Справочник по математике. Справочник-по-математике-в-формулах-таблицах-рисунках-учебное-по. Справочник по математике в формулах, таблицах, рисунках учебное пособие Омск 2010

• Название: Справочник по математике в формулах, таблицах, рисунках учебное пособие Омск 2010
• Анкор: Справочник по математике
• Дата: 27.06.2022
• Размер: 2.16 Mb.
• Имя файла: Справочник-по-математике-в-формулах-таблицах-рисунках-учебное-по.pdf
• Тип: Справочник; #618006
• страница: 1 из 12

ИВ. Бабичева, ТЕ. Болдовская СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ В ФОРМУЛАХ, ТАБЛИЦАХ, РИСУНКАХ) Учебное пособие Омск – 2010

Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» ИВ. Бабичева, ТЕ. Болдовская СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ В ФОРМУЛАХ, ТАБЛИЦАХ, РИСУНКАХ) Учебное пособие Издание е, исправленное и дополненное Допущено Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям
190600 Эксплуатация наземного транспорта и транспортного оборудования Энергомашиностроение,
140600 Электротехника, электромеханика и электротехнологии» Омск
СибАДИ
2010

УДК 51(083)
ББК я 2
Б 12 Рецензенты
А.К. Гуц, др физмат. наук, профессор, декан факультета компьютерных наук, заведующий кафедрой кибернетики
Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского
Л.Г. Кузнецова, др пед. наук
Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия для студентов инженерных специальностей.
Бабичева ИВ, Болдовская ТЕ. Б 12 Справочник по математике (в формулах, таблицах, рисунках учебное пособие / ИВ. Бабичева, ТЕ. Болдовская. – е изд, исп. и доп. – Омск
СибАДИ, 2010. – 148 с.
ISBN 978-5-93204-540-4
Содержит основные понятия, определения, формулы элементарной и высшей математики, знание которых необходимо как при ознакомлении с курсом высшей математики, таки при изучении общепрофессиональных и специальных дисциплин.
Материал справочника иллюстрирован большим количеством рисунков, таблиц и схем.
Адресован студентам инженерных специальностей.
ISBN 978-5-93204-540-4 © ГОУ «СибАДИ», 2010

СОДЕРЖАНИЕ Условные обозначения . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . Раздел 1. АЛГЕБРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..7 Действия с дробями (7). Пропорции (7). Квадратное уравнение (7). Разложение квадратного трехчлена на множители (7). Формулы сокращенного умножения
(8). Действия со степенями и корнями (8). Логарифмы (8). Прогрессии (9). Проценты (9). Средние величины (9). Раздел 2. ТРИГОНОМЕТРИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..10 Сравнительная таблица градусной и радианной мер углов
(10). Тригонометрические функции и их знаки (10). Значения тригонометрических функций некоторых углов (11). Тригонометрические тождества (12). Формулы приведения (13). Раздел 3. ПЛАНИМЕТРИЯ И СТЕРЕОМЕТРИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...14 Площади фигур (14). Площади поверхностей и объемы тел (16). Раздел 4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..17 Определители (17). Виды матриц (18). Действия над матрицами (19). Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (20). Обратная матрица и ее нахождение (21). Собственные векторы, собственные значения матрицы и их нахождение (24). Раздел 5. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..25
Векторы и координаты (26). Линейные операции над векторами (27). Нелинейные операции над векторами (28). Раздел 6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ. . . . . . . . . . ... 29 Системы координат (29). Метод координат (30). Уравнения прямой на плоскости (31). Взаимное расположение прямых (32). Кривые второго порядка
(33). Замечательные кривые (35). Раздел 7. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ . . . . . . . . ..36 Системы координат в пространстве (36). Уравнения плоскости (37). Частные случаи положения плоскости в пространстве (38). Взаимное расположение плоскостей (39). Уравнения прямой в пространстве (40). Взаимное расположение прямых в пространстве (41). Взаимное расположение прямой и плоскости (42). Поверхности второго порядка (43). Раздел 8. ВВЕДЕНИЕ ВМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ . . . . . . . . . . . .. . . . ...45 Числовые множества (45). Функция, способы ее задания и свойства (45). Графики основных элементарных функций (47). Правила построения графиков функций сдвигами и деформациями графиков известных функций (50). Предел функции. Правила вычисления пределов (51). Непрерывность функции (53). Раздел 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..54 Понятие производной (54). Основные правила дифференцирования (54). Таблица производных (55). Дифференцирование различных функций (56). Дифференциал функции (56). Правило Лопиталя (56). Исследование функций и построение графиков (57).

Раздел 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...62 Векторная функция скалярного аргумента (62). Числовые характеристики кривой (63). Раздел 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..64 Частные производные функции и их нахождение (64). Дифференцирование различных функций (65). Дифференциал и его приложения (65). Исследование функции двух переменных на экстремум (66). Раздел 12. Комплексные числа. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ...67 Понятие комплексного числа (67). Формы записи и операции над комплексными числами (68). Основная теорема алгебры (68). Иллюстративные примеры (69). Раздел 13. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРМЕННОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ 70 Неопределенный интеграл и его свойства (70). Таблица простейших интегралов
(70) . Методы интегрирования (71). Интегрирование различных функций (72). Определенный интеграл, его свойства и вычисление (76). Несобственные интегралы (77). Геометрические приложения определенного интеграла (78). Примеры задач на геометрические приложения определенного интеграла (80). Раздел 14. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81 Интегралы от скалярной функции (81). Физические приложения двойных и тройных интегралов (82). Вычисление двойного интеграла (83). Вычисление тройного интеграла (84). Физические приложения интегралов I рода (86). Вычисление криволинейного интеграла I рода (87). Вычисление поверхностного интеграла I рода (87). Криволинейные и поверхностные интегралы II рода (по координатам) (88). Теоремы о связи между интегралами (89). Вычисление криволинейного интеграла II рода (90). Вычисление поверхностного интеграла II рода (91). Раздел 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 Скалярное поле (92). Векторное поле (93). Классификация векторных полей (95). Раздел 16. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ)....96 Основные понятия (96). Интегрирование ДУ первого порядка (97). Интегрирование ДУ, допускающих понижение порядка (98). Теоремы о структуре общего решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка (98). Интегрирование однородных линейных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (99). Интегрирование линейных неоднородных
ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (99). Раздел 17. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов (101). Приближенные методы решения уравнений вида
0
)
(

x
f
(102). Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (103).

Раздел 18. РЯДЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Числовые ряды. Основные понятия (104). Признаки сходимости (105). Степенные ряды. Основные понятия (107). Разложение элементарных функций вряд Маклорена (108). Ряды Фурье (109). Раздел 19. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. . . . . .. . . . . . . . . ..111 Волновое уравнение (111). Уравнение теплопроводности (111). Уравнение Лапласа (112). Задача Дирихле для круга (112). Раздел 20. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...113 Множества. Свойства и операции над ними (113). Бинарные отношения (114). Правила и формулы комбинаторики (115). Основные понятия теории графов
(116). Виды графов (117). Типы графов (118). Операции над графами (118). Способы задания графов (119). Раздел 21. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. . . . . . .. . . . . . . . 120 Операции над высказываниями (120). Булевы функции (121). Основные законы математической логики (121). Формы представления булевых функций (122). Раздел 22. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...123 Случайные события и действия над ними (123). Вероятность события (124) Теоремы сложения и умножения вероятностей (124). Последовательность независимых испытаний (125). Формы закона распределения случайной величины (126). Числовые характеристики случайной величины (127). Основные законы распределения вероятностей (128). Закон больших чисел (129). Раздел 23. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 130 Выборки (130). Статистические оценки параметров распределения (130). Проверка статистических гипотез о законе распределения генеральной совокупности (132). ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...134 Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Приложение 1. Значения функции 2
2 1
)
(
x
e
x




. . . . . . . . . . . . . . . . . ... 135 Приложение 2. Интеграл вероятностей
dz
e
x
Ф
x
z



0 2
2 2
1
)
(

. . . . . . . . . . Приложение 3. Квантили t – распределения Стьюдента . . . . . . . . . . . . . . . . . ...137 Приложение 4. Квантили
2
,k


распределения
2
k

. . . . . . . . . . . . . . . .... . .. . ..138 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...139

Я слышу и забываю, Я вижу и запоминаю, Я делаю и понимаю. Конфуций Условные обозначения Математика – наука формализованная. В течение веков выкристаллизовывались ее язык, ее символика, способствующие компактности изложения материала.
1.  – принадлежать,  – не принадлежать.
2.  – объединение,  – пересечение.
3.  – логическое следствие.
3.  – логическая эквивалентность (тогда и только тогда.
4.  – квантор всеобщности (для любого, для всякого.
5.  – квантор существования.
6.

– сумма






n
i
i
n
a
a
a
a
1 2
1 7. || – параллельность (прямых, коллинеарность (векторов.
8.  – перпендикулярность (прямых, векторов.
9.  – сонаправленность (векторов,  – противоположная направленность (векторов.
10. = – равно,  – неравно приближенно равно.
12. > – больше, < – меньше.
13.  – больше или равно,  – меньше или равно.
14. % – процент (сотая доля.

Раздел 1. АЛГЕБРА Действия с дробями
bd
bc
ad
d
c
b
a



,
bd
ac
d
c
b
a


, Пропорции Пропорцией называется равенство двух отношений
d
c
b
a

или
d
c
b
a
:
: 
. Основное свойство пропорции
bc
ad Перестановка членов пропорции
d
c
b
a
:
: 
b
a
d
c
:
:

a
c
b
d
:
:

c
a
d
b
:
:

d
b
c
a
:
: 
b
d
a
c
:
:

a
b
c
d
:
: Квадратное уравнение Вид уравнения Корни уравнения
0 2



c
bx
ax
a
ac
b
b
x
2 4
2 2
,
1




0 2

 c
ax
a
c
x



2
,
1


0 2




b
ax
x
bx
ax
a
b
x
x



2 1
,
0 Т. Виета
q
x
x
p
x
x





2 1
2 Разложение квадратного трёхчлена на множители



2 1
2
x
x
x
x
a
c
bx
ax





,



2 1
2
x
x
x
x
q
px
x






Формулы сокращённого умножения


2 2
2 2
b
ab
a
b
a




,


3 2
2 3
3 3
3
b
ab
b
a
a
b
a





,



b
a
b
a
b
a




2 2
,




2 2
3 3
b
ab
a
b
a
b
a





,




1 2
2 Действия со степенями и корнями






n
а
а
а
a
n
,


0
,
1 0


a
a
m
n
m
n
a
a

 
n
n
n
b
a
ab


m
n
m
n
a
a
a



n
n
n
b
a
ab


 
m
n
m
n
a
a


m
n
m
n
a
a
a


m
n
n Логарифмы
1
,
0
,
log





a
a
b
a
x
b
x
a
b
a
b
a

log
− основное логарифмическое тождество. Десятичный логарифм –
N
N
lg log
10

, натуральный логарифм
–
N
N
e
ln log

, где
59045 7182818284
,
2 1
1
lim











n
n
n
e
0 1
log

a
1
log

a
a
a
b
b
c
c
a
log log log

a
b
b
a
log
1
log



v
u
v
u
a
a
a



log log log








v
u
v
u
a
a
a
log log log
n
a
a
b
b
n
log log











1
,
1
,
0
log
a
a
a
n

Прогрессии Арифметическая прогрессия числовая последовательность, в которой каждое число, начиная со второго, равно предыдущему, сложенному с одними тем же числом
d ( d − разность арифметической прогрессии
,...
,...,
,
,
3 2
1
n
a
a
a
a
) Геометрическая прогрессия числовая последовательность, в которой каждое число, начиная со второго, равно предыдущему, умноженному на одно и тоже число
q ( q − знаменатель геометрической прогрессии
,...
,...,
,
,
3 2
1
n
u
u
u
u
)
0

d
− прогрессия возрастающая
0

d
− прогрессия убывающая − прогрессия возрастающая
1

q
− прогрессия убывающая
0

q
− прогрессия знакопеременная
Общий член прогрессии
d
n
a
a
n
)
1
(
1



1 Сумма
n
первых членов прогрессии или


2
)
1
(
2 1
n
n
d
a
S
n




q
q
u
u
S
n
n




1 1
,
)
1
( Если
1

q
, то
q
u
S


1 1
− сумма бесконечно убывающейпрогрессии Проценты Процент – сотая часть числа.
a
a
01
,
0
%
100

– 1 % от числа а – x % от числа а
b
a
x
x
b
a
100 100



– a составляет x % от Средние величины
1. Среднее арифметическое n чисел
n
a
a
a
a
m
n
a





3 2
1 2. Среднее геометрическое n чисел
n
g
a
a
a
a
m





3 2
1 3. Среднее гармоническое n чисел
n
h
a
a
a
a
n
m
1 1
1 1
3 2
1






Раздел 2. ТРИГОНОМЕТРИЯ Сравнительная таблица градусной и радианной мер углов
1 радиан =
5 4
7 1
57 180 0
0




;
180 радиана радиана
60 180 1




радиана

0,000291радиана. Углы в градусах Углы в радианах Углы в градусах Углы в радианах
0 0
150 6
5

30 6

180

45 4

225 4
5

60 3

240 3
4

90 2

270 2
3

120 3
2

300 3
5

135 Тригонометрические функции и их знаки Аргумент Функция и ее название А В
sin

(синус) ас
b/c
cos

(косинус) с
a/c
tg

(тангенс)
a/b
b/a
ctg

(котангенс)
b/a
a/b
sec

(секанс)
c/b
c/a
cosec

(косеканс)
c/a
c/b
A С
b
a
c

Значения тригонометрических функций некоторых углов х
0 6

4

3

2


2 3


2
x
sin
0 2
1 2
2 2
3 1
0
-1 0
x
cos
1 2
3 2
2 2
1 0
-1 0
1
x
tg
0 3
3 1
3

0

0
x
ctg

3 1
3 3
0

0 Четверть

sin

cos

tg

ctg
I
+
+
+
+
II
+
-
-
-
III
-
-
+
+
IV
-
+
-
-

sin

cos

tg

ctg

X ч четвертая четверть)
Y
0 ч третья четверть) ч вторая четверть) ч первая четверть)
0

2


2 2
3


Тригонометрические тождества Операции над тригонометрическими функциями Тождества Соотношения между тригонометрическими функциями
1
cos sin
2 2




– основное тригонометрическое тождество



cos sin tg

;



sin cos ctg

;
1
ctg tg




;


cos
1
sec

;


sin
1
cosec

;


2 2
tg
1
sec


;





2 2
2 2
2
ctg
1
ctg
1 1
sin
1
cos






tg
;





2 2
2 2
2
tg
1
tg ctg
1 Формулы для суммы и разности углов






sin cos cos sin
)
sin(




  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12