лекция 1. Смирнов В. А., Смирнова И. М
 Скачать 3.75 Mb.
|
|
Уровень С Выясните, верны ли перечисленные ниже утверждения. Если да, докажите, если нет, приведите контрпример. 1. Два треугольника равны, если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника. 2. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, прилежащую к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны. 3. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны. 42 4. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника, то эти треугольники равны. 5. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана, проведенная к стороне, противолежащей данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника, то эти треугольники равны. 6. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и медиана, проведенная к другой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника, то эти треугольники равны. 43 7. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана, проведенная к другой стороне, прилежащей к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника, то эти треугольники равны. 8. Два треугольника равны, если два угла и медиана, проведенная из вершины одного из них, соответственно равны двум углам и медиане другого треугольника. 9. Два треугольника равны, если два угла и медиана, проведенная из вершины третьего угла, соответственно равны двум углам и медиане другого треугольника. 44 10. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны. 11. Если сторона и две медианы, одна из которых проведена к данной стороне, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны. 12. Если угол и две медианы, проведенные к его сторонам, одного треугольника соответственно равны углу и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны. 45 13. Если угол и две медианы, одна из которых проведена из вершины данного угла, одного треугольника соответственно равны углу и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны. 14. Если две стороны и биссектриса, проведенная к одной из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны. 15. Ели две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны. 46 16. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника, то эти треугольники равны. 17. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса, проведенная из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника, то эти треугольники равны. 18. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса, проведенная к другой стороне, прилежащей к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника, то эти треугольники равны. 47 19. Если основание и медиана, проведенная к боковой стороне, одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и медиане другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. 20. Если основание и биссектриса, проведенная к боковой стороне, одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и биссектрисе другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. 21. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника. 48 22. Если гипотенуза и опущенная на нее высота одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и высоте другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. 23. Если медиана и высота, опущенные на гипотенузу одного прямоугольного треугольника, соответственно равны медиане и высоте другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. 24. Два треугольника равны, если сторона, биссектриса и высота, проведенные к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, биссектрисе и высоте другого треугольника. 49 25. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника. 26. Два треугольника равны, если сторона, биссектриса и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, биссектрисе и высоте другого треугольника. 27. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника. 50 28. Два треугольника равны, если сторона, биссектриса и высота, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне, биссектрисе и высоте другого треугольника. 29. Два треугольника равны, если угол, медиана и высота, проведенные из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны углу, медиане и высоте другого треугольника. 30. Два треугольника равны, если угол, биссектриса и высота, проведенные из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны углу, биссектрисе и высоте другого треугольника. 51 31. Два треугольника равны, если угол, медиана и высота, проведенные из вершин двух других углов, одного треугольника соответственно равны углу, медиане и высоте другого треугольника. 32. Два треугольника равны, если угол, медиана и высота, проведенные из вершины другого угла, одного треугольника соответственно равны углу, медиане и высоте другого треугольника. 33. Два треугольника равны, если угол, биссектриса и высота, проведенные из вершины другого угла, одного треугольника соответственно равны углу, биссектрисе и высоте другого треугольника. 52 34. Два треугольника равны, если угол, биссектриса, проведенная из его вершины, и высота, опущенная на сторону, прилежащую к этому углу, одного треугольника соответственно равны углу, биссектрисе и высоте другого треугольника. 35. Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника. 36. Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого треугольника. 53 37. На продолжении стороны AC равностороннего треугольника ABC построен равносторонний треугольник CDE. Докажите, что треугольник CFG, где F и G – середины отрезков соответственно AD и BE, равносторонний. 54 3. Соотношения между элементами треугольника Уровень А 1. Докажите, что в произвольном треугольнике против большей стороны лежит больший угол. 2. Докажите, что в произвольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона. 3. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности. 55 4. Докажите, что сумма углов произвольного треугольника равна 180 5. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. 6. Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 56 7. Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой. 8. Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является высотой. 9. Докажите, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине. 57 10. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 11. Докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. 12. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершин. 58 13. Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. 14. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. 15. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. 59 Уровень В 1. На рисунке AB > BC. Докажите, что 1 > 2. 2. На рисунке 1 > 2. Докажите, что AB > BC. 3. На рисунке 1< 2. Докажите, что A < B. 60 4. На рисунке A < B. Докажите, что 1< 2. 5. На рисунке 1 = 2, 3 < 4. Докажите, что CD < AB. 6. На рисунке 1 = 2, CD < AB. Докажите, что 3 < 4. 61 7. На рисунке AB = BC, AD < CD. Докажите, что 1 > 2. 8. На рисунке AB = BC, 1 > 2. Докажите, что AD < CD. 9. На рисунке AB = AD, BC = CD, AB < BC. Докажите, что A > C. 62 10. На рисунке AB = AD, BC = CD, A > C.Докажите, что AB < BC. 11. На рисунке AC > AB, CD = BD. Докажите, что ACD < ABD. 12. На рисунке CD = BD, ACD < ABD. Докажите, что AC > AB. 63 13. На рисунке AB > BC, CD = DE. Докажите, что BAC < DEC. 14. На рисунке CD = DE, BAC < DEC. Докажите, что AB > BC. 15. На рисунке АВ = АС и 1 > 2. Докажите, что 3 > 4. 64 16. На рисунке АВ = АС и 3 > 4. Докажите, что 1 > 2. 17. Докажите, что сумма двух внешних углов треугольника равна сумме внутреннего угла, не смежного с ними, и 180 о 18. Докажите, что если один из углов треугольника равен сумме двух других, то треугольник – прямоугольный. 65 19. Докажите, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 , равен половине гипотенузы. 20. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше его полупериметра. 21. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, параллельна этому основанию. 66 22. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне этого треугольника, то треугольник – равнобедренный. 23. Докажите, что если в треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, то для высоты CH выполняется неравенство ACH > BCH. 24. Докажите, что если высота и медиана, проведенные из вершины треугольника, совпадают, то треугольник – равнобедренный. 67 25. Докажите, что если биссектриса и высота, проведенные из вершины треугольника, совпадают, то треугольник – равнобедренный. 26. Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны. 27. Докажите, что если две медианы треугольника равны, то этот треугольник – равнобедренный. 68 28. Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны. 29. Докажите, что высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны. 30. Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник – равнобедренный. 69 31. Докажите, что из двух высот треугольника больше та, которая опущена на меньшую сторону. 32. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 36 о . Докажите, что биссектриса угла при основании делит этот равнобедренный треугольник на два равнобедренных треугольника. 33. Докажите, что высота треугольника меньше полусуммы сторон, прилежащих к ней. 70 34. Докажите, что медиана треугольника меньше его полупериметра. 35. Докажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра. 36. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию. 71 37. Докажите, что средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника. 38. В треугольнике ABC точки D и E – середины сторон соответственно AC и BC, CH – высота. Докажите, что угол C равен углу DHE. 39. Докажите, что две вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей медиану, проведенную из третьей вершины данного треугольника. 72 40. Пусть треугольники ABC и ABC’ имеют равные высоты, опущенные на сторону AB и расположенные от нее по одну сторону. Прямая c параллельна AB и пересекает остальные стороны треугольников. Докажите, что отрезки DE и D’E’ этой прямой, заключенные в треугольниках, равны. 41. Докажите, что медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника. 42. Докажите, что если отрезок CC 1 , соединяющий вершину C треугольника ABC с точкой, принадлежащей противолежащей стороне этого треугольника, разбивает треугольник ABC на два равновеликих треугольника, то CC 1 – медиана. 73 43. Докажите, что произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению гипотенузы на высоту, опущенную на гипотенузу. 44. Докажите, что если два треугольника имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы. 74 Уровень С 1. Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключается. 2. Докажите, что для стороны AB треугольника ABC и двух медиан AA 1 , BB 1 , проведенных к двум другим сторонам, имеет место неравенство 3AB < 2(AA 1 + BB 1 ). 3. Докажите, что сумма медиан треугольника меньше его периметра, но больше трех четвертей периметра. 75 4. Докажите, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон равна высоте этого треугольника, опущенной на боковую сторону. 5. Докажите, что сумма расстояний от любой внутренней точки равностороннего треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника. 6. Докажите, что если в остроугольном треугольнике ABC угол A меньше угла B, то из всех точек стороны AB наибольшую сумму расстояний от этой точки до сторон AC и BC имеет вершина A. 76 7. На продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка. Докажите, что разность расстояний от этой точки до прямых, содержащих боковые стороны, равна высоте треугольника, опущенной на боковую сторону. 8. Докажите, что для всякой точки O, взятой внутри треугольника ABC,выполняется неравенство AC + BC > AO + BO. 9. Докажите, что для всякой точки O, взятой внутри треугольника ABC,выполняется неравенство AOB > ACB. 77 10. Докажите, что если в треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, то для медианы CM выполняется неравенство BCM > ACM. 11. Докажите, что если в треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, то для биссектрисы CD выполняется неравенство AD > DB. 12. Докажите, что биссектриса треугольника лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины. 78 13. Докажите, что расстояние от вершины треугольника до произвольной внутренней точки противолежащей стороны меньше наибольшей из двух других сторон. 14. Докажите, что сумма расстояний от любой внутренней точки треугольника до его вершин меньше периметра треугольника и больше его полупериметра. 15. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. 79 16. Докажите, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник – прямоугольный. 17. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана и высота, проведенные к гипотенузе, образуют угол, равный разности острых углов этого треугольника. 18. Докажите, что в тупоугольном треугольнике угол между медианой и высотой, проведенными из вершины тупого угла, больше разности двух других углов этого треугольника. 80 19. Докажите, что в остроугольном треугольнике угол между медианой и высотой, проведенными из вершины одного угла, меньше разности двух других углов этого треугольника. 20. Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины прямого угла, делит пополам угол между высотой и медианой, проведенными из вершины того же угла. 21. Докажите, что в тупоугольном треугольнике угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины тупого угла, больше угла между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины того же угла. 81 22. Докажите, что в остроугольном треугольнике угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины одного угла, меньше угла между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины того же угла. 23. Докажите, что медиана треугольника меньше суммы двух других его медиан. 24. Докажите, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. 82 25. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то расстояния от точки пересечения до концов этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника. 26. Докажите, что если медиана и биссектриса, проведенные из вершины треугольника, совпадают, то этот треугольник – равнобедренный. 27. Докажите, что биссектриса треугольника не может быть больше медианы, проведенной из той же вершины. 83 28. Докажите, что никакие две биссектрисы треугольника не могут быть перпендикулярны. 29. Докажите, что биссектриса треугольника не может проходить через середину другой биссектрисы. 30. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA 1 , BB 1 , CC 1 . Докажите, что биссектрисы треугольника A 1 B 1 C 1 лежат на соответствующих высотах треугольника ABC. 84 31. На двух сторонах треугольника, вне его, построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины. 32. Дан отрезок AB и прямая c, ему параллельная. Докажите, что из всех треугольников ABC, у которых вершина C принадлежит прямой c, наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник (AC = BC). 33. Дан отрезок AB и прямая c, ему параллельная. Докажите, что из всех треугольников ABC, у которых вершина C принадлежит прямой c, наибольший угол C имеет равнобедренный треугольник (AC = BC). 85 34. Докажите, что прямая, проходящая через основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному. 35. Высоты AA 1 и BB 1 треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что треугольники HAB и HB 1 A 1 подобны. 36. Докажите, что в прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из прямого угла на гипотенузу, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу. 86 37. Докажите, что сумма величин, обратных квадратам длин катетов прямоугольного треугольника, равна величине, обратной квадрату длины высоты этого треугольника, опущенной на его гипотенузу. 38. Докажите, что каждый катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. 39. Докажите, что отношение проекций катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу равно отношению квадратов катетов. 87 40. Докажите, что медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. 41. Внутри треугольника ABC взята точка O такая, что площади треугольников AOB, BOC и AOC равны. Докажите, что O – точка пересечения медиан данного треугольника. 42. Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам данного треугольника, равна трем четвертым площади данного треугольника. 88 43. Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны высотам, проведенным к этим сторонам. 44. Докажите, что из всех треугольников с данной стороной и данным углом, противолежащим этой стороне, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник, основанием которого является данная сторона. |