лекция 1. Смирнов В. А., Смирнова И. М
 Скачать 3.75 Mb.
|
|
4. Четырехугольники Уровень В 40. Пусть ABCD – параллелограмм, AC – диагональ. В треугольниках ABC и CDA сторона AC – общая. Угол CAB равен углу ACD как накрест лежащие при параллельных прямых AB, СD и секущей AC.Угол ACB равен углу CAD как накрест лежащие при параллельных прямых AD, BC и секущей AC. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 41. Нет. Пример приведен на рисунке. 42. Пусть ABCD – четырехугольник, у которого противоположные углы равны. Так как сумма углов четырехугольника равна 360 о , то сумма двух односторонних углов будет равна 180 о и, следовательно, противоположные стороны этого четырехугольника параллельны, т.е. он – параллелограмм. 243 43. Пусть в прямоугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD. Прямоугольные треугольники ABC и BAD равны по двум катетам. Следовательно, AC = BD. 44. Пусть в прямоугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD. Треугольники ABC и BAD равны по трем сторонам. Следовательно, угол ABC равен углу BAD. В сумме эти углы составляют 180 о , как односторонние углы при параллельных BC и AD и секущей AB. Следовательно, эти углы равны 90 о и, значит, ABCD – прямоугольник. 45. Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O.В равнобедренном треугольнике ABD AO является медианой и, следовательно, высотой. Значит, диагонали AC и BD ромба перпендикулярны. 46. Пусть диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Прямоугольные треугольники AOB и AOD 244 равны по двум катетам. Следовательно, AB = AD и, значит, параллелограмм ABCD является ромбом. 47. Пусть ABCD – параллелограмм, AC – диагональ. В треугольнике ABC угол ACB равен углу CAD и равен углу BAC. Следовательно, этот треугольник равнобедренный, AB = BC. Значит, параллелограмм ABCD является ромбом. 48. Так как противоположные стороны четырехугольника равны, то он является параллелограммом. Так как все его стороны равны, то этот параллелограмм – ромб. 49. Пусть диагонали прямоугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O.Прямоугольные треугольники AOB и AOD равны по двум катетам. Следовательно, AB = AD и, значит, ABCD – квадрат. 245 50. Пусть диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O.Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, угол OAB равен углу OCD и, значит, отрезки AB и CD равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник ABCD – параллелограмм. 51. Из того, что диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, следует, что этот четырехугольник является параллелограммом. Из того, что диагонали параллелограмма равны, следует, что он является прямоугольником. 52. Пусть ABCD – равнобедренная трапеция (AB || DC). Из вершин C и D опустим высоты CG и DH на основание AB. 246 Прямоугольные треугольники BCG и ADH равны по гипотенузе и катету. Следовательно, углы A и B равны. 53. Пусть в трапеции ABCD (AB || DC) равны острые углы A и B. Из вершин C и D опустим высоты CG и DH на основание AB. Прямоугольные треугольники BCG и ADH равны по катету и острому углу. Следовательно, BC = AD и, значит, трапеция ABCD – равнобедренная. 54. Воспользуемся тем, что сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180 о . Из того, что сумма двух противоположных углов трапеции равна 180 о , следует, что углы при основании трапеции равны и, значит, трапеция – равнобедренная. 247 55. Пусть ABCD – равнобедренная трапеция (AB || CD), AC и BD – диагонали. Треугольники ABC и BAD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AC = BD. 56. Пусть ABCD – ромб, DE и DF – его высоты. Прямоугольные треугольники ADE и CDF равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, DE = DF. 57. Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до его стороны равно половине высоты ромба, опущенной на эту сторону. Из равенства высот ромба следует равенство расстояний OE и OF. 58. Все четыре прямоугольных треугольника равны по двум катетам. Следовательно, четырехугольник A 1 B 1 C 1 D 1 – ромб. Кроме того, каждый угол этого четырехугольника равен 180 о минус сумма 248 острых углов прямоугольного треугольника, т.е. равен 90 о Следовательно, A 1 B 1 C 1 D 1 – квадрат. 59. Все четыре прямоугольных треугольника равны по двум катетам. Следовательно, четырехугольник A 1 B 1 C 1 D 1 – ромб. Кроме того, каждый угол этого четырехугольника равен суммt острых углов прямоугольного треугольника, т.е. равен 90 о . Следовательно, A 1 B 1 C 1 D 1 – квадрат. 60. Пусть в четырехугольнике ABCD проведена диагональ AC. В силу неравенства треугольника имеем AC < AB + BC и AC < AD + CD. Складывая эти неравенства, получим AC < 1 2 (AB + BC + CD + DA). 249 61. Пусть диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O.В силу неравенства треугольника имеем AD < AO + OD и BC < BO + OC. Складывая эти неравенства, получим AD + BC < AC + BD. 62. Пусть в четырехугольнике ABCD точки E, F, G, H являются серединами сторон соответственно AB, BC, CD, DA. В треугольнике ABC EF – средняя линия и, значит, параллельна AC. Аналогично GH параллельна AC. Следовательно, EF параллельна GH. Аналогично FG параллельна EH. Таким образом, противоположные стороны четырехугольника EFGH параллельны и, следовательно, он является параллелограммом. 63. Пусть в прямоугольнике ABCD точки E, F, G, H являются серединами сторон соответственно AB, BC, CD, DA. Все прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Значит, стороны четырехугольника EFGH равны и, следовательно, он является ромбом. 250 64. Пусть в ромбе ABCD точки E, F, G, H являются серединами сторон соответственно AB, BC, CD, DA. В силу задачи 23 четырехугольник EFGH является параллелограммом. Его стороны параллельны диагоналям ромба и, следовательно, перпендикулярны. Значит, четырехугольник EFGH – прямоугольник. 65. Пусть в равнобедренной трапеции ABCD (AD || BC) точки E, F, G, H являются серединами сторон соответственно AB, BC, CD, DA. В силу задачи 23 четырехугольник EFGH – параллелограмм. Кроме того, треугольники AHE и DHG равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, EH = HG и, значит, EFGH – ромб. 66. Пусть ABCD – параллелограмм, AEF – треугольник, образованный прямыми AB, AD,и прямой, содержащей биссектрису внешнего угла DCG при вершине C. Тогда DFC = GCF = DCF и, следовательно, треугольник DCF – равнобедренный, DC = DF. Аналогично треугольник BCE –равнобедренный, BC = BE. Значит, в треугольнике AEF AE = AF =AB + AD, или AE+AF=AB+BC+CD+DA. 251 67. В треугольнике ABG EH – средняя линия. Следовательно, BH = HG. Аналогично в треугольнике CDH FG – средняя линия. Следовательно, DG = GH. Таким образом, прямые AF и CE делят диагональ BD на три равные части. 68. Треугольник AFE подобен треугольнику CFB. Следовательно, 1 AE BC n , значит, AF = 1 AC n 69. Пусть ABCD – четырехугольник, E, G – середины диагоналей соответственно AC и BD, F, H – середины сторон соответственно BC и AD. Тогда EF – средняя линия треугольника ABC. Следовательно, она параллельна стороне AB и равна ее половине. Аналогично GH параллельна AB и равна ее половине. Значит, EFGH – параллелограмм. 252 70. Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O, точки E, F, G, H – основания перпендикуляров, опущенных из нее на соответствующие стороны ромба.В силу задачи 18, отрезки EG и FH равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, EFGH – прямоугольник. 71. Пусть ABCD – трапеция, (AD || BC), точки G и H принадлежат основаниям трапеции.Четырехугольник ABGH – трапеция, EP – средняя линия. Следовательно, отрезок GH делится средней линией EF пополам. 72. Пусть ABCD – ромб. Воспользуемся тем, что диагонали AC и BD ромба перпендикулярны и в точке пересечения O делятся пополам. Площадь треугольника ABC равна половине произведения AC на OB. Площадь треугольника ADC равна половине произведения AC на OD. Следовательно, площадь ромба ABCD равна половине произведения AC на BD. 253 73. Пусть ABCD – четырехугольник, диагонали AC и BD которого перпендикулярны. Рассмотрим диагональ AC, разбивающую четырехугольник на два треугольника. Площадь треугольника ABC равна половине произведения AC на OB. Площадь треугольника ADC равна половине произведения AC на OD. Следовательно, площадь четырехугольника ABCD равна половине произведения AC на BD. 74. Пусть ABCD – параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей. Прямая, проходящая через точку O, делит параллелограмм на две трапеции, средние линии которых равны половине стороны параллелограмма, а высоты – высоте параллелограмма. Следовательно, эти трапеции имеют равные площади. 75. Пусть ABCD – трапеция (AB || DC), O – середина средней линии EF. Прямая, проходящая через точку O, делит трапецию на две трапеции, средние линии которых равны половине средней линии данной трапеции, а высоты – высоте трапеции. Следовательно, эти трапеции имеют равные площади. 254 76. Пусть ABCD – трапеция (AB || DC). Прямая, проходящая через середины оснований, делит ее на две трапеции с соответственно равными основаниями и высотами. Следовательно, эти трапеции имеют равные площади. 77. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, O – точка пересечения диагоналей, EFGH – параллелограмм, образованный прямыми, проведенными через его вершины и параллельные диагоналям. Диагонали AC и BD разбивают четырехугольник ABCD на четыре треугольника, а параллелограмм EFGH на четыре параллелограмма, площадь каждого из которых вдвое больше площади соответствующего треугольника. Следовательно, площадь параллелограмма вдвое больше площади данного четырехугольника. 78. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, O – точка пересечения его диагоналей, E – произвольная точка плоскости. Из неравенства треугольника следует, что наименьшее значение сумма EA + EC принимает, если точка E принадлежит диагонали AC. Аналогично наименьшее значение сумма EB + ED принимает, если точка E принадлежит диагонали BD. Следовательно, наименьшее значение сумма EA + EB + EC + ED принимает, если точка E является точкой пересечения диагоналей. 255 256 Уровень С 1. В четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Имеем AB > AC – BC, CD >AD – AC. Складывая эти неравенства, получим AB + CD > AD – BC. 2. В трапеции ABCD (AD || BC)проведем прямую CE параллельную боковой стороне AB.Тогда DE > CD – CE и, следовательно, AD – BC > CD – AB. 3. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник. Обозначим x острый угол между биссектрисами AO и CO. Так как сумма углов четырехугольника равна 360 о , то A/2 + B + C/2 + 180 o – x = 360 o и A/2 + B/2 + C/2 + D/2 = 180 o . Откуда x = B/2 – D/2. 257 4. Пусть ABCD – трапеция (AD || BC), AE и DE – биссектрисы углов при основании.Так как углы DAE и BEA равны как накрест лежащие, то треугольник ABE – равнобедренный и, следовательно, AB = BE. Аналогично CD = CE. Значит, BC = AB + CD. 5. Пусть ABCD – трапеция (AD || BC), CG и DG – биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне трапеции. Так как сумма углов C и D трапеции равна 180 о , то сумма углов CDG и DCG равна 90 о и, следовательно, биссектрисы пересекаются под прямым углом. Обозначим H точку пересечения биссектрисы CG с AD. Угол CHD равен углу HCD и, значит, треугольник CHD – равнобедренный. Следовательно, высота DG является медианой этого треугольника, т.е. CG = GH. Из этого следует, что точка G принадлежит средней линии трапеции ABCH и, значит, средней линии трапеции ABCD. 6. Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, P, Q – точки пересечения диагонали BD и прямых AM и AN соответственно. Тогда P – точка пересечения медиан BO и AM треугольника ABC. Следовательно, BP=2PO. Аналогично DQ=2QO. Кроме того, BO = OD и, следовательно, BP = PQ = QD. 258 7. Пусть EFGH – четырехугольник, ограниченный биссектрисами углов параллелограмма ABCD. Обозначим P и Q точки пересечения биссектрис углов D и B соответственно со сторонами BC и AD. Так как биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, то четырехугольник EFGH – прямоугольник. В треугольнике ABQ B = Q, следовательно, этот треугольник – равнобедренный, AB = AQ. Биссектриса AE этого треугольника является медианой и, значит, отрезок EQ равен половине BQ. Аналогично отрезок DG равен половине DP. Из равенства отрезков BQ и DP следует равенство отрезков EQ и DG. Таким образом, четырехугольник DGEQ – параллелограмм и, следовательно, EG = DQ = AD – AB. 8. Пусть EFGH – четырехугольник, ограниченный биссектрисами углов прямоугольника ABCD. Треугольник ADF – равнобедренный прямоугольный с острыми углами, равными 45 о . Следовательно, AF = DF. Прямоугольные треугольники ABE и CDG равны и, следовательно, AE = DG. Вычитая из первого равенства второе, получим равенство EF = FG. Аналогично доказывается, что в четырехугольнике EFGH равны другие стороны и углы равны 90 о , значит EFGH – квадрат. 9. Пусть на сторонах параллелограмма ABCD вне его построены квадраты. E, F, G, H – их центры. Треугольники AEH, BEF равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, EH = EF и AEH = BEF. Из равенства этих углов и того, что угол AEB равен 90 о , следует, что HEF = 90 о . Аналогично доказывается, что в 259 четырехугольнике EFGH равны другие соседние стороны и углы между ними равны 90 о . Значит, четырехугольник EFGH – квадрат. 10. При повороте квадрата ABCD вокруг точки O пересечения его диагоналей на угол 90 о вершины перейдут в вершины, середины сторон перейдут в середины сторон. Следовательно, четырехугольник KLMN перейдет сам в себя. Значит, у него равны все стороны и все углы, т.е. четырехугольник KLMN – квадрат. 11. Пусть параллелограмм EFGH вписан в параллелограмм ABCD. Докажем, что диагонали BD и FH пересекаются в точке O, являющейся их серединами. Треугольники BFE и DGH равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, BF = DH. Треугольники OBF и ODH равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, OB = OD и OF = OH. Аналогично доказывается, что диагонали AC и EG пересекаются в точке, являющейся их серединами. Значит, данные параллелограммы имеют общую точку пересечения диагоналей. 260 12. Пусть ABCD – трапеция (AD || BC), EF – отрезок, соединяющий середины диагоналей AC и BD. Средняя линия GH трапеции содержит среднюю линию треугольника ABD и, следовательно, проходит через точку F. Аналогично, она проходит через точку E. Тогда EF = GF – GE = 1 2 AD – 1 2 BC = 1 2 (AD – BC). 13. Пусть ABCD – трапеция, EF – отрезок, соединяющий середины оснований BC и AD. Сумма углов при основании AD равна 90 о Проведем отрезок BG, параллельный и равный CD, и отрезок BH, параллельный и равный EF. Треугольник ABG – прямоугольный, AG = AD – BC. BH – медиана этого треугольника и, следовательно, равна половине гипотенузы AG. Таким образом, EF = 1 2 (AD – BC). 261 14. Пусть ABCD четырехугольник, AB = AD, BC = DC. Треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам. Следовательно, BAO = DAO. В равнобедренном треугольнике ABD AO – биссектриса и, следовательно, высота. Значит, диагонали AC и BD перпендикулярны. 15. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, P, Q – середины его диагоналей соответственно AC и BD, E, F, G, H – середины соответствующих сторон.Четырехугольники EFGH и PFQH – параллелограммы. Следовательно, диагональ PQ пересекает FH в ее середине и делится в ней пополам. 16. Пусть ABCD – квадрат, EG, FH – две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через его центр O. Из точек F и G опустим перпендикуляры FP и GQ на противоположные стороны квадрата. Прямоугольные треугольники EGQ и HFP равны по катету и острому углу. Следовательно, EG = FH. 262 17. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, EFGH – вписанный в него квадрат. AE = a, EH = b, HB = c. Треугольники AFE и GBH подобны по углам. Следовательно, FE : AE = BH : GH, т.е. b : a = c : b, значит, b 2 =ac. 18. Пусть ABC – прямоугольный треугольник ( 90 C ), EFGC – вписанный в него квадрат со стороной c, AC = b, BC = a. Треугольники AFE и FBG подобны по углам. Следовательно, FE : AE = BG : FG, т.е. c : (b – c) = (a – c): c и, значит, bc + ac = ab. Разделив обе части последнего равенства на abc, получимравенство c b a 1 1 1 19. Пусть ABCD – параллелограмм, EF и EG – перпендикуляры, опущенные из точки E диагонали AC на стороны AB и AD соответственно. Опустим перпендикуляры BP и DQ на диагональ AC. Прямоугольные треугольники AFE и APB подобны и, следовательно, EF : AE = BP : AB. Аналогично прямоугольные треугольники AGE и AQD подобны и, следовательно, EG : AE = DQ : AD. Разделив первое равенство на второе и, учитывая, что BP = DQ, получим EF : EG = AD : AB, т.е. длины перпендикуляров EF и EG обратно пропорциональны сторонам AB и AD параллелограмма. 263 20. Пусть ABCD трапеция (AD || BC), G – точка пересечения продолжения боковых сторон AB и CD, E – середина основания BC. Проведем прямую GE и обозначим F ее точку пересечения с AD. Из подобия треугольников AGF и BGE, DGF и CGE, AGD и BGC следует, что AF : BE = AG : BG = DG : CG = DF : CE. Из этих равенств и равенства BE = CE получаем равенство AF = FD, т.е. точка F является серединой AD. Аналогично доказывается, что прямая, проходящая через точку O пересечения диагоналей и точку E,проходит через точку F и, следовательно, точки G, E, O, F принадлежат одной прямой. 21. Пусть ABCD – параллелограмм, AC, BD – диагонали. По теореме косинусов, примененной к треугольнику ABD, имеем BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB AD cos A.По теореме косинусов, примененной к треугольнику ABC, имеем AC 2 = AB 2 + BC 2 – 2AB BC cos B. Складывая эти два равенства, и учитывая, что cos B = –cos A, получим AC 2 + BD 2 = 2(AB 2 + BC 2 ). 22. Пусть ABCD – трапеция (AD || BC), AC, BD – диагонали. Опустим перпендикуляры BG и CH на основание AD. По теореме косинусов, примененной к треугольнику ABC, имеем AC 2 = AB 2 + BC 2 – 2AB BC cos B.По теореме косинусов, примененной к треугольнику BCD, имеем BD 2 = BC 2 + CD 2 – 2BC CD cos C. Складывая эти неравенства, получим AC 2 + BD 2 = AB 2 + CD 2 + 2BC 2 – 2AB BC cos B – 2BC CD cos C. Вынося в последних трех слагаемых 2BC за скобки и учитывая, что –AB cosB = AG, –CD cosC = HD, получим AC 2 + BD 2 = AB 2 + CD 2 + 2BC AD. 264 23. Пусть ABCD – четырехугольник, E, F, G, H – середины его сторон. Тогда EFGH – параллелограмм, и сумма квадратов его диагоналей EG и FH равна сумме квадратов его сторон. Учитывая, что стороны этого параллелограмма вдвое меньше диагоналей AC и BD четырехугольника, получаем, что сумма квадратов диагоналей четырехугольника вдвое больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон. 24. Пусть ABCD – трапеция (AB || CD), E – середина боковой стороны BC, EF – перпендикуляр, опущенный на боковую сторону AD. Проведем отрезки AE и DE. Обозначим h высоту трапеции. Тогда площадь треугольника ABE равна произведению половиныстороны AB на половину высоты h.Площадь треугольника CDE равна произведению половиныстороны CD на половину высоты h. Следовательно, сумма площадей треугольников ABE и CDE равна половине площади трапеции. Значит, произведение AD и FE равно площади трапеции ABCD. 265 25. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Площадь треугольника AOD равна половине произведения AO и DO на синус угла AOD. Площадь треугольника COD равна половине произведения CO и DO на синус угла COD. Учитывая, что синусы углов AOD и COD равны, получаем, что площадь треугольника ACD равна половине произведения AC и OD на синус угла между ними. Аналогично площадь треугольника ABC равна половине произведения AC и OB на синус угла между ними. Следовательно, площадь четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. 26. Прямоугольные треугольники AKE и BPE, BLF и CQF, CMG и DRG, DNH и ASH равны. Заштрихованный многоугольник (греческий крест) равновелик с квадратом ABCD и состоит из пяти квадратов, равных квадрату KLMN. Следовательно, площадь квадрата KLMN равна одной пятой площади квадрата ABCD. 27. Пусть ABCD – параллелограмм, G и H – середины сторон соответственно CD и DA, O – точка пересечения его диагоналей. В 266 треугольнике ABD отрезки AO, BH, DE – медианы. Так как медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников, то площадь закрашенной части треугольника ABD в два раза больше незакрашенной. Аналогично, площадь закрашенной части треугольника BCD в два раза больше незакрашенной. Значит, площадь закрашенной части параллелограмма ABCD в два раза больше незакрашенной. 28. Пусть ABCD – квадрат, AEFG – прямоугольник, AE > AG. Из равенства периметров квадрата и прямоугольника следует, что BE = DG. Откуда площадь прямоугольника GHCD больше площади прямоугольника BEFH. Квадрат ABCD составлен из прямоугольника ABHG и прямоугольника GHCD.Прямоугольник AEFG составлен из прямоугольника ABHG и прямоугольника BEFH.Следовательно, площадь квадрата ABCD больше площади прямоугольника AEFG. |