиеся друг друга в точке M. Проведем в одной из них хорду AB и прямую AM, пересекающую вторую окружность в некоторой точке C. Проведем отрезок BC. Получим треугольник ABC. Проведем в нем медиану CK и обозначим O точку, делящую еев отношении 2:1, считая от вершины C. Проведем окружность с центром в точке O радиуса OC, пересекающую вторую окружность в точке C 1 . Проведем прямую C 1 M и обозначим A 1 точку ее пересечения с первой окружностью. Обозначим K 1 точку пересечения хорды A 1 B и прямой C 1 O. В треугольниках ABC и 195 A 1 BC 1 A = A 1 , медианы CK и C 1 K 1 равны, так как равны отрезки CO и C 1 O, соответственно равные двум третям этих медиан, медиана BM – общая. Однако треугольники ABC и A 1 BC 1 не равны. 13. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого рассмотрим две равные окружности с центрами в точках O 1 и O 2 , касающиеся друг друга в точке K. Проведем в одной из них хорду AB и прямую AK, пересекающую вторую окружность в некоторой точке C. Проведем отрезок BC. Получим треугольник ABC. Проведем в нем медиану BK и обозначим O точку, делящую еев отношении 2:1, считая от вершины B. Проведем окружность с центром в точке O радиуса OA, пересекающую первую окружность в точке A 1 . Проведем прямую A 1 K и обозначим C 1 точку ее пересечения со второй окружностью. Получим треугольник A 1 BC 1 , в котором O – точка пересечения медиан. В треугольниках ABC и A 1 BC 1 196 A = A 1 , медианы AM и A 1 M 1 равны, так как равны отрезки AO и A 1 O, соответственно равные двум третям этих медиан, медиана BK – общая. Однако треугольники ABC и A 1 BC 1 не равны. 14. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , AC = A 1 C 1 , биссектриса CD равна биссектрисе С 1 D 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Обозначим AB = A 1 B 1 = c, AC = A 1 C 1 = b, CD = C 1 D 1 = l, BC = a, B 1 C 1 = a 1 . Докажем, что a = a 1 . Из этого будет следовать, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам. Воспользуемся формулой для биссектрисы треугольника 2 2 2 ( ) c ab l ab a b Покажем, что при фиксированных b и c большему значению a соответствует большее значение l биссектрисы. Производная правой части, как функции от a, равна 2 3 ( ) ( ) c b b a b a b Из неравенства треугольника следует, что b – a < c и a + b > c. Откуда получаем, что производная больше нуля, значит, функция строго возрастает, т.е. большему значению a соответствует большее значение l. Таким образом, из равенства биссектрис следует равенство сторон a и a 1 . Значит, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам. 15. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 , биссектриса CD равна биссектрисе С 1 D 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Продолжим стороны AC и A 1 C 1 и отложим на их продолжениях отрезки CE = BC и C 1 E 1 = B 1 C 1 . Тогда BE = AE CD AC , B 1 E 1 = 1 1 1 1 1 1 A E C D A C Треугольники BCE и B 1 C 1 E 1 равны по трем сторонам. Значит, E = E 1 . Треугольники ABE и A 1 B 1 E 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = A 1 B 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам. 197 16. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 A = A 1 , AB = A 1 B 1 , биссектриса CD равна биссектрисе С 1 D 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Отложим данные треугольники так, что вершины A и A 1 , B и B 1 совпадают, а вершины C и C 1 лежат по одну сторону от AB.Докажем, что если AC < AC 1 , то биссектриса СD меньше биссектрисы C 1 D 1 Предположим, что AC BC. Через вершину C 1 проведем прямую C 1 E, параллельную прямой CD. Точка D 1 будет лежать между точками D и E. При этом CD < C 1 E < C 1 D 1 . Аналогично доказывается, что CD < C 1 D 1 в случае, если AC < BC. Таким образом, из условия равенства биссектрис следует, что вершины C и C 1 должны совпадать, значит, данные треугольники равны. 17. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 A = A 1 , AB = A 1 B 1 , биссектриса AD равна биссектрисе A 1 D 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, треугольники ABD и A 1 B 1 D 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, B = B 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 198 18. Пример треугольников, изображенных на рисунке, показывает, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства треугольников. Действительно, в треугольниках ABC и ABC 1 B – общий, AB – общая сторона, биссектрисы AD и AD 1 равны. Однако треугольники ABC и ABC 1 не равны. 19. Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 равны основания AB, A 1 B 1 и медианы AM, A 1 M 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Проведем медианы CD и C 1 D 1 . Точки их пересечения с медианами AM и A 1 M 1 обозначим соответственно O и O 1 Прямоугольные треугольники AOD и A 1 O 1 D 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, OAD = O 1 A 1 D 1 . Треугольники ABM и A 1 B 1 M 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, B = B 1 199 Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 20. Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 равны основания AB, A 1 B 1 и биссектрисы AD, A 1 D 1 . Докажем, что эти треугольники равны. Для этого докажем, что при увеличении боковой стороны равнобедренного треугольника и постоянном основании биссектриса, проведенная к боковой стороне, увеличивается. Предположим, что AB = 1, AC = a. Тогда для биссектрисы l имеет место формула 3 2 2 ( 1) a l a a Производная функции, стоящей в правой части этого равенства, равна 3 2 3 3 1 ( 1) a a a Эта производная больше нуля для всех положительных a. Следовательно, большей боковой стороне соответствует большая биссектриса. Равенство биссектрис равнобедренных треугольников с равными основаниями возможно только в случае равенства боковых сторон, т.е. в случае равенства самих треугольников. 21. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , медианы СM и С 1 M 1 равны, высоты CH и C 1 H 1 равны. Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. 200 Действительно, прямоугольные треугольники CMH и C 1 M 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, CMH = C 1 M 1 H 1 и, значит, AMC = A 1 M 1 C 1 . Треугольники AMC и A 1 M 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AC = A 1 C 1 и A = A 1 Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними. 22. Пусть в прямоугольных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 ( C = C 1 = 90 о ) AB = A 1 B 1 , высоты CH и C 1 H 1 равны. Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Проведем медианы CM и C 1 M 1 . Они равны, так как составляют половины гипотенуз. В силу решения задачи 21, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. 23. Пусть в прямоугольных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 ( C = C 1 = 90 о )медианы CM и C 1 M 1 равны, высоты CH и C 1 H 1 равны. Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, гипотенузы AB = A 1 B 1 равны, так как они в два раза больше соответствующих медиан. В силу решения задачи 21, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. 24. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , биссектрисы CD и C 1 D 1 равны, высоты CH и C 1 H 1 равны. Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Предположим, что AC BC и A 1 C 1 B 1 C 1 . Отложим данные треугольники так, что вершины A и A 1 , B и B 1 совпадают, а вершины C и C 1 лежат по одну сторону от AB.Докажем, что если AC < AC 1 , то биссектриса СD меньше биссектрисы C 1 D 1 201 Проведем прямую C 1 E, параллельную CD. Угол ACB больше угла AC 1 B, угол AC 1 E больше угла ACD. Следовательно, угол AC 1 E больше угла BC 1 E, значит, точка D 1 лежит между точками A и E. Следовательно, DH < D 1 H 1 , значит, CD < C 1 D 1 . Таким образом, из условия равенства биссектрис следует, что вершины C и C 1 должны совпадать и, значит, данные треугольники равны. 25. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AC = A 1 C 1 , медианы CM и C 1 M 1 равны, высоты CH и C 1 H 1 равны. Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, A = A 1 и AH = A 1 H 1 Прямоугольные треугольники CMH и C 1 M 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, MH = M 1 H 1 , откуда AM = A 1 M 1 ,значит, AB = A 1 B 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними. 26. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AС = A 1 С 1 , биссектрисы CD, C 1 D 1 равны, высоты CH, C 1 H 1 равны. Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. 202 Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, A = A 1 , ACH = A 1 C 1 H 1 Прямоугольные треугольники DCH и D 1 C 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, DCH = D 1 C 1 H 1 , откуда ACD = A 1 C 1 D 1 , значит, С = С 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 27. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства треугольников. Рассмотрим окружность и угол с вершиной в центре A этой окружности. Отложим на его стороне отрезок AB, больший диаметра, и через его середину K проведем прямую, параллельную другой стороне угла и пересекающую окружность в некоторых точках M и M 1 Проведем прямые BM, BM 1 и точки их пересечения со стороной угла обозначим соответственно C и C 1 . Тогда в треугольниках ABC и ABC 1 сторона AB – общая, высота BH – общая, медианы AM и AM 1 равны, однако треугольники ABC и ABC 1 не равны. 28. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , биссектрисы AD и A 1 D 1 равны, высоты BH и B 1 H 1 равны. Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, A = A 1 . Треугольники ABD и A 1 B 1 D 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, B 203 = B 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 29. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 C = C 1 , медианы CM и C 1 M 1 равны, высоты CH и C 1 H 1 равны. Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники CMH и C 1 M 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, AMC = A 1 M 1 C 1 . Если отрезок AM был бы, например, больше отрезка A 1 M 1 , то угол ACM был бы больше угла A 1 C 1 M 1 . Так как AM = BM и A 1 M 1 = B 1 M 1 , то в этом случае BM был бы больше B 1 M 1 , значит, угол BCM был бы больше угла B 1 C 1 M 1 . Следовательно, угол C был бы больше угла C 1 , что противоречит условию. Аналогично показывается, что отрезок AM не может быть меньше отрезка A 1 M 1 . Таким образом, AM = A 1 M 1 и BM = B 1 M 1 . Треугольники AMC и A 1 M 1 C 1 , BMC и B 1 M 1 C 1 , равны по двум сторонами углу между ними. Следовательно, AC = A 1 C 1 и BC = B 1 C 1 , значит, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними. 30. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 C = C 1 , биссектрисы CD и C 1 D 1 равны, высоты CH и C 1 H 1 равны. Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники CDH и C 1 D 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, CDH = C 1 D 1 H 1 . Значит, ADC = A 1 D 1 C 1 . Треугольники ADC и A 1 D 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AC = A 1 C 1 , A = A 1 204 Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 31. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства треугольников. Рассмотрим треугольник ABC. Проведем окружность с центром в середине M стороны BC и радиусом AM. Обозначим A 1 точку пересечения этой окружности со стороной AC. В треугольниках ABC и A 1 BC С – общий, медианы AM и A 1 M равны, высота BH –общая. Однако треугольники ABC и A 1 BC не равны. 32. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 C = C 1 , медианы AM и A 1 M 1 равны, высоты AH и A 1 H 1 равны. Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольниках AСH и A 1 C 1 H 1 равны по катету и острому углу. Следовательно, AC = A 1 C 1 и CH = C 1 H 1 Прямоугольные треугольниках AMH и A 1 M 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Следовательно, MH = M 1 H 1 , значит, CM = C 1 M 1 . Тогда BC = B 1 C 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними. 33. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 C = C 1 , биссектрисы AD и A 1 D 1 равны, высоты AH и A 1 H 1 равны. Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. 205 Действительно, прямоугольные треугольники AСH и A 1 C 1 H 1 равны по катету и острому углу. Следовательно, AC = A 1 C 1 и CAH = C 1 A 1 H 1 . Прямоугольные треугольники ADH и A 1 D 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Следовательно, DAH = D 1 A 1 H 1 . Значит, CAD = C 1 A 1 D 1 , тогда и A = A 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 34. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 C = C 1 , биссектрисы CD и C 1 D 1 равны, высоты BH и B 1 H 1 равны. Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники BСH и B 1 C 1 H 1 равны по катету и острому углу. Следовательно, BC = B 1 C 1 . Треугольники BCD и B 1 C 1 D 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, B = B 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 35. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 соответственно равны высоты AH и A 1 H 1 , BG и B 1 G 1 , CF и C 1 F 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Обозначим стороны треугольников соответственно a, b, c и a 1 , b 1 , c 1 , а соответствующие высоты h a , b b , h c и h 1a , h 1b , h 1c . Имеют место равенства ah a = bh b = ch c и a 1 h 1a = b 1 h 1b = c 1 h 1c . Разделив почленно первые равенства на вторые, получим равенства 1 1 1 a b c a b c , из которых следует, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 подобны. Так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только подобны, но и равны. 206 36. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 соответственно равны медианы AK и A 1 K 1 , BL и B 1 L 1 , CM и C 1 M 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Медианы OM и O 1 M 1 треугольников ABO и A 1 B 1 O 1 равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных треугольников. По признаку равенства треугольников (см. задачу 3 данного раздела) треугольники ABO и A 1 B 1 O 1 равны, значит, AB = A 1 B 1 . Аналогично доказывается, что BC = B 1 C 1 и AC = A 1 C 1 Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам. 37. Повернем треугольник ACD вокруг вершины C на угол 60 о против часовой стрелки. Вершина A перейдет в вершину B, а D – в E. Середина F отрезка AD перейдет в середину G отрезка BE. Следовательно, треугольник CFG – равнобедренный с углом C, равным 60 о . Значит, он равносторонний. |