лекция 1. Смирнов В. А., Смирнова И. М
 Скачать 3.75 Mb.
|
|
3. Соотношения между элементами треугольника Уровень В 45. Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то из неравенства AB > BC следует неравенство BAC < BCA. Значит, для соответствующих смежных углов выполняется неравенство 1 > 2. 46. Из неравенства 1 > 2 следует неравенство BAC < BCA. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то выполняется неравенство AB > BC. 47. В треугольниках AOC и BOD углы AOC и BOD равны как вертикальные. Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов, то из неравенства 1 < 2 следует неравенство A < B. 208 48. В треугольниках AOC и BOD углы AOC и BOD равны как вертикальные. Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов, то из неравенства A < B следует неравенство 1< 2. 49. Через точку C проведем прямую, параллельную AD, и ее точку пересечения с прямой AB обозначим E. Так как 3 < 4 и 3 = ACE, то точка E будет внутренней точкой отрезка AB. Четырехугольник ADCE – параллелограмм, следовательно, CD = AE < AB. 50. На отрезке AB возьмем точку E так, что AE = CD. Четырехугольник ADCE – параллелограмм. Следовательно, 3 = ACE, значит, 3 < 4. 209 51. В четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, BAC = BCA.В треугольнике ACD AD < CD, следовательно, DAC > DCA. Значит, 1 > 2. 52. В четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, BAC = BCA.Из неравенства 1 > 2 следует неравенство DAC > DCA. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ACD выполняется неравенство AD < CD. 53. В четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то DAC > DCA и BAC > BCA. Значит, в четырехугольнике ABCD A > C. 210 54. В четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Треугольники ABC и ADC равны (по трем сторонам). Следовательно, BAC = DAC, BCA = DCA. Значит, из неравенства A > C следует неравенство BAC > BCA. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AB < BC. 55. Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то в треугольнике ABC выполняется неравенство ACB < ABC. Треугольник BCD – равнобедренный, следовательно, DCB = DBC. Значит, ACD < ABD. 56. Треугольник BCD – равнобедренный, следовательно, DCB = DBC. Значит, ACB < ABC. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AC > AB. 211 57. Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то в треугольнике ABC выполняется неравенство BAC < BCA. Треугольник CDE – равнобедренный, следовательно, DEC = DCE. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Значит, BAC < DEC. 58. Треугольник CDE – равнобедренный, следовательно, DEC = DCE. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Значит, BAC < BCA. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AB > BC. 59. Треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, B = C. Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов, то из равенства углов B, C инеравенства 1 > 2 следует неравенство 3 > 4. 212 60. Треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, B = C. Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов, то из равенства углов B, C инеравенства 3 > 4 следует неравенство 1 > 2. 61. Обозначим внешние углы треугольника ABC при вершинах B и C соответственно 2 и 3. Тогда 3 = A + B = A + (180 o – 2). Откуда 2 + 3 = A + 180 o 62. Пусть в треугольнике ABC C = A + B. Учитывая, что A + B + C = 180 o , получаем 2 С = 180 о , следовательно, C = 90 o , т.е. треугольник ABC – прямоугольный. 213 63. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC A = 30 o , AC – гипотенуза. Рассмотрим треугольник ABD, равный треугольнику ABC, такой, что вершины C и D лежат по разные стороны от прямой AB.В треугольнике ACD AC = AD, CAD = 60 o . Следовательно, этот треугольник – равносторонний. Так как отрезок BC равен половине CD, а СD = AC, то BC равен половине AC. 64. Воспользуемся тем, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. В треугольнике ABC имеем: AB < AC + BC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства AB, получим 2AB < AB + AC + BC. Следовательно, AB < 1 2 ( AB + AC+ BC). 65. Пусть CD – биссектриса внешнего угла при вершине C равнобедренного треугольника ABC (AC = BC).Так как этот внешний угол равен сумме равных углов A и B, то угол BCD равен углу B. Эти углы являются накрест лежащими, значит, CD параллельна AB. 214 66. Пусть CD – биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC.Так как СD параллельна AB, то угол B равен углу BCD и равен половине внешнего угла при вершине C. Так как этот внешний угол равен сумме углов A и B, то угол A также равен половине внешнего угла. Следовательно, углы A и B равны, значит, треугольник ABC – равнобедренный. 67. Из неравенства AC > BC для наклонных следует неравенство AH > BH для их проекций. На отрезке AH отложим отрезок HD, равный HB. Прямоугольные треугольники BCH и DCH равны по двум катетам, следовательно, BCH = DCH, значит, ACH > BCH. 68. Пусть в треугольнике ABC высота CH совпадает с медианой. Тогда прямоугольные треугольники ACH и BCH равны по двум катетам. Следовательно, AC = BC, значит, треугольник ABC – равнобедренный. 215 69. Пусть в треугольнике ABC биссектриса CD совпадает с высотой. Прямоугольные треугольники ACD и BCD равны по катету и острому углу. Следовательно, AC = BC, значит, треугольник ABC – равнобедренный. 70. Пусть в равнобедренном треугольнике ABC AA 1 и BB 1 – медианы, проведенные к боковым сторонам. В треугольниках AA 1 C и BB 1 C угол C – общий, AC = BC, A 1 C = B 1 C. Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AA 1 = BB 1 71. Пусть в треугольнике ABC равны медианы AA 1 и BB 1 . Так как медианы в точке пересечения O делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то треугольник AOB – равнобедренный, значит, ABO = BAO. Треугольники ABB 1 и BAA 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, A = B, значит, треугольник ABC – равнобедренный. 216 72. Пусть в равнобедренном треугольнике ABC AA 1 и BB 1 – биссектрисы, проведенные к боковым сторонам. В треугольниках ABB 1 и BAA 1 сторона AB – общая, A = B, ABB 1 = BAA 1 Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, AA 1 = BB 1 73. Пусть в равнобедренном треугольнике ABC AA 1 и BB 1 – высоты, проведенные к боковым сторонам. Прямоугольные треугольники ABB 1 и BAA 1 равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, AA 1 = BB 1 74. Пусть в треугольнике ABC равны высоты AA 1 и BB 1 Прямоугольные треугольники ABB 1 и BAA 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, A = B, значит, треугольник ABC – равнобедренный. 217 75. Пусть в треугольнике ABC AC > BC, AA 1 , BB 1 – высоты. Воспользуемся тем, что площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону. Получим равенство 1 1 1 1 2 2 BC AA AC BB . Из этого равенства и неравенства AC > BC, следует, что AA 1 > BB 1 76. Пусть угол C при вершине, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 36 о , AA 1 – биссектриса. Тогда A = B = 72 o . Значит, CAA 1 = 36 o , следовательно, треугольник ACA 1 – равнобедренный. Так как BAA 1 = 36 o и B = 72 o , то AA 1 B = 72 o . Значит, треугольник ABA 1 – равнобедренный. 77. Пусть CC 1 – высота треугольника ABC. Воспользуемся тем, что перпендикуляр короче наклонной, проведенной из той же точки к той же прямой. Тогда CC 1 < AC и CC 1 < BC. Складывая эти два неравенства, получим 2CC 1 < AC + BC, или СС 1 < 1 2 (AC + BC). 218 78. Пусть CC 1 – медиана треугольника ABC. Воспользуемся тем, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Тогда CC 1 < AC + AC 1 , CC 1 < BC + BC 1 . Складывая эти неравенства, получим 2CC 1 < AC + BC + AB, или CC 1 < 1 2 (AC + BC + AB). 79. Пусть AA 1 , BB 1 , CC 1 – высоты треугольника ABC. В силу решения задачи 33, имеем: 2СС 1 < AC + BC,2BB 1 < AB + BC, 2AA 1 < AC + AB. Складывая эти неравенства, получим AA 1 + BB 1 + CC 1 < AB + BC + AC. 80. Пусть DE – средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AB. Опустим перпендикуляры AA 1 , BB 1 , CC 1 из вершин треугольника на прямую DE.Прямоугольные треугольники ADA 1 и СDС 1 равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, AA 1 = CC 1 Прямоугольные треугольники BEB 1 и СEС 1 равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, BB 1 = CC 1 .Таким образом, AA 1 = BB 1 = CC 1 219 81. Пусть D, E, F – середины сторон соответственно AC, BC, AB. Стороны треугольников AFD, FBE, DEC и EDF в два раза меньше соответствующих сторон треугольника ABC. Следовательно, эти четыре треугольника равны по трем сторонам. 82. Пусть точки D и E – середины сторон соответственно AC и BC треугольника ABC, CH – высота. Воспользуемся тем, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузе. Тогда треугольники CDH и CEH – равнобедренные, следовательно, DCH = DHC, ECH = EHC. Складывая эти равенства, получим DCE = DHE. 83. Пусть CM – медиана треугольника ABC. AG и BH – перпендикуляры, опущенные на прямую CM.Прямоугольные треугольники AGM и BHM равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, AG = BH. 220 84. Треугольники CDE и CAB подобны и коэффициент подобия k равен отношению расстояний от точки C до прямых c и AB. Следовательно, DE = kAB. Аналогично, треугольники C’D’E’ и C’AB подобны и коэффициент подобия такжеравен отношению расстояний от точки C’ до прямых c и AB. Следовательно, D’E’ = kAB.Значит, DE = D’E’. 85. Пусть CC 1 – медиана треугольника ABC. Опустим из вершин A и B перпендикуляры AA’ и BB’ на прямую CC 1 Прямоугольные треугольники AA’C 1 и BB’C 1 равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, AA’ = BB’. Треугольники ACC 1 и BCC 1 имеют общую сторону CC 1 и равные высоты, опущенные на нее. Следовательно, эти треугольники равновелики. 86. Пусть отрезок CC 1 , соединяющий вершину треугольника ABC с точкой, принадлежащей противолежащей стороне, разбивает этот треугольник на два равновеликих треугольника ACC 1 и BCC 1 . Опустим из вершин A и B перпендикуляры AA’ и BB’ на прямую CC 1 . Из равенства площадей треугольников ACC 1 и BCC 1 следует равенство высот AA’ и BB’.Прямоугольные треугольники AA’C 1 и BB’C 1 равны по катету и острому углу. Следовательно, AС 1 = BC 1 , т.е. CC 1 – медиана треугольника ABC. 221 43. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, CH – высота, опущенная на гипотенузу. Треугольники ABC и CBH подобны по трем углам, следовательно, AC : AB = CH : BC. Откуда AC BC AB CH 44. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 A = A 1 , AB = c, A 1 B 1 = c 1 , AC = b, A 1 C 1 = b 1 . Тогда площади этих треугольников равны соответственно 1 sin 2 b c A и 1 1 1 1 sin 2 b c A . Следовательно, их отношение равно 1 1 b c b c 222 Уровень С 1. Пусть CC 1 – медиана треугольника ABC. Отложим на продолжении этой медианы отрезок C 1 D, равный CC 1 . В четырехугольнике ACBD AD = BC.Воспользуемся тем, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Тогда CD < AC + AD, следовательно, 2CC 1 < AC + BC, или CC 1 < 1 2 (AC + BC). 2. Пусть O – точка пересечения медиан AA 1 и BB 1 треугольника ABC. Тогда AO = 2 3 AA 1 , BO = 2 3 BB 1 . Для треугольника ABO имеем неравенство AB < AO + BO, следовательно, имеем неравенство AB < 2 3 (AA 1 + BB 1 ), из которого непосредственно следует неравенство 3AB < 2(AA 1 + BB 1 ). 3. Пусть AA 1 , BB 1 , CC 1 – медианы треугольника ABC. Воспользуемся неравенствами, доказанными в первой задаче:2AA 1 < AB + AC, 2BB 1 < AB + BC, 2CC 1 < AC + BC. Складывая их, получим AA 1 + BB 1 + CC 1 < AB + BC + AC.Воспользуемся неравенствами, доказанными во второй задаче:2(AA 1 + BB 1 ) > 3AB, 2(AA 1 + CC 1 ) > 3AC, 223 2(BB 1 + CC 1 ) > 3BC. Складывая их, получим AA 1 + BB 1 + CC 1 > 3 4 ( AB + BC + AC). 4. Пусть D – точка, принадлежащая основанию AB равнобедренного треугольника ABC. DB 1 и DA 1 – перпендикуляры, опущенные соответственно на стороны AC и BC.Через точку D проведем прямую, параллельную AC,и ее точку пересечения со стороной BC обозначим E. Из точки B опустим высоту BH и ее точку пересечения с отрезком DE обозначим G. Треугольник DBE – равнобедренный, DA 1 = BG, как высоты, опущенный на боковые стороны.Четырехугольник DB 1 HG – прямоугольник, следовательно, DB 1 = GH. Значит, DA 1 + DB 1 = BH. Приведем еще одно доказательство, использующее площадь. Пусть боковые стороны данного равнобедренного треугольника равны c, высота, опущенная на боковую сторону, равна h, DA 1 = a, DB 1 = b. Воспользуемся тем, что площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ADC и BDC, а также формулой площади треугольника. Получим равенство 1 1 1 2 2 2 c a c b c h , из которого следует требуемое равенство a + b = h. 224 5. Через данную точку O треугольника ABC проведем прямую, параллельную AB, и ее точки пересечения со сторонами AC и BC обозначим соответственно D и E. Тогда, в силу предыдущей задачи, сумма перпендикуляров OA 1 и OB 1 , опущенных на стороны CE и CD треугольника DEC, равна высоте EG этого треугольника. Применяя теперь результат предыдущей задачи к треугольнику ABC и точке E, получаем, что сумма перпендикуляров, опущенных из точки E на стороны AB и AC, равна высоте CH треугольника ABC. Так как OC 1 = EF, окончательно получаем OA 1 + OB 1 + OC 1 = CH. Приведем еще одно доказательство, использующее площадь. Пусть стороны равностороннего треугольника ABC равны d, высота равна h, O – внутренняя точка треугольника, перпендикуляры OA 1 , OB 1 , OC 1 , опущенные на стороны треугольника, равны соответственно a, b, c. Воспользуемся тем, что площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников BOC, AOC и AOB, а также формулой площади треугольника. Получим равенство 1 1 1 1 2 2 2 2 d a d b d c d h , из которого следует требуемое равенство a + b + c = h. 225 6. Пусть в остроугольном треугольнике ABC угол A меньше угла B. Из точки D,принадлежащей стороне AB, опущены перпендикуляры DA 1 и DB 1 соответственно на стороны BC и AC. AH – высота, опущенная на сторону BC. Докажем, что AH > DA 1 + DB 1 . Через точку D проведем прямую, параллельную BC,и ее точку пересечения со стороной AC обозначим E. Точку пересечения высоты AH и DE обозначим G. Четырехугольник DA 1 HG – прямоугольник, следовательно, DA 1 = GH. В треугольнике ADE AE > DE и, по доказанному в задаче В31, AG > DB 1 . Таким образом, имеем AH = GH + GA > DA 1 + DB 1 7. Пусть ABC – равнобедренный треугольник (AC = BC). Из точки D, принадлежащей продолжению стороны AB, опущены перпендикуляры DA 1 и DB 1 соответственно на прямые BC и AC. BH – высота, опущенная на боковую сторону. Докажем, что DB 1 – DA 1 = BH. Через точку B проведем прямую, параллельную AC, и ее точку пересечения с DB 1 обозначим E. Четырехугольник BEB 1 H – прямоугольник, следовательно, BH = EB 1 Прямоугольные треугольники DBA 1 и DEB равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, DA 1 = DE. Значит, DB 1 – DA 1 = DB 1 – DE = EB 1 = BH. 226 8. Пусть O – внутренняя точка треугольника ABC. Докажем, что выполняется неравенство AC + BC > AO + BO. Обозначим D точку пересечения прямых AO и BC. Тогда AC + BC = AC + CD + DB > AD + DB = AO + OD + DB > AO + OB. 9. Пусть O – внутренняя точка треугольника ABC. Проведем луч CO и точку его пересечения с AB обозначим D. Тогда AOD > ACD, BOD > BCD (по теореме о внешнем угле треугольника). Складывая эти два неравенства, получим требуемое неравенство AOB > ACB, 227 10. Продолжим медиану CM на отрезок MD, равный CM, и соединим точки A и D. Треугольники ADM и BCM равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AD = BC, ADM = BCM. Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то ADM > ACM или BCM > ACM 11. Отложим на стороне AC отрезок CE, равный CB, и соединим точки D и E. Треугольники BCD и ECD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, DB = DE, DBC = DEC. Угол AED равен внешнему углу треугольника ABC при вершине B, который больше внутреннего угла A. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то AD > DE = DB. 12. Если треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то биссектриса, медиана и высота, проведенные из вершины C, совпадают.Пусть в треугольнике ABC AC > BC, CD – биссектриса, CM – медиана, CH – высота. Тогда A < B, ACM < BCM и ACH > BCH (см. задачи С10 и В23). Следовательно, биссектриса CM лежит между медианой CM и высотой CH. 228 13. Пусть D – внутренняя точка стороны AB треугольника ABC. Проведем высоту CH. Предположим, что AC BC, тогдаотрезок AH больше или равен BH. Тогда DH < AH. Так как из двух наклонных, проведенных из одной точки, меньше та, проекция которой меньше, то CD < CA. 14. Пусть O – внутренняя точка треугольника ABC. Докажем, что выполняются неравенства 1 2 (AB + BC + AC) < OA + OB + OC < AB + BC + AC. Имеем неравенства AB < OA + OB < AC + BC, BC < OB + OC < AB + AC, AC < OA + OC < AB + BC. Складывая их, получим неравенства AB + BC + AC < 2(OA + OB + OC) < 2(AB + BC + AC), из которых непосредственно следуют требуемые неравенства. 15. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, AB – гипотенуза. Окружность, описанная около этого треугольника, имеет своим 229 диаметром AB. Следовательно, медиана CM равна радиусу этой окружности и равна половине AB. 16. Пусть CM – медиана треугольника ABC, равная половине стороны AB. С центром в точке M опишем окружность диаметра AB. Она пройдет через вершину C. Вписанный угол C опирается на диаметр окружности, следовательно, равен 90 о . Значит, треугольник ABC – прямоугольный. 17. ACH = B, как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. ACM = A, как углы при основании равнобедренного треугольника ACM. Следовательно, MCH = ACM – ACH = A – B. 230 18. Пусть ABC – тупоугольный треугольник ( C > 90 о ), CM – медиана, CH – высота. Опишем около этого треугольника окружность с центром O. Так как угол C – тупой, то угол OCH составляет часть угла MCH и равен разности углов A и B (см. задачу С6 параграфа 6). Следовательно, угол MCH больше разности углов A и B. 19. Пусть ABC – остроугольный треугольник, CM – медиана, CH – высота. Опишем около этого треугольника окружность с центром O. Так как угол C – острый, то угол MCH составляет часть угла OCH, который равен разности углов A и B (см. задачу С6 параграфа 6). Следовательно, угол MCH меньше разности углов A и B. 20. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, C = 90 о , CM – медиана, CH – высота, CD – биссектриса. Имеем: HCD = ACD – ACH = 45 o – B, MCD = BCD – BCM = 45 o – B. Следовательно, HCD = MCD. 231 21. Пусть ABC – тупоугольный треугольник, CM – медиана, CH – высота, CD - биссектриса. Опишем около этого треугольника окружность с центром O. Так как угол C – тупой, то угол MCH больше угла OCH, который делится пополам биссектрисой CD (см. задачу С7 параграфа 6). Следовательно, угол MCD больше угла DCH. 22. Пусть ABC – остроугольный треугольник, CM – медиана, CH – высота, CD - биссектриса. Опишем около этого треугольника окружность с центром O. Так как угол C – острый, то угол MCH составляет часть угла OCH, который делится пополам биссектрисой CD (см. задачу С7 параграфа 6). Следовательно, угол MCD меньше угла DCH. 23. Пусть AA 1 , BB 1 , CC 1 – медианы треугольника ABC, пересекающиеся в точке O. Продолжим CC 1 и отложим C 1 D = OC 1 . В треугольнике AOD AO = 2 3 AA 1 , AD = BO = 2 3 BB 1 , OD = 2 3 CC 1 Используя неравенство треугольника, примененное к треугольнику AOD, получим OD < AO + AD и, следовательно, CC 1 < AA 1 + BB 1 232 24. Пусть CD – биссектриса треугольника ABC. Через точку B проведем прямую, параллельную CD,и ее точку пересечения с прямой AC обозначим E. В треугольнике BCE угол B равен углу E и, следовательно, BC = CE. Так как BE параллельна CD, то по теореме о пропорциональных отрезках имеем AD AC AC DB CE BC , следовательно, биссектриса угла С треугольника ABC делит сторону AB на части, пропорциональные прилежащим сторонам AC и BC. 25. Пусть CD – биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC. Через точку B проведем прямую, параллельную CD, и ее точку пересечения с прямой AC обозначим E. В треугольнике BCE угол B равен углу E и, следовательно, BC = CE. Так как BE параллельна CD, то по теореме о пропорциональных отрезках имеем AD AC AC DB CE BC , следовательно,расстояния от точки D до концов стороны AB треугольника ABC пропорциональны прилежащим сторонам AC и BC. 233 26. Пусть медиана CM треугольника ABC совпадает с его биссектрисой. В силу задачи 24, отношение сторон AC и BC равно 1. Следовательно, треугольник ABC – равнобедренный. 27. Пусть CD – биссектриса, CM – медиана, CH – высота треугольника ABC. Если AC = BC, то треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, биссектриса совпадает с медианой. Если AC > BC, то биссектриса лежит между медианой и высотой (см. задачу 12). Тогда угол CDM – тупой и, следовательно, CD < CM. 234 28. Пусть AA 1 и BB 1 – биссектрисы треугольника ABC, пересекающиеся в точке O. Если бы AA 1 и BB 1 были перпендикулярны, то треугольники AOB и AOB 1 были бы равны и, следовательно, AB 1 O = ABO = OBA 1 . В этом случае прямые AB 1 и BA 1 должны быть параллельны, что не так. Значит, биссектрисы AA 1 и BB 1 не могут быть перпендикулярны. 29. Пусть AA 1 и BB 1 – биссектрисы треугольника ABC, пересекающиеся в точке O. Если бы O была серединой BB 1 , то треугольники AOB и AOB 1 были бы равны и, следовательно, AB 1 O = ABO = OBA 1 . В этом случае прямые AB 1 и BA 1 должны быть параллельны, что не так. Значит, биссектриса AA 1 не может проходить через середину биссектрисы BB 1 30. Пусть AA 1 , BB 1 , CC 1 – высоты треугольника ABC, пересекающиеся в точке O. Докажем, что биссектриса треугольника A 1 B 1 C 1 , проведенная из вершины C 1 , лежит на высоте CC 1 треугольника ABC. Действительно, углы OAC и OBC равны, как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Построим окружность с диаметром AO. Точки B 1 и C 1 принадлежат этой окружности. Углы OAB 1 и OC 1 B 1 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Аналогично доказывается, что углы OBA 1 и OC 1 A 1 равны. Следовательно, углы OC 1 B 1 и OC 1 A 1 равны. 235 31. Пусть CM – медиана треугольника ABC, DE – отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, построенных на сторонах AC и BC. Достроим треугольник CDE до параллелограмма CDFE.Проведем диагональ CF и ее точку пересечения с DE обозначим O.Так как DCE = 180 о – ACB, то CEF = ACB. Треугольники ABC и FCE равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, CM = EO = 1 2 DE. 32. Пусть AB – отрезок, c – параллельная ему прямая. Точки C и D принадлежат прямой c, причем ABC – равнобедренный треугольник (AC = BC).Рассмотрим точку E,симметричную точке B относительно прямой c. Тогда AB + BD = AB + DE > AE = AC + CE = AC + BC. Следовательно, периметр треугольника ABD больше периметра треугольника ABC. 236 33. Пусть AB – отрезок, c – параллельная ему прямая. Точки C и D принадлежат прямой c, причем ABC – равнобедренный треугольник (AC = BC). Опишем около треугольника ABC окружность. Прямая c является касательной к окружности. Обозначим E точку пересечения окружности и AD. Тогда C = E как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Угол E больше угла D, как внешний угол треугольника BDE. Следовательно, С > D. 34. Пусть AA 1 , BB 1 – высоты остроугольного треугольника ABC. Построим окружность с диаметром AB. Углы ABB 1 и AA 1 B 1 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности. Угол CAB равен 90 о минус угол ABB 1 . Угол CA 1 B 1 равен 90 о минус угол AA 1 B 1 Следовательно, углы CAB и CA 1 B 1 равны, значит,треугольники ABC и A 1 B 1 C подобны по углам. 237 35. Пусть AA 1 , BB 1 – высоты остроугольного треугольника ABC, пересекающиеся в точке H. Построим окружность с диаметром AB. Углы BAA 1 и BB 1 A 1 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности. Аналогично, углы ABB 1 и AA 1 B 1 равны. Следовательно, треугольники ABH и B 1 A 1 H подобны по углам. 36. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, CH – высота, опущенная на гипотенузу. Треугольники ACH и CBH подобны по углам, следовательно, CH : AH = BH : CH. Откуда CH AH BH 238 37. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, CH – высота, опущенная на гипотенузу. Обозначим AC = b, BC = a, CH = h. Треугольники ACH и CBH подобны по углам, следовательно, CH : AC = BH : BC. Откуда 2 2 h a h b a . Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим требуемое равенство 2 2 2 1 1 1 a b h 38. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, CH – высота, опущенная на гипотенузу. Треугольники ABC и ACH подобны по углам и, следовательно, AC : AB = AH : AC. Откуда AC AB AH Аналогично, BC AB BH 39. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, CH – высота, опущенная на гипотенузу. Из предыдущей задачи следует, что 2 AC AH AB и 2 BC BH AB . Откуда 2 2 AH AC BH BC 239 40. Пусть в треугольнике ABC AA 1 , BB 1 , CC 1 – медианы, пересекающиеся в точке O. В треугольнике AC 1 O сторона AC 1 равна половине стороны AB, а высота, опущенная из вершины O, равна одной третьей высоты треугольника ABC, опущенной из вершины C. Следовательно, площадь треугольника AC 1 O равна одной шестой площади треугольника ABC. Аналогично, площади всех остальных треугольников, на которые делится треугольник ABC своими медианами, равны одной шестой площади треугольника ABC, т.е. все эти шесть треугольников равновелики. 41. Пусть O – точка внутри треугольника ABC такая, что площади треугольников AOB, BOC и AOC равны. Продолжим CO до пересечения со стороной AB в точке C 1 . Из вершин A и B опустим на прямую CC 1 перпендикуляры соответственно AA’ и BB’. Так как площади треугольников AOC и BOC равны, а сторона OC – общая, то равны и их высоты AA’ и BB’. Прямоугольные треугольники AA’C 1 и BB’C 1 равны по катету и острому углу. Следовательно, AC 1 = BC 1 Значит, точка O принадлежит медиане CC 1 треугольника ABC. Аналогично доказывается, что точка O принадлежит двум другим медианам. 240 42. Пусть в треугольнике ABC проведены медианы AA 1 , BB 1 , CC 1 Достроим треугольник ABC до шестиугольника ACDEFG, противоположные стороны которого равны и параллельны.Стороны треугольника ADF равны удвоенным медианам треугольника ABC и его площадь равна трем площадям треугольника ABC. Следовательно, площадь треугольника, стороны которого равны медианам данного треугольника, равна трем четверым площади данного треугольника. 43. Пусть в треугольнике ABC проведены высоты AA 1 , BB 1 , CC 1 Воспользуемся тем, что произведение стороны треугольника на высоту, опущенную на эту сторону, равно удвоенной площади треугольника. Тогда AB CC 1 = AC BB 1 = BC AA 1 . Откуда 1 1 1 1 1 1 AB AC BC CC BB AA , т.е. стороны треугольника обратно пропорциональны высотам, проведенным к этим сторонам. 241 44. Рассмотрим треугольники ABC с данной стороной AB и данным углом C. Вершины C таких треугольников принадлежат одной окружности. При этом высота CH будет наибольшей в случае, если C принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB, т.е. в случае, если AC = BC. |