лекция 1. Смирнов В. А., Смирнова И. М
 Скачать 3.75 Mb.
|
|
6. Вписанные и описанные многоугольники Уровень А 1. Докажите, что около всякого треугольника можно описать единственную окружность. 2. Докажите, что радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной a, равен 3 3 a 3. Докажите, что в любой треугольник можно вписать единственную окружность. 134 4. Докажите, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной a, равен 3 6 a 135 Уровень В 1. Докажите, что если центр описанной окружности треугольника совпадает с точкой пересечения его высот, то треугольник – равносторонний. 2. Докажите, что если центр описанной окружности треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан, то треугольник – равносторонний. 3. Докажите, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, принадлежит его стороне. 136 4. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник – прямоугольный. 5. Докажите, что центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника. 6. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, лежит вне этого треугольника, то данный треугольник – тупоугольный. 137 7. Докажите, что центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника. 8. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, лежит внутри этого треугольника, то данный треугольник - остроугольный. 9. Докажите, что если центр вписанной окружности треугольника совпадает с точкой пересечения его высот, то треугольник – равносторонний. 138 10. Докажите, что если центр вписанной окружности треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан, то треугольник – равносторонний. 11. Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник – равносторонний. 12. На стороне равностороннего треугольника, как на диаметре, построена полуокружность. Докажите, что она делится на три равные части точками ее пересечения с двумя другими сторонами треугольника. 139 13. Докажите, что диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен разности суммы катетов и гипотенузы. 14. Докажите, что сумма диаметров окружностей, вписанной в прямоугольный треугольник и описанной около него, равна сумме его катетов. 15. Докажите, что радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой 2S r a b c , где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь. 140 16. Докажите, что если около четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 17. Докажите, что около любого прямоугольника можно описать окружность. 18. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм – прямоугольник. 141 19. Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб – квадрат. 20. Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность. 21. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция – равнобедренная. 142 22. Докажите, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. 23. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность. 24. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм – ромб. 143 25. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник – квадрат. 26. Докажите, что касательные к окружности, проведенные через вершины вписанного в нее прямоугольника, ограничивают ромб. 27. Докажите, что точки касания сторон ромба с вписанной в него окружностью являются вершинами прямоугольника. 144 28. Докажите, что если все стороны многоугольника, вписанного в окружность, равны, то этот многоугольник – правильный. 29. Докажите, что если все углы многоугольника, описанного около окружности, равны, то этот многоугольник – правильный. 30. Докажите, что площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. 145 Уровень С 1. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, расположен ближе к той стороне треугольника, которая больше. 2. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, расположен ближе к той вершине треугольника, которая лежит против большей стороны. 3. Докажите, что если разность между суммой двух сторон треугольника и его третьей стороной равна диаметру вписанной окружности, то один из углов треугольника – прямой. 146 4. Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно его сторон, принадлежат описанной около этого треугольника окружности. 5. Докажите, что биссектриса угла треугольника и серединный перпендикуляр к противоположной стороне пересекаются в точке, принадлежащей окружности, описанной около этого треугольника. 6. Докажите, что угол между высотой треугольника и диаметром описанной окружности, проведенными из вершины одного угла этого треугольника, равен разности двух других его углов. 147 7. Докажите, что биссектриса треугольника делит пополам угол между высотой и диаметром описанной окружности, проведенными из той же вершины. 8. Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла равно диаметру окружности, описанной около этого треугольника. 9. Докажите, что радиус окружности, проходящей через основания медиан треугольника, в два раза меньше радиуса окружности, описанной около этого треугольника. 148 10. Докажите, что расстояние от вершины C треугольника ABC до точки H пересечение его высот в два раза больше расстояния от центра O описанной около него окружности до стороны AB этого треугольника, противоположной данной вершине C. 11. Докажите, что окружность, проходящая через две вершины треугольника и точку пересечения его высот, равна окружности, описанной около этого треугольника. 12. Докажите, что произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, опущенной на третью сторону, и диаметра описанной окружности. 149 13. Докажите, что радиус R окружности, описанной около треугольника, выражается формулой 4 a b c R S , где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь. 14. Биссектрисы углов A и B при основании равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке D и пересекают окружность, описанную около этого треугольника, в точках соответственно E и F. Докажите, что четырехугольник CFDE – ромб. 15. Докажите, что вершины четырехугольника, ограниченного биссектрисами углов трапеции принадлежат одной окружности. 150 16. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность и в ту же трапецию можно вписать окружность, то боковые стороны этой трапеции равны ее средней линии. 17. Докажите, что прямые, соединяющие середины дуг, стягиваемых противоположными сторонами вписанного в окружность четырехугольника, перпендикулярны. 18. Докажите, что если у пятиугольника, описанного около окружности, равны все стороны, то он – правильный. 151 19. Докажите, что если у пятиугольника, вписанного в окружность, равны все углы, то он – правильный. 20. Докажите, что если у шестиугольника равны все углы, а стороны равны через одну, то около него можно описать окружность. 21. Докажите, что если у шестиугольника равны все стороны, а углы равны через один, то в него можно вписать окружность. 152 22. Докажите, что сумма любых двух несоседних углов вписанного в окружность пятиугольника больше 180 о 23. Докажите, что сумма любых трех несоседних углов вписанного в окружность шестиугольника равна 360 о 24. Докажите, что сумма любых двух несоседних сторон описанного около окружности пятиугольника меньше суммы трех оставшихся сторон. 153 25. Докажите, что сумма любых трех несоседних сторон описанного около окружности шестиугольника равна сумме трех оставшихся сторон. 26. Докажите, что из всех четырехугольников, вписанных в окружность, наибольшую площадь имеет квадрат. 154 РЕШЕНИЯ 1. Параллельность и перпендикулярность Уровень В 35. Пусть прямые a и b параллельны, прямая c пересекает прямую b в точке C. Докажем, что прямая c пересекает прямую a. Действительно, если бы прямая c была параллельна прямой a, то через точку C проходили бы две прямые, параллельные прямой a, что противоречит аксиоме параллельных. Следовательно, прямая c должна пересекать прямую a. 36. Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Докажем, что прямые a и b параллельны. Действительно, если бы они пересекались в некоторой точке C, то через эту точку проходили бы две прямые, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных. Следовательно, прямые a и b параллельны. 37. Пусть прямые a и b параллельны, прямая c перпендикулярна прямой a. Докажем, что прямая c перпендикулярна прямой b. Действительно, угол 1 равен 90 о . Углы 1 и 2 равны, как соответственные. Следовательно, угол 2 равен 90 о , т.е. прямые b и c перпендикулярны. 155 38. Пусть прямые a и b перпендикулярны прямой c. Тогда соответственные углы равны и, следовательно, прямые a и b параллельны. 39. Пусть AOB и A’O’B’ – углы с соответственно параллельными сторонами. Так как прямые OA и O’A’ параллельны, то углы 1 и 2 равны, как соответственные. Так как прямые OB и O’B’ параллельны, то углы 2 и 3 равны, как соответственные. Следовательно, данные углы 1 и 3 равны. 40. Пусть AOB и A’O’B’ – углы с соответственно параллельными сторонами. Продолжим сторону O’B’ угла A’O’B’ до 156 пересечения со стороной OA угла AOB.Так как прямые OB и O’B’ параллельны, то углы 1 и 2 равны, как соответственные. Так как прямые OA и O’A’ параллельны, то углы 2 и 3 равны, как соответственные. Следовательно, данные углы 1 и 3 равны. 41. Пусть AOB и A’O’B’ – углы с соответственно параллельными сторонами. Продолжим сторону O’B’ угла A’O’B’ до пересечения со стороной OA угла AOB.Так как прямые OB и O’B’ параллельны, то углы 1 и 2 равны, как накрест лежащие. Так как прямые OA и O’A’ параллельны, то углы 2 и 3 равны, как соответственные. Следовательно, данные углы 1 и 3 равны. 42. Пусть AOB и A’O’B’ – углы с соответственно параллельными сторонами. Так как прямые OB и O’B’ параллельны, то углы 1 и 2 равны, как соответственные. Так как прямые OA и O’A’ параллельны, то углы 2 и 3 в сумме составляют 180 , как односторонние. Следовательно, данные углы 1 и 3 в сумме составляют 180 157 43. Пусть AOB и A’O’B’ – углы с соответственно параллельными сторонами. Продолжим сторону O’A’ угла A’O’B’ до пересечения со стороной OB угла AOB.Так как прямые OA и O’A’ параллельны, то углы 1 и 2 равны, как соответственные. Так как прямые OB и O’B’ параллельны, то углы 2 и 3 равны, как соответственные. Углы 3 и 4 смежные и, следовательно, в сумме составляют 180 . Значит, данные углы 1 и 4 в сумме составляют 180 44. Пусть AOB и A’O’B’ – углы с соответственно перпендикулярными сторонами. В прямоугольном треугольнике ODC 1 = 90 о - 2. Углы 2 и 3 равны, как вертикальные. В прямоугольном треугольнике O’EC 4 = 90 о - 3. Следовательно, данные углы 1 и 4 равны. 45. Пусть AOB и A’O’B’ – углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Продолжим стороны угла AOB до пересечения со сторонамиугла A’O’B’.Углы 1 и 2 равны, как вертикальные. В прямоугольном треугольнике OCD 2 = 90 о - 3. В прямоугольном треугольнике O’EC 4 = 90 о - 3. Следовательно, данные углы 1 и 4 равны. 158 46. Пусть AOB и A’O’B’ – углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Продолжим стороны угла AOB до пересечения со сторонамиугла A’O’B’.Углы 1 и 2 равны, как вертикальные. В прямоугольном треугольнике OCD 2 = 90 о - 3. В прямоугольном треугольнике O’CE 4 = 90 о - 3. Следовательно, данные углы 1 и 4 равны. 47. Пусть AOB и A’O’B’ – углы с соответственно перпендикулярными сторонами. В четырехугольнике OCO’D углы C и D равны 90 о , а сумма всех углов равна 360 о . Следовательно, сумма углов O и O’ равна 180 159 48. Пусть AOB и A’O’B’ – углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Продолжим стороны углов до пересечения, как показано на рисунке. В прямоугольном треугольнике OCD 1 = 90 o - 2. 3 = 90 o + 2, как внешний угол прямоугольного треугольника O’EC. Следовательно, 1 + 3 = 180 49. Пусть AOB и A’O’B’ – углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Продолжим стороны углов до пересечения, как показано на рисунке. 1 = 2, как вертикальные. 3 = 90 o – 2. 4 = 90 o + 3, как внешний угол прямоугольного треугольника O’AC. Следовательно, 1 + 4 = 180 50. Пусть прямые a и b пересечены прямой с, и сумма односторонних углов 1 и 2 равна 90 о . Тогда в треугольнике ABC сумма углов A и B равна 90 о . Значит, угол C равен 90 о , т.е. прямые a и b перпендикулярны. 160 51. Пусть прямые a и b пересечены прямой с, и сумма односторонних углов 1 и 2 равна 270 о . Тогда в треугольнике ABC 1’ = 180 o - 1, 2’ = 180 o - 2. Следовательно, 1’ + 2’ = 90 о . Значит, угол 3равен 90 о , т.е. прямые a и b перпендикулярны. 52. Пусть прямые a и b пересечены прямой с, и разность накрест лежащих углов 1 и 2 равна 90 о . Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то угол 3равен разности углов 1 и 2 и равен 90 о , т.е. прямые a и b перпендикулярны. 53. Пусть прямые a и b пересечены прямой с, и разность соответственных углов 1 и 2 равна 90 о . Углы 2 и 3 равны, как вертикальные. Угол 1 равен сумме углов 3 и 4, как внешний угол треугольника ABC. Значит, угол 4 равен разности углов 1 и 3 и равен 90 о . Следовательно, прямые a и b перпендикулярны. 161 54. Пусть c и d – биссектрисы смежных углов. 1 = 2, 3 = 4. Так как 1 + 2 + 3 + 4 = 180 о , то 2 + 3 = 90 о , т.е. c и d перпендикулярны. 55. Пусть прямая d пересекает стороны угла aOb и перпендикулярна его биссектрисе c.Прямоугольные треугольники OAC и OBC равны по катету и острому углу. Следовательно, OA = OB. 56. Прямоугольные треугольники OФC и OBC равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, CA = CB. 162 57. Пусть c - прямая, проведенная перпендикулярно к отрезку AB через его середину O. Ясно, что точка O одинаково удалена от концов данного отрезка. Если C – другая точка прямой c, то из равенства прямоугольных треугольников AOC и BOC (по катетам) следует равенство отрезков CA и CB. 58. Пусть d и e – прямые, на которых лежат биссектрисы накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми a, b и секущей c. Угол 1равен половине угла CAB. Угол 2равен половине угла ABD. Так как углы CAB и ABD равны, как накрест лежащие, то и углы 1и 2равны. Эти углы являются накрест лежащими для прямых d, e и секущей c. Следовательно, прямые d и e параллельны. 59. Пусть d и e – прямые, на которых лежат биссектрисы односторонних углов, образованных двумя параллельными прямыми a и b и секущей c. Угол 1равен половине угла BAC. Угол 2равен 163 половине угла ABD. Так как сумма углов BAC и ABD равна 180 о , то сумма углов 1и 2равна 90 о . Следовательно, угол E в треугольнике ABE равен 90 о . Значит, прямые d и e перпендикулярны. 60. В треугольнике ABC угол B равен 60 о (внешний угол при вершине C равен 100 о , а угол A равен 40 о ). Таким образом, накрест лежащие углы для прямых a, b и секущей c равны. Следовательно, прямые a и b параллельны. 61. В треугольнике ABC угол B равен 75 о , угол C равен 40 о Значит, угол A равен 65 о . Таким образом, соответственные углы для прямых a, b и секущей c равны. Следовательно, прямые a и b параллельны. 164 62. В треугольнике CDE угол D равен 95 о , угол E равен 40 о Значит, угол C равен 45 о . В треугольнике ABC угол A равен 45 о , угол C равен 45 о . Значит, угол B равен 90 о . Следовательно, прямые a и b перпендикулярны. 63. В треугольнике EFG угол E равен 55 о . В треугольнике CDE угол C равен 50 о . В треугольнике ABC угол B равен 90 о Следовательно, прямые a и b перпендикулярны. 64. В пятиугольнике ABEDC B = 115 o , E = 100 o , D = 100 o , C = 135 o . Так как сумма углов пятиугольника равна 540 о , угол A равен 90 о . Следовательно, прямые a и b перпендикулярны. 165 65. Пусть a и b – центрально-симметричные прямые относительно центра O. Точки B 1 , B 2 центрально-симметричны соответственно точкам A 1 , A 2 . Тогда треугольники OA 1 A 2 и OB 1 B 2 равны (по первому признаку равенства треугольников). Следовательно, угол OA 1 A 2 равен углу OB 1 B 2 . Так как эти углы являются накрест лежащими, прямые a и b параллельны. 66. Пусть прямая b получена поворотом прямой a вокруг точки O на 90 о по часовой стрелке. Опустим из точки O на прямую a перпендикуляр OA. При повороте он перейдет в отрезок OB. Так как поворот сохраняет углы между прямыми, то OB будет перпендикулярен прямой b. В четырехугольнике AOBC три угла прямые, следовательно, угол C также прямой, т.е. прямые a и b перпендикулярны. 67. Пусть a и b – параллельные прямые, A 1 B 1 , A 2 B 2 – перпендикуляры, опущенные из точек прямой a на прямую b. Тогда прямые A 1 B 1 , A 2 B 2 параллельны. Значит, A 1 A 2 B 2 B 1 – прямоугольник и, следовательно, отрезки A 1 B 1 , A 2 B 2 равны. 166 68. Пусть A 1 B 1 , A 2 B 2 – перпендикуляры, опущенные из точек A 1 , A 2 на прямую b. Из равенства отрезков A 1 B 1 и A 2 B 2 следует, что A 1 A 2 B 1 B 2 – прямоугольник. Следовательно, прямые a и b параллельны. |