лекция 1. Смирнов В. А., Смирнова И. М
 Скачать 3.75 Mb.
|
|
Смирнов В.А., Смирнова И.М. ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2015 2 Введение Данное пособие предназначено для тех, кто хочет научиться решать задачи на доказательство по геометрии. Оно содержит около четырехсот задач, решение которых не только способствует выработке соответствующих умений и навыков, но, что более важно, развивает логическое мышление, учит рассуждать, анализировать, аргументировать, обосновывать, доказывать. Утверждения, сформулированные в пособии в виде задач на доказательство, могут быть использованы при решении различных вычислительных задач, а сами доказательства при этом будут являться частью их решений. Все задачи разбиты на три уровня: А, В и С. Задачи уровня А представляют собой теоремы основного курса геометрии, доказательства которых имеются в школьных учебниках по геометрии Федерального перечня. Они направлены на повторение геометрического материала, необходимого для решения последующих задач. Задачи уровня В, как правило, предполагают непосредственное применение основных теорем геометрии. Они носят подготовительный характер для решения более трудных задач на доказательство. Уровень С содержит задачи на доказательство повышенной трудности. Основные проблемы при решении задач этого уровня связаны не столько с незнанием необходимых свойств и теорем геометрии, сколько с неумением их применять для решения конкретных задач. Предлагаемые в пособии задачи позволяют преодолеть эти трудности, учат применять полученные знания на практике. Все задачи сопровождаются рисунками, помогающими лучше понять условия задач, представить соответствующую геометрическую ситуацию, при необходимости провести дополнительные построения, наметить план доказательства. Во второй части пособия даются решения всех задач. 3 1. Параллельность и перпендикулярность Уровень А 1. Докажите, что если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны. 2. Докажите, что если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны. 3. Докажите, что если при пересечении двух прямых третьей прямой односторонние углы составляют в сумме 180 , то эти две прямые параллельны. 4 4. Докажите, что если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то накрест лежащие углы равны. 5. Докажите, что если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны. 6. Докажите, что если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то односторонние углы в сумме составляют 180 5 7. Докажите, что через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, перпендикулярная этой прямой. 8. Докажите, что через точку, принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, перпендикулярная этой прямой. 9. Докажите, что из двух наклонных, проведенных из данной точки к данной прямой, больше та, проекция которой больше. 10. Докажите, что из двух наклонных, проведенных из данной точки к данной прямой, большая наклонная имеет большую проекцию. 6 11. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную прямую, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к той же прямой. 7 Уровень В 1. Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. 2. Докажите, что две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. 3. Докажите, что прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. 8 4. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. 5. Докажите, что углы AOB и A’O’B’ с соответственно параллельными сторонами, расположенные так, как показано на рисунке, равны. 6. Докажите, что углы AOB и A’O’B’ с соответственно параллельными сторонами, расположенные так, как показано на рисунке, равны. 9 7. Докажите, что углы AOB и A’O’B’ с соответственно параллельными сторонами, расположенные так, как показано на рисунке, равны. 8. Докажите, что углы AOB и A’O’B’ с соответственно параллельными сторонами, расположенные так, как показано на рисунке, в сумме составляют 180 9. Докажите, что углы AOB и A’O’B’ с соответственно параллельными сторонами, расположенные так, как показано на рисунке, в сумме составляют 180 10 10. Докажите, что углы AOB и A’O’B’ с соответственно перпендикулярными сторонами, расположенные так, как показано на рисунке, равны. 11. Докажите, что углы AOB и A’O’B’ с соответственно перпендикулярными сторонами, расположенные так, как показано на рисунке, равны. 12. Докажите, что углы AOB и A’O’B’ с соответственно перпендикулярными сторонами, расположенные так, как показано на рисунке, равны. 11 13. Докажите, что углы AOB и A’O’B’ с соответственно перпендикулярными сторонами, расположенные так, как показано на рисунке, в сумме составляют 180 14. Докажите, что углы AOB и A’O’B’ с соответственно перпендикулярными сторонами, расположенные так, как показано на рисунке, в сумме составляют 180 15. Докажите, что углы AOB и A’O’B’ с соответственно перпендикулярными сторонами, расположенные так, как показано на рисунке, в сумме составляют 180 12 16. Прямые a и b пересечены прямой с. Докажите, что если при этом сумма односторонних углов равна 90 о , то прямые a и b перпендикулярны. 17. Прямые a и b пересечены прямой с. Докажите, что если при этом сумма односторонних углов равна 270 о , то прямые a и b перпендикулярны. 18. Прямые a и b пересечены прямой с. Докажите, что если при этом разность накрест лежащих углов равна 90 о , то прямые a и b перпендикулярны. 13 19. Прямые a и b пересечены прямой с. Докажите, что если при этом разность соответственных углов равна 90 о , то прямые a и b перпендикулярны. 20. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны. 21. Докажите, что прямая, пересекающая стороны угла и перпендикулярная его биссектрисе, отсекает от сторон этого угла равные отрезки. 14 22. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точки, принадлежащей биссектрисе угла, на его стороны, равны. 23. Докажите, что любая точка прямой, проведенной перпендикулярно к отрезку через его середину, одинаково удалена от концов данного отрезка. 24. Докажите, что биссектрисы накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых. 15 25. Докажите, что биссектрисы односторонних углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, перпендикулярны, т.е. лежат на перпендикулярных прямых. 26. Докажите, что прямые a и b, изображенные на рисунке, параллельны. 27. Докажите, что прямые a и b, изображенные на рисунке, параллельны. 16 28. Докажите, что прямые a и b, изображенные на рисунке, перпендикулярны. 29. Докажите, что прямые a и b, изображенные на рисунке, перпендикулярны. 30. Докажите, что прямые a и b, изображенные на рисунке, перпендикулярны. 17 31. Докажите, что центрально-симметричные прямые параллельны. 32. Докажите, что прямые a и b, одна из которых получена поворотом другой вокруг некоторой точки O на угол 90 о , перпендикулярны. 33. Докажите, что если две прямые параллельны, то расстояния от точек одной прямой до другой равны. 34. Докажите, что если расстояния от двух точек одной прямой до другой прямой равны, то эти прямые параллельны. 18 2. Равенство треугольников Уровень А 1. Докажите, что если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 2. Докажите, что если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3. Докажите, что если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 19 4. Докажите, что если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. 5. Докажите, что если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. 6. Докажите, что если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. 20 Уровень В 1. На рисунке АВ=АС, АЕ=АD. Докажите, что BD=CE. 2. На сторонах угла АОВ отложены равные отрезки ОС и ОD. Произвольная точка E биссектрисы этого угла соединена с точками С и D. Докажите, что ЕС = ЕD. 3. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B прилежит стороне AC, а точка E – стороне AD, причем, AC = AD и AB = AE. Докажите, что CBD = DEC. 21 4. На рисунке АО = ОВ и DO = OC. Докажите равенство отрезков AD и ВС. 5. На рисунке DAC = DBC, AO = BO. Докажите, что C = D. 6. На рисунке DBC = DAC, BO = AO. Докажите, что AC = BD. 22 7. На рисунке дана фигура, у которой AD = CF, 1 = 2, ВAC = EDF. Докажите, что треугольники АВС и DEF равны. 8. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, ОВ = ОС и B = C. Докажите равенство треугольников АОС и DOB. 9. Отрезки АС и BD пересекаются в точке О, АО = ОС и A = C. Докажите равенство треугольников АОВ и COD. 23 10. Лучи AD и ВС пересекаются в точке О, 1 = 2, OC = OD. Докажите, что OA = OB. 11. В треугольнике АВС АВ = АС и 1= 2. Докажите, что 3 = 4. 12. На рисунке AD = AE, CAD = BAE. Докажите, что BD = CE. 24 13. В четырехугольнике ABCD DAB = CBА и диагонали АС и BD образуют со стороной АВ равные углы. Докажите, что АС = BD. 14. Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны. Отрезки CD и C 1 D 1 образуют со сторонами соответственно СВ и С 1 В 1 равные углы. Докажите, что AD = A 1 D 1 15. В треугольнике ABC AB = BC. Докажите, что 1 = 2. 25 16. В треугольнике ABC AB = BC. Докажите, что 1 = 2. 17. На рисунке CD = BD, 1 = 2. Докажите, что ACB = ABC. 18. На рисунке 1 = 2, 5 = 6. Докажите, что 3 = 4. 26 19. На рисунке АВ = CD и BD = AC. Докажите, что BAC = CDB. 20. На рисунке AB=DC и BC=AD. Докажите, что угол B равен углу D. 21. На рисунке AB = DC и BAC = ACD. Докажите, что угол B равен углу D. 27 22. На рисунке AB = DC и BAC = ACD. Докажите, что AD = BC. 23. На рисунке АВ = AD и BAC = DAC. Докажите, что BC = CD. 24. На рисунке АВ = AD и BAC = DAC. Докажите, что B = D. 28 25. На рисунке АВ = AD и DC = BC. Докажите, что B = D. 26. На рисунке DC = BC и B = D. Докажите, что АВ = AD. 27. На рисунке AB = BC, CD = DE. Докажите, что A = E. 29 28. На рисунке BC = CD, B = D. Докажите, что AC = CE. 29. На рисунке AD = CF, AB = FE, BC = ED. Докажите, что 1 = 2. 30. На рисунке AB = BC, AD = CD. Докажите, что 1 = 2. 30 31. На рисунке AB = BC, 1 = 2. Докажите, что AD = CD. 32. На рисунке AO = OC, AD = CD. Докажите, что AB = BC. 33. На рисунке AB = BC, AD = CD. Докажите, что AO = OC. 31 34. На рисунке A = B, AD = BC. Докажите, что AC = BD. 35. Треугольники АВС и BAD равны, причем точки С и D лежат по раз- ные стороны от прямой АВ. Докажите, что треугольники CBD и DAC равны. 36. Точки A, B, C принадлежат одной прямой. Точки D 1 и D 2 лежат по разные стороны от этой прямой.Докажите, что если треугольники ABD 1 и ABD 2 равны, то треугольники BCD 1 и BCD 2 тоже равны. 32 37. Точки A, B, C, D принадлежат одной прямой. Точки E 1 и E 2 лежат по разные стороны от этой прямой. Докажите, что если треугольники ABE 1 и ABE 2 равны, то треугольники CDE 1 и CDE 2 тоже равны. 38. На рисунке АВ = CD, AD = BC, ВЕ - биссектриса угла АВС, DF - биссектриса угла ADC. Докажите, что треугольники ABE и CDF равны. 39. На каждой стороне правильного треугольника ABC последовательно отложены равные отрезки AD, BE, CF. Докажите, что треугольник DEF тоже правильный. 33 40. На продолжении каждой стороны правильного треугольника ABC последовательно отложены равные отрезки BD, CE, AF. Докажите, что треугольник DEF тоже правильный. 41. Докажите, что если две стороны и высота, опущенная на одну из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны. 42. Докажите, что если две стороны и высота, опущенная на третью сторону, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны. 34 43. Докажите, что если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на эту сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны. 44. Докажите, что если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны. 45. Докажите, что если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на сторону, прилежащую к этому углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны. 35 46. Докажите, что если два угла и высота, опущенная на прилежащую к ним сторону, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны. 47. Докажите, что если два угла и высота, проведенная из вершины одного из них, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны. 48. Докажите, что если угол и две высоты, опущенные на его стороны, одного треугольника соответственно равны углу и двум высотам другого треугольника, то такие треугольники равны. 36 49. Докажите, что если угол и две высоты, одна из которых проведена из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны углу и двум высотам другого треугольника, то такие треугольники равны. 50. Докажите, что если сторона и две высоты, опущенные на другие стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и двум высотам другого треугольника, то такие треугольники равны. 51. Докажите, что если сторона и две высоты, одна из которых опущена на эту сторону, одного треугольника соответственно равны стороне и двум высотам другого треугольника, то такие треугольники равны. 37 52. Докажите, что если две стороны и медиана, проведенная к одной из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны. 53. Докажите, что если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса, проведенная из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника, то эти треугольники равны. 54. Докажите, что если у двух равнобедренных треугольников соответственно равны основания и противолежащие им углы, то такие треугольники равны. 38 55. Докажите, что если у двух равнобедренных треугольников соответственно равны основания и опущенные на них высоты, то такие треугольники равны. 56. Докажите, что если боковая сторона и высота, опущенная на основание, одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и высоте другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. 57. Докажите, что если основание и высота, опущенная на боковую сторону, одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и высоте другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. 39 58. Докажите, что если боковая сторона и проведенная к ней высота одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и высоте другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. 59. Докажите, что если боковая сторона и проведенная к ней медиана одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и медиане другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. 60. Докажите, что если катет и проведенная к нему медиана одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и медиане другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. 40 61. Докажите, что если катет и медиана, проведенная к другому катету, одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и медиане другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. 62. Докажите, что если катет и медиана, проведенная к гипотенузе, одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и медиане другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. 41 |