лекция 1. Смирнов В. А., Смирнова И. М
 Скачать 3.75 Mb.
|
|
Уровень С 1. Пусть окружность описана около треугольника ABC, O – ее центр, т.е. точка пересечения серединных перпендикуляров OA’, OB’, OC’ к сторонам треугольника. Предположим, что AB > AC. Тогда в прямоугольных треугольниках AOB’ и AOC’ гипотенуза AO – общая, AB’ < AC’. Следовательно, OC’ < OB’, т.е. точка O расположена ближе к стороне AB, чем к AC. 2. Пусть окружность вписана в треугольник ABC, O – ее центр, т.е. точка пересечения биссектрис треугольника. Опустим из точки O перпендикуляры OA’, OB’, OC’ на стороны треугольника. Предположим, что AB > AC. Тогда в прямоугольных треугольниках OBC’ и OCB’ катеты OC’ и OB’ равны, а катет B’C меньше катета C’B. Следовательно, OC < OB, т.е. точка O расположена ближе к вершине C, чем к B. 3. Пусть окружность с центром O вписана в треугольник ABC, D, E, F – точки касания, AC + BC – AB = 2r. Тогда CE + CF = 2r. В четырехугольнике OECF E = F = 90 о , CE = CF и OE = OF. Следовательно, C = 90 о , т.е. треугольник ABC – прямоугольный. 299 4. Пусть AA 1 , BB 1 , CC 1 – высоты треугольника ABC, пересекающиеся в точке H. A’, B’, C’ – точки пересечения продолжения высот с описанной окружностью. Опишем окружность с диаметром AB. Точки A 1 и B 1 будут принадлежать этой окружности, значит, углы A 1 AB 1 и A 1 BB 1 равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Следовательно, дуги A’C и B’C описанной окружности равны. Откуда равны углы A’AC и B’AC. Прямоугольные треугольники AHB 1 и AB’B 1 равны по катету и острому углу. Следовательно, точка B’ симметрична точке H относительно стороны AC. Аналогично доказывается симметричность точек A’ и C’ точке H относительно сторон BC и AB. 5. Пусть окружность описана около треугольника ABC. Биссектриса угла C пересекает окружность в точке C 1 , являющейся серединой дуги AB. Серединный перпендикуляр к отрезку AB также пересекает окружность в середине дуги AB. Следовательно, биссектриса угла C и серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекаются в точке, принадлежащей описанной окружности. 6. Пусть ABC – треугольник, вписанный в окружность с центром O. CH – высота, CG – диаметр. Продолжим высоту CH до пересечения с окружностью в точке E. Проведем диаметр EF и диаметр PQ, перпендикулярный AB. Тогда угол POF равен углу POC и равен половине дуги СF. Дуги AP и BP равны, следовательно, равны дуги BC и AF. Разность углов B и A данного треугольника измеряется 300 половиной дуге CF. Угол GCE измеряется половиной дуги GE, равной дуги CF.Следовательно, угол GCE равен разности углов B и A треугольника. 7. Пусть ABC – треугольник, вписанный в окружность с центром O. CH – высота, CD – биссектриса, CG – диаметр. Продолжим высоту CH до пересечения с окружностью в точке E. Проведем диаметр PQ, перпендикулярный AB.Продолжение биссектрисы CD пересекает окружность в точке Q. Из предыдущей задачи следует, что дуги QG и QE равны. Следовательно, CD – биссектриса угла GCE. 8. Пусть ABC – треугольник, вписанный в окружность. Проведем диаметр AD и рассмотрим треугольник ABD. Он является прямоугольным, гипотенуза AD – диаметр, угол D равен углу C. Следовательно, отношение AB к синусу угла C равно отношению AB к синусу угла D и равно диаметру AD. 301 9. Пусть ABC – треугольник, AA 1 , BB 1 , CC 1 – его медианы. Гомотетия с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом –0,5 переводит вершины A, B, C соответственно в точки A 1 , B 1 , C 1 , следовательно, она переводит описанную окружность в окружность, проходящую через основания медиан. Значит, радиус окружности, проходящей через основания медиан в два раза меньше радиуса окружности, описанной около этого треугольника. 10. Пусть окружность, описанная около треугольника ABC, имеет своим центром точку O пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника. H – точка пересечения высот треугольника. Треугольник OB’C’ подобен треугольнику HBC (по углам), коэффициент подобия равен 2. Следовательно, CH = 2OC’. 11. Пусть окружность радиуса R, описанная около треугольника ABC, имеет своим центром точку O пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника. Докажем, что точка P, принадлежащая серединному перпендикуляру к стороне AB,и такая, что OC’ = C’P, является центром окружности радиуса R,проходящей через вершины A, B и точку пересечения высот H. В силу предыдущей задачи, CH = 2OC’, значит, отрезок CH равен и параллелен отрезку OP. Четырехугольник OCHP – параллелограмм, следовательно, PH = OC = R. Прямоугольные треугольники AOC’ и APC’ равны по двум катетам, следовательно, AO = AP = R. Аналогично BO = BP = R. 302 12. Пусть ABC – треугольник, вписанный в окружность, BC = a, AC = b, AB = c,высота CC 1 равна h.Воспользуемся формулами для площади S треугольника. Имеем 1 1 sin 2 2 S a b C c h . Учитывая, что 2 sin c R C , получаем равенство 2 a b h R , т.е. произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, опущенной на третью сторону, и диаметра описанной окружности. 13. Пусть окружность с центром O и радиусом R описана около треугольника ABC со сторонами AB = c, AC = b, BC = a. Обозначим S площадь этого треугольника. Имеем S = 1 sin 2 b c A . Воспользуемся формулой 2 sin a R A . Подставляя в формулу для площади треугольника выражение для sin A из второй формулы, получим требуемую формулу 4 a b c R S 303 14. Углы E и F равны, как углы, опирающиеся на равные дуги. Дуги AF, CF, CE и BE равны как дуги, на которые опираются равные углы. Угол FDE измеряется полусуммой дуг FCE и AB, следовательно, равен углу FCE, который измеряется половиной дуги FABE. Следовательно, четырехугольник CFDE – параллелограмм. Отрезки CF и CE равны как отрезки, стягивающие равные дуги. Следовательно,параллелограмм CFDE – ромб. 15. Пусть ABCD – трапеция (AD || BC). Биссектрисы ее углов пересекаются в точках E, F, G, H. Углы E и G четырехугольника EFGH – прямые, следовательно, около него можно описать окружность, т.е. вершины четырехугольника, ограниченного биссектрисами углов трапеции принадлежат одной окружности. 304 16. Если около трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной. Если в нее можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны. Из этого следует, что если около трапеции можно описать окружность и в ту же трапецию можно вписать окружность, то боковые стороны этой трапеции равны ее средней линии. 17. Пусть ABCD – четырехугольник, вписанный в окружность, E, F, G, H – середины соответствующих дуг, O – точка пересечения прямых EG и FH. Сумма дуг AE, AH, CF и CG равна половине всей окружности, следовательно, угол EOH равен 90 о , т.е. EG и FH перпендикулярны. 18. Пусть ABCDE – пятиугольник, описанный около окружности, все стороны которого равны. A’, B’, C’, D’, E’ – точки касания окружности. Тогда AB + AE + CD – BC – DE = AA’ + AE’. Таким образом, сумма отрезков касательных проведенных из вершины пятиугольника, равна стороне пятиугольника, следовательно, все отрезки касательных, проведенных из вершин пятиугольника, равны. Все прямоугольные треугольники, одной вершиной которых является центр O вписанной окружности, а противоположными ей катетами – отрезки касательных, равны по двум катетам, следовательно, равны все 305 углы данного пятиугольника. Значит, данный пятиугольник – правильный. 19. Пусть ABCDE – пятиугольник, вписанный в окружность, все углы которого равны. Из равенства углов пятиугольника следует, что все углы с вершинами в вершинах пятиугольника, опирающиеся на дуги, стягиваемые противоположными этим углам сторонами, равны. Например, CAD = B + E – 180 о . Следовательно, равны все дуги, стягиваемые сторонами пятиугольника, значит, равны все стороны пятиугольника. Таким образом, данный пятиугольник – правильный. 20. Пусть ABCDEF – шестиугольник, у которого равны все углы, а стороны равны через одну. Обозначим A’, B’, C’, D’, E’, F’ – середины сторон, O –точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AB и BC. Треугольники OAA’ и OCC’ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, OC’ – серединный перпендикуляр к CD. Аналогично доказывается, что OD’, OE’, OF’ – серединные перпендикуляры. Следовательно, точка O равноудалена от всех вершин шестиугольника, т.е. является центром описанной около него окружности. 306 21. Пусть ABCDEF – шестиугольник, у которого равны все стороны, а углы равны через один. Обозначим A’, B’, C’, D’, E’, F’ – точки касания, O –точку пересечения биссектрис углов A и B. Прямоугольные треугольники OAA’ и OCC’ равны по двум катетам. Следовательно, OC – биссектриса угла C. Аналогично доказывается, что OD, OE, OF – биссектрисы. Следовательно, точка O равноудалена от всех сторон шестиугольника, т.е. является центром вписанной окружности. 22. Сумма дуг, на которые опираются любые два несоседних угла вписанного в окружность пятиугольника, больше окружности и, следовательно, сумма любых двух несоседних углов вписанного пятиугольника больше 180 о 307 23. Сумма дуг, на которые опираются любые три несоседних угла вписанного в окружность шестиугольника, равна двум окружностям, следовательно, сумма любых трех несмежных углов вписанного шестиугольника равна 360 о 24. Пусть ABCDE –пятиугольник, описанный около окружности. A’, B’, C’, D’, E’ – точки касания. Используя то, что отрезки касательных, проведенных из одной вершины пятиугольника, равны, получаем, что AB + CD + AE – BC – DE = AA’ + AE’. Следовательно, сумма сторон BC и DE меньше суммы сторон AB, CD и AE. Аналогично доказывается и для других сторон. 25. Пусть ABCDEF – шестиугольник, описанный около окружности. A’, B’, C’, D’, E’, F’ – точки касания. Используя то, что отрезки касательных, проведенных из одной вершины шестиугольника, равны, получаем, что AB + CD + EF = BC + DE + AF. Аналогично доказывается для других сторон. 308 26. Воспользуемся тем, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними (см. задачу С25 параграфа 4). Для вписанного четырехугольника диагонали будут наибольшими, если они – диаметры окружности. Синус угла между ними будет наибольшим, если они перпендикулярны. Такой четырехугольник является квадратом. 309 СОДЕРЖАНИЕ Введение ……………………………………………………………….. 2 1. Параллельность и перпендикулярность ………………………….. 3 2. Равенство треугольников …………………………………………18 3. Соотношения между элементами треугольника ………………. 53 4. Четырехугольники ……………………………………………….. 89 5. Окружность и круг ……………………………………………….115 6. Вписанные и описанные многоугольники ……………………..133 Решения 1. Параллельность и перпендикулярность ………………………. 154 2. Равенство треугольников ………………………………………. 167 3. Соотношения между элементами треугольника ………………207 4. Четырехугольники .………………………………………………242 5. Окружность и круг ……………………………………………….267 6. Вписанные и описанные многоугольники ……………………..285 |