лекция 1. Смирнов В. А., Смирнова И. М
 Скачать 3.75 Mb.
|
|
4. Четырехугольники Уровень А 1. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 2. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 3. Докажите, что если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 4. Докажите, что если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – па- раллелограмм. 90 5. Докажите, что если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. 6. Докажите, что если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом. 7. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. 8. Докажите, что прямая, проходящая через середину боковой стороны трапеции и параллельная основаниям, делит вторую боковую сторону пополам. 91 9. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. 10. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. 11. Докажите, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. 92 Уровень В 1. Докажите, что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника. 2. Верно ли, что если диагональ четырехугольника разбивает его на два равных треугольника, то этот четырехугольник – параллелограмм? 3. Докажите, что если противоположные углы четырехугольника равны, то он – параллелограмм. 93 4. Докажите, что диагонали прямоугольника равны. 5. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником. 6. Докажите, что у ромба диагонали перпендикулярны. 94 7. Докажите, что если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то он является ромбом. 8. Докажите, что если диагональ параллелограмма является бис- сектрисой его углов, то он является ромбом. 9. Докажите, что если у четырехугольника все стороны равны, то он является ромбом. 95 10. Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом. 11. Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. 12. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является прямоугольником. 96 13. Докажите, что углы при основании равнобедренной трапеции равны. 14. Докажите, что если два угла при основании трапеции равны, то трапеция – равнобедренная. 15. Докажите, что если сумма двух противоположных углов трапеции равна 180 о , то эта трапеция – равнобедренная. 97 16. Докажите, что диагонали равнобедренной трапеции равны. 17. Докажите, что высоты ромба равны. 18. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон. 98 19. На сторонах квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 . Докажите, что четырехугольник A 1 B 1 C 1 D 1 – квадрат. 20. На продолжениях сторон квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 . Докажите, что четырехугольник A 1 B 1 C 1 D 1 – квадрат. 21. Докажите, что диагональ четырехугольника меньше его полупериметра. 99 22. Докажите, что сумма противоположных сторон четырехугольника меньше суммы его диагоналей. 23. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. 24. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. 100 25. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. 26. Докажите, что середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба. 27. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису внешнего угла параллелограмма, и две прямые, содержащие две стороны параллелограмма, не проходящие через вершину этого угла, образуют равнобедренный треугольник, сумма боковых сторон которого равна периметру параллелограмма. 101 28. В параллелограмме ABCD точки E и F – середины противоположных сторон AB и CD соответственно. Докажите, что прямые AF и CE делят диагональ BD на три равные части. 29. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка E так, что AE = AD n , F – точка пересечения прямых AC и BE. Докажите, что AF = 1 AC n 30. Докажите, что в четырехугольнике с непараллельными противоположными сторонами середины диагоналей и середины двух противоположных сторон являются вершинами параллелограмма. 102 31. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения диагоналей ромба на его стороны, являются вершинами прямоугольника. 32. Докажите, что любой отрезок, соединяющий какие-нибудь две точки, принадлежащие основаниям трапеции, делится средней линией пополам. 33. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. 103 34. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения его диагоналей. 35. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, делит его на две равновеликие части. 36. Докажите, что прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая основания, делит эту трапецию на две равновеликие части. 104 37. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, разбивает ее на две равновеликие части. 38. Докажите, что если через вершины выпуклого четырехугольника провести прямые, параллельные его диагоналям, то площадь параллелограмма, образованного этими прямыми, в два раза больше площади данного четырехугольника. 39. Докажите, что наименьшую сумму расстояний от точек плоскости до вершин данного выпуклого четырехугольника имеет точка пересечения его диагоналей. 105 Уровень С 1. Докажите, что сумма двух противоположных сторон четырехугольника больше разности двух других его сторон. 2. Докажите, что разность большего и меньшего оснований трапеции больше разности ее боковых сторон. 3. Докажите, что угол между биссектрисами двух противоположных углов выпуклого четырехугольника равен полуразности двух других углов. 106 4. Докажите, что если биссектрисы углов при одном из оснований трапеции пересекаются в точке, принадлежащей второму основанию, то это второе основание равно сумме боковых сторон трапеции. 5. Докажите, что биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, пересекаются под прямым углом в точке, принадлежащей средней линии трапеции. 6. В параллелограмме ABCD точка M – середина BC, N – середина CD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части. 107 7. Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма ограничивают прямоугольник, диагональ которого равна разности соседних сторон параллелограмма. 8. Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника ограничивают квадрат. 9. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что их центры являются вершинами квадрата. 108 10. Точки E, F, G, H – соответственно середины сторон AB, BC, CD, DA квадрата ABCD. Докажите, что четырехугольник KLMN, ограниченный прямыми AF, BG, CH, DE, является квадратом. 11. Докажите, что два параллелограмма, вписанных один в другой так, что вершины одного принадлежат сторонам другого, имеют общую точку пересечения диагоналей. 12. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен их полуразности. 109 13. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90 о Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности. 14. Докажите, что если у четырехугольника ABCD AB = AD и CB = CD, то его диагонали AC и BD перпендикулярны. 15. Докажите, что точка пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, равноудалена от середин его диагоналей и лежит с ними на одной прямой. 110 16. Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что их отрезки, заключенные внутри квадрата, равны. 17. В прямоугольный треугольник вписан квадрат таким образом, что две его вершины принадлежат гипотенузе. Эти вершины делят гипотенузу последовательно на отрезки a, b, c. Докажите, что b 2 =ac. 18. В прямоугольный треугольник c катетами a и b вписан квадрат таким образом, что у них один общий угол и одна из вершин квадрата принадлежит гипотенузе. Сторона квадрата равна c. Докажите, что c b a 1 1 1 111 19. Докажите, что если из какой-либо точки диагонали параллелограмма опустить перпендикуляры на стороны, выходящие из общей с диагональю вершины, то длины этих перпендикуляров обратно пропорциональны соответствующим сторонам параллелограмма. 20. Докажите, что точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон и середины оснований трапеции принадлежат одной прямой. 21. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 112 22. Докажите, что в трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований. 23. Докажите, что в четырехугольнике сумма квадратов диагоналей вдвое больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон. 24. Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, опущенный на нее из середины другой боковой стороны. 113 25. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. 26. Точки E, F, G, H – соответственно середины сторон AB, BC, CD, DA квадрата ABCD. Докажите, что площадь квадрата KLMN, ограниченного прямыми AF, BG, CH, DE, равна одной пятой площади квадрата ABCD. 27. Точки E и F – середины сторон соответственно AB и BC параллелограмма ABCD. Докажите, что площадь закрашенной части параллелограмма в два раза больше незакрашенной. 114 28. Докажите, что из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. 115 5. Окружность и круг Уровень А 1. Докажите, что если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то эти прямая и окружность не имеют общих точек. 2. Докажите, что если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к окружности. 3. Докажите, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания. 116 4. Докажите, что если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то эти окружности не имеют общих точек (одна находится вне другой). 5. Докажите, что если расстояние между центрами двух окружностей меньше разности их радиусов, то эти окружности не имеют общих точек (одна находится внутри другой). 6. Докажите, что если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то эти окружности касаются (внешним образом). 117 7. Докажите, что если расстояние между центрами двух окружностей равно разности их радиусов, то эти окружности касаются (внутренним образом). 8. Докажите, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности. 9. Докажите, что диаметр, перпендикулярный хорде той же окружности, делит эту хорду пополам. 118 Уровень В 1. Докажите, что диаметр, проведенный через середину хорды той же окружности, отличной от диаметра, перпендикулярен этой хорде. 2. Докажите, что если две хорды окружности перпендикулярны и одна из них в точке пересечения делится пополам, то другая является диаметром. 3. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от центра окружности. 119 4. Докажите, что если хорды окружности равноудаленыот ее центра, то они равны. 5. Докажите, что равные хорды окружности стягивают равные дуги. 6. Докажите, что равные дуги окружности стягивают равные хорды. 120 7. Две окружности имеют общий центр. Докажите, что хорды большей окружности, касающиеся меньшей окружности, равны между собой. 8. Докажите, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. 9. Докажите, что отрезки общих внешних касательных к двум окружностям равны. 121 10. Докажите, что отрезки общих внутренних касательных к двум окружностям равны. 11. Докажите, что отрезки общих внутренних касательных к двум окружностям одинакового радиуса в точке пересечения делятся пополам. 12. Две окружности касаются внутренним образом, причем меньшая окружность проходит через центр большей. Докажите, что всякая хорда большей окружности, проходящая через точку касания, делится меньшей окружностью пополам. 122 13. Из концов диаметра AB окружности опущены перпендикуляры AA 1 и BB 1 на касательную. Докажите, что точка касания C является серединой отрезка A 1 B 1 14. К окружности проведены две параллельные касательные. Докажите, что отрезок любой касательной, заключенный между двумя данными параллельными касательными, виден из центра окружности под прямым углом. 15. Из точки пересечения двух окружностей проведены их диаметры. Докажите, что другие концы диаметров и вторая точка пересечения окружностей принадлежат одной прямой. 123 16. К двум окружностям c центрами в точках O 1 , O 2 , касающимся внешним образом в точке A, проведена общая касательная BC (B и C – точки касания). Докажите, что угол BAC – прямой. 17. Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центры этих окружностей, перпендикулярна данной хорде и делит ее пополам. 18. Докажите, что если три окружности имеют общую хорду, то их центры расположены на одной прямой. 124 19. Докажите, что угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой дуг, на которые опираются данный угол и вертикальный с ним угол. 20. Докажите, что угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги окружности, заключенной внутри этого угла. 21. Докажите, что угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность, измеряется полуразностью дуг окружности, заключенных внутри этого угла. 125 22. Докажите, что угол между касательной и секущей к окружности измеряется полуразностью дуг окружности, заключенных внутри этого угла и разделяемых точкой касания. 23. Докажите, что угол между двумя касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами. 126 24. Три окружности одинакового радиуса попарно касаются друг друга. Докажите, что их центры являются вершинами равностороннего треугольника. 25. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей полукру- гов, построенных на катетах. 127 Уровень С 1. Докажите, что если две точки принадлежат кругу, то отрезок, их соединяющий, содержится в данном круге. 2. Точка A лежит внутри круга с центром O и радиусом R. Расстояние AO равно a. Докажите, что круг с центром A и радиусом R – a содержится в исходном круге. 3. Докажите, что из всех хорд, проходящих через данную точку, взятую внутри круга, наименьшей является та, которая перпендикулярна диаметру, проходящему через эту точку. 128 4. Через точку диаметра окружности, отличную от центра, проведены две равные хорды. Докажите, что они одинаково наклонены к диаметру. 5. Через точку диаметра окружности проведены две хорды, одинаково наклоненные к нему. Докажите равенство этих хорд. 6. Докажите, что все равные хорды, проведенные в данной окружности, касаются некоторой другой окружности. 129 7. Две окружности касаются внешним образом. Через точку касания проведена секущая, которая делит эти окружности на четыре дуги. Докажите, что пары дуг, расположенные по разные стороны секущей и лежащие в разных окружностях, имеют одинаковые градусные величины. 8. Две окружности касаются внешним образом. Через точку их касания проведена к ним общая касательная и, кроме того, проведена общая внешняя касательная. Докажите, что отрезок этой второй касательной между точками касания точкой пересечения с первой касательной делится пополам. 9. Две окружности касаются внешним образом. Через точку их касания проведена секущая. Докажите, что касательные к этим окружностям, проведенные через точки их пересечения с секущей, параллельны. 130 10. Докажите, что всякая хорда, проведенная через внутреннюю точку круга, делится этой точкой на два отрезка, произведение которых постоянно и равно произведению отрезков диаметра, проведенного через ту же точку. 11. Докажите, что если из точки вне окружности проведены секущая и касательная, то произведение отрезка этой секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной. 12. Даны две концентрические окружности. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки одной из них до концов какого- нибудь данного диаметра другой есть величина постоянная. 131 13. Две окружности пересекаются. Через одну из точек пересечения проведены касательные к каждой окружности. Докажите, что отрезки этих касательных, лежащие внутри окружностей, видны из другой точки пересечения под равными углами. 14. Диаметр AB окружности продолжен за точку B. Через точку C этого продолжения проведена прямая c, перпендикулярная AB. Для произвольной точки X прямой c обозначим X’ точку пересечения прямой AX с данной окружностью. Докажите, что произведение AX и AX’ постоянно и не зависит от выбора точки X на прямой c. 15. В круге с центром O проведена хорда AB. На радиусе OA, как на диаметре, описана окружность. Докажите, что площади двух сегментов, отсекаемых хордой AB от обоих кругов, относятся как 4:1. 132 16. Вершины ломаной ABCDE принадлежат окружности. Углы B, C и D равны 45 о . Докажите, что площадь заштрихованной части круга равна половине площади круга. |